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1、2020專題四：立體幾何題型分析考點一 三視圖、直觀圖與表面積、體積1.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话氚凑招倍y畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖2.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線
2、(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l2空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3例1.等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為_ 例2(2020重慶高考)某幾何體的三視圖
3、如圖所示，則該幾何體的表面積為()A180B200C220 D240 例3.(1)如圖所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1 ABC1的體積為()A.B.C. D.(2)(2020新課標(biāo))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88C1616 D816考點二 球與空間幾何體的“切”“接”問題方法主要是“補體”和“找球心”方法一：直接法例1、一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球的表面積為 . 練習(xí)：已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）A. B
4、. C. D. 方法二：構(gòu)造法（構(gòu)造正方體或長方體）例2（2020年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 練習(xí) （2020年全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 三、確定球心位置法例3、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為() 四、構(gòu)造直角三角形例4、正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少,體積是多少？ 練習(xí)： 角度一直三棱柱的外接球1(2020遼寧高考)已知直三棱柱ABC A1B1C1的6個頂點都
5、在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C. D3角度二正方體的外接球2(2020合肥模擬)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為_角度三正四面體的內(nèi)切球3(2020長春模擬)若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.角度四四棱錐的外接球4 四棱錐PABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為() A9 B3 C2 D12考點三 利用空間向量求角和距離1兩條異面直
6、線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)2直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如圖，AB，CD是二面角 l 的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小， (2)如圖，n1，n2分別是二面角 l 的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2(或n1，n2) 4點到平面的距離的求法設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點B, 則 A到的距離易錯點：1求異面直線所成角時，易求出余弦值為負(fù)值而盲目得出
7、答案而忽視了夾角為.2求直線與平面所成角時，注意求出夾角的余弦值的絕對值應(yīng)為線面角的正弦值3利用平面的法向量求二面角的大小時，二面角是銳角或鈍角由圖形決定由圖形知二面角是銳角時cos ；由圖形知二面角是鈍角時，cos .當(dāng)圖形不能確定時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點一、線線角問題1(2020沈陽調(diào)研)在直三棱柱A1B1C1 ABC中，BCA90，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中
8、點，BCCACC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是()A.B.C. D.2如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為_二、 線面角的問題3、(2020湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值 針對訓(xùn)練(2020福建高考改編)如圖，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)若直線AA1與平面
9、AB1C所成角的正弦值為，求k的值 三、二面角問題4、(2020新課標(biāo)卷)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1/平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 針對訓(xùn)練(2020杭州模擬)如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC.(1)求證：PA平面QBC；(2)若PQ平面QBC，求二面角QPBA的余弦值四、 利用空間向量解決探索性問題(2020江西模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE與平面ABCD所成的角為60.(1)求證：AC平面BDE
10、；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)設(shè)點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM平面BEF，并證明你的結(jié)論針對訓(xùn)練已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上當(dāng)APC最大時，三棱錐P ABC的體積為_五、近三年新課標(biāo)高考試題 立體幾何（三視圖1小+1小1大：（1）三視圖（2）線面關(guān)系（3）與球有關(guān)的組合體（4）證明、求體積與表面積（注意規(guī)范性），作輔助線的思路（5）探索性問題的思考方法） (11)（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（15）已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 （18）（本小題滿分
11、12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.（）證明：PABD；（）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。(12) （7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（A）6 （B）9 （C）12（D）1811、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（A） （B） （C） （D）19、如圖，直三棱柱中，是棱的中點，。（1） 證明：；（2） 求二面角1的大小。(13) 6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方
12、體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 ( )A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3 8、 某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為( )A、18+8 B、8+8C、16+16 D、8+16 18、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）證明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。ABCC1A1B114年高考試題（14.12）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三
13、視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（ ）. . .6 .4（14.19）. (本小題滿分12分)如圖三棱錐中，側(cè)面為菱形，.() 證明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.2020年（6）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛（11）圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為，則（A）1（B）2（C）4（D）8（18）（本小題滿分12分）如圖所示，四邊形為菱形，是平面同一側(cè)的兩點，平面，平面，（）求證：平面平面；（）求直線與直線所成角的余弦值
2020年高考數(shù)學(xué) 專題四 立體幾何題型分析 理
