高中數(shù)學(xué)《向量的概念及表示》文字素材2 蘇教版必修4

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1、你知道向量的由來嗎 　　向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起．18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來定義向量的運(yùn)算．把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)． 　　但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂的三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系．19世紀(jì)中期，英國數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量

2、．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學(xué)、物理學(xué)家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了向量分析． 　　三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀(jì)80年代各自獨(dú)立完成的．他們提出，一個(gè)向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)．他們引進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積．并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具． 　　課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭來表示方向．但是在高等數(shù)學(xué)中還

3、有更廣泛的向量．例如，把所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可看成一個(gè)向量．在這種情況下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象．這樣，就可以把線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個(gè)具體的模型． 輕松識(shí)別幾個(gè)易混概念 識(shí)別一：向量與有向線段的區(qū)別 （1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，又稱為自由

4、向量．只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量． （2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段．有向線段是具有向量兩要素的最簡單的幾何圖形．故向量可以用有向線段表示． （3）對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以自由平行移動(dòng)的，因此，在用有向線段表示向量時(shí)，可以自由選擇起點(diǎn)，所以任何一組平行向量都可以移到同一直線上． 識(shí)別二：零向量、單位向量概念 （1）長度為0的向量叫零向量，記作0．0的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，因此0向量有兩個(gè)特征：一是長度為0（注意0與0的含義與書寫區(qū)別）；二是方向不確定，或者說任何方向都是0向量的方向． （2）

5、長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量． 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小．對(duì)于單位向量的認(rèn)識(shí)：有無數(shù)個(gè)單位向量，在統(tǒng)一的單位長度下，所有的單位向量的大小都是一個(gè)單位，所以單位向量的大小都相等，但單位向量不一定相等．因?yàn)椴煌膯挝幌蛄坑胁煌姆较?，即使是共線的單位向量，它們也不一定相等，因?yàn)樗鼈冇锌赡芊较蛳喾矗? 例1下列命題中不正確的是 （ ） A．零向量沒有方向 B．零向量只與零向量相等 C．零向量的模為0 D．零向量與任何向量共線 解：零向量有方向，它的方向可以是任意的，

6、應(yīng)選A． 評(píng)注：零向量是指長度為0的向量，并規(guī)定“0與任一向量平行”，說明零向量的方向不確定． 例2判斷下列命題的正誤： （1）單位向量都共線；（2）單位向量都相等；（3）共線的單位向量必相等；（4）與非零向量共線的單位向量是． 解：（1）（2）（3）（4）均不正