高中數(shù)學(xué) 典型例題 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 新課標(biāo)

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1、典型例題一 例1　已知，求證 證明：∵　， 　　　　　， 　　　　　，　三式相加，得 ，即 說(shuō)明：這是一個(gè)重要的不等式，要熟練掌握． 典型例題二 例2 已知是互不相等的正數(shù)， 求證： 證明：∵， ∴ 同理可得：． 三個(gè)同向不等式相加，得 ① 說(shuō)明：此題中互不相等，故應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)不成立．特別地，，時(shí)，所得不等式①仍不取等號(hào)． 典型例題三 例3 求證． 分析：此問(wèn)題的關(guān)鍵是“靈活運(yùn)用重要基本不等式，并能由這一特征，思索如何將進(jìn)行變形，進(jìn)行創(chuàng)造”． 證明：∵， 兩邊同加得． 即． ∴． 同理可得：，

2、． 三式相加即得． 典型例題四 例4 若正數(shù)、滿足，則的取值范圍是　　?。? 解：∵，　∴，令，得， ∴，或（舍去）． ∴，∴　的取值范圍是 說(shuō)明：本題的常見錯(cuò)誤有二．一是沒(méi)有舍去；二是忘了還原，得出．前者和后者的問(wèn)題根源都是對(duì)的理解，前者忽視了后者錯(cuò)誤地將視為． 因此，解題過(guò)程中若用換元法，一定要對(duì)所設(shè)“元”的取值范圍有所了解，并注意還原之． 典型例題五 例5 （1）求的最大值． （2）求函數(shù)的最小值，并求出取得最小值時(shí)的值．　 （3）若，且，求的最小值． 解：（1） 即的最大值為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即　時(shí)，取得此最大值． （2） ∴　的最小值為3，當(dāng)且

3、僅當(dāng)，即，，時(shí)取得此最小值． （3）∴　　∴即 ∵　∴　即的最小值為2． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得此最小值． 說(shuō)明：解這類最值，要選好常用不等式，特別注意等號(hào)成立的條件． 典型例題六 例6　求函數(shù)的最值． 分析：本例的各小題都可用最值定理求函數(shù)的最值，但是應(yīng)注意滿足相應(yīng)條件．如：，應(yīng)分別對(duì)兩種情況討論，如果忽視的條件，就會(huì)發(fā)生如下錯(cuò)誤：∵　， 解：當(dāng)時(shí)，，又， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值 ∴　 當(dāng)時(shí)，，又， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)最小值 ∴　 典型例題七 例7　求函數(shù)的最值． 分析：． 但等號(hào)成立時(shí)，這是矛盾的！于是我們運(yùn)用函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增這一性質(zhì)，求函數(shù)的最值

4、． 解：設(shè)， ∴． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增． 故原函數(shù)的最小值為，無(wú)最大值． 典型例題八 例8　求函數(shù)的最小值． 分析：用換元法，設(shè)，原函數(shù)變形為，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果．或用函數(shù)方程思想求解． 解：解法一： 設(shè)，故 ． 由，得：，故：． ∴函數(shù)為增函數(shù)，從而． 解法二： 設(shè)，知，可得關(guān)于的二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：． 又，故有一個(gè)根大于或等于2， 設(shè)函數(shù)，則，即，故． 說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：．要知道，無(wú)實(shí)數(shù)解，即，所以原函數(shù)的最小值不是2．錯(cuò)誤原因是忽視了等號(hào)成立的條件． 當(dāng)、為常數(shù)，且為定值，時(shí)，，不能直接求最大（?。┲?，可以利用恒等變形，當(dāng)之

5、差最小時(shí)，再求原函數(shù)的最大（?。┲担? 典型例題九 例9　求的最小值． 分析：此題出現(xiàn)加的形式和平方，考慮利用重要不等式求最小值． 解：由，得 又得，即． 故的最小值是． 說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解： ，故的最小值是8． 錯(cuò)誤的原因是，在兩次用到重要不等式當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，有和，但在的條件下，這兩個(gè)式子不會(huì)同時(shí)取等號(hào)（）．排除錯(cuò)誤的辦法是看都取等號(hào)時(shí)，與題設(shè)是否有矛盾． 典型例題十 例10 已知：，求證：． 分析：根據(jù)題設(shè)，可想到利用重要不等式進(jìn)行證明． 證明： 同理： 說(shuō)明：證明本題易出現(xiàn)的思維障礙是：(1)想利用三元重要不等式解決問(wèn)題；(

6、2)不會(huì)利用重要不等式的變式；(3)不熟練證明輪換對(duì)稱不等式的常用方法．因此，在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)求證式兩邊的結(jié)構(gòu)，合理地選擇重要不等式．另外，本題的證明方法在證輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性． 典型例題十一 例11設(shè)，且，，求的最大值． 分析：如何將與用不等式的形式聯(lián)系起來(lái)，是本題獲解的關(guān)鍵．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理兩邊同加之后得． 解：由，則有 說(shuō)明：常有以下錯(cuò)解： ， ． 故． 兩式相除且開方得． 錯(cuò)因是兩不等式相除，如，相除則有． 不等式是解決從“和”到“積”的形式．從“和”到“積”怎么辦呢？有以下變形：或． 典型例題十二 例12　已

7、知：，且：，求證：，并且求等號(hào)成立的條件． 分析：由已知條件，可以考慮使用均值不等式，但所求證的式子中有，無(wú)法利用，故猜想先將所求證的式子進(jìn)行變形，看能否出現(xiàn)型，再行論證． 證明： 等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)． 由以上得 即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． 說(shuō)明：本題是基本題型的變形題．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運(yùn)用均值不等式． 典型例題十三 例13 已知，且，求的最大值． 分析：由，可得， 故，令． 利用判別式法可求得（即）的最大值，但因?yàn)橛蟹秶南拗?，還

8、必須綜合韋達(dá)定理展開討論．僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉(zhuǎn)用基本不等式求解． 解法一：由，可得，． 　 注意到． 可得，． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，代入中得，故的最大值為18． 解法二：，， 代入中得： 解此不等式得．下面解法見解法一，下略． 說(shuō)明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二則是抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，所以解得更為簡(jiǎn)捷． 典型例題十四 例14 若，且，求證：． 分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個(gè)因式分別使用基本不等式所得三個(gè)“2”連乘而來(lái)，而． 證明：，又，，， ，即． 同理，， ． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等

9、號(hào)成立． 說(shuō)明：本題巧妙利用的條件，同時(shí)要注意此不等式是關(guān)于的輪換式． 典型例題十五 例15 設(shè)，求證：． 分析：本題的難點(diǎn)在于不易處理，如能找出與之間的關(guān)系，問(wèn)題可得到解決，注意到： ， 則容易得到證明． 證明：， 于是 同理：，． 三式相加即得：． 說(shuō)明：注意觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)，此不等式是關(guān)于的輪換式．因此只需抓住一個(gè)根號(hào)進(jìn)行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性． 典型例題十六 例16 已知：（其中表示正實(shí)數(shù)） 求證： 分析：要證明的這一串不等式非常重要，稱為平方根，稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為幾何平均數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)． 證明： ∴，

10、當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立． ∴，等號(hào)成立條件是“” ∴，等號(hào)成立條件是“”． ∴，等號(hào)成立條件是“”． 說(shuō)明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結(jié)論有利于處理某些復(fù)雜不等式的證明問(wèn)題．本例證明過(guò)程說(shuō)明，不等式性質(zhì)中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法． 典型例題十七 例17　設(shè)實(shí)數(shù)，，，，，滿足，，，求證． 分析：由條件可得到，，， 同號(hào)．為方便，不妨都設(shè)為正．將求證式子的左邊展開后可看出有交叉項(xiàng)和無(wú)法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后，重新搭配，可利用條件求證． 證明： 同理，由知與同號(hào)，與同號(hào) ∴，，，同號(hào)．不妨都設(shè)為正．

11、 ， 即． 說(shuō)明：本題是根據(jù)題意分析得，，，同號(hào)，然后利用均值不等式變形得證．換一個(gè)角度，由條件的特點(diǎn)我們還會(huì)聯(lián)想到使用二次方程根的判別式，可能會(huì)有另一類證法． 實(shí)際上，由條件可知，，，為同號(hào)，不妨設(shè)同為正．又∵，，∴，． 不等式，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立（根據(jù)二次三項(xiàng)式恒為正的充要條件），兩式相加得，它對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立．同上可得：． 典型例題十八 例18 如下圖所示，某畜牧基地要圍成相同面積的羊圈4間，一面可利用原有的墻壁，其余各面用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)為36m．問(wèn)每間羊圈的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，羊圈面積最大？ 分析：可先設(shè)出羊圈的長(zhǎng)和寬分別為，，即求的最大值．注意條件的利用．

12、解：設(shè)每間羊圈的長(zhǎng)、寬分別為，，則有，即．設(shè) 上式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”． 此時(shí) ∴羊圈長(zhǎng)、寬分別為m，3m時(shí)面積最大． 說(shuō)明：(1)首先應(yīng)設(shè)出變量（此處是長(zhǎng)和寬），將題中條件數(shù)學(xué)化（即建立數(shù)學(xué)模型）才能利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解；(2)注意在條件之下求積的最大值的方法：直接用不等式，即可出現(xiàn)積．當(dāng)然，也可用“減少變量”的方法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”． 典型例題十九 例19 某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，房屋正面的造價(jià)為1200元/m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為800 元/m2，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最

13、低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：這是一個(gè)求函數(shù)最小值的問(wèn)題，關(guān)鍵的問(wèn)題是設(shè)未知數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系．從已知條件看，矩形地面面積為12m2，但長(zhǎng)和寬不知道，故考慮設(shè)寬為m，則長(zhǎng)為m，再設(shè)總造價(jià)為．由題意就可以建立函數(shù)關(guān)系了． 解：設(shè)矩形地面的正面寬為m，則長(zhǎng)為m；設(shè)房屋的總造價(jià)為．根據(jù)題意，可得： 當(dāng)，即時(shí)，有最小值34600元． 因此，當(dāng)矩形地面寬為4m時(shí)，房屋的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是34600元． 說(shuō)明：本題是函數(shù)最小值的應(yīng)用題，這類題在我們的日常生活中經(jīng)常遇到，有求最小值的問(wèn)題，也有求最大值的問(wèn)題，這類題都是利用函數(shù)式搭橋，用均值不等式解決，解決的關(guān)鍵是等號(hào)是否成立

14、，因此，在解這類題時(shí)，要注意驗(yàn)證等號(hào)的成立． 典型例題二十 例20　某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)（長(zhǎng)方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每1m長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每1m長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每1m2造價(jià)20元．計(jì)算： (1)倉(cāng)庫(kù)底面積Ｓ的最大允許值是多少？ (2)為使Ｓ達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？ 分析：用字母分別表示鐵柵長(zhǎng)和一堵磚墻長(zhǎng)，再由題意翻譯數(shù)量關(guān)系． 解：設(shè)鐵柵長(zhǎng)為m，一堵磚墻長(zhǎng)為m，則有. 由題意得 應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理，得 即： 從而： 因此的最大允許值是，取得此最大值的條

15、件是，而，由此求得，即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)是． 說(shuō)明：本題也可將代入（*）式，導(dǎo)出關(guān)于的二次方程，利用判別式法求解． 典型例題二十一 例21 甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數(shù)為；固定部分為元． （1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域； （2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 分析：這是1997年的全國(guó)高考試題，主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應(yīng)用．也是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的一道優(yōu)秀試題． 解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為 ． 故所求函數(shù)為，定義域?yàn)椋? （2）由于都為正數(shù)， 故有， 即． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式中等號(hào)成立． 若時(shí)，則時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小； 當(dāng)，易證，函數(shù)單調(diào)遞減，即時(shí)，． 綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本最小， 在時(shí)，行駛速度應(yīng)為； 在時(shí)，行駛速度應(yīng)為．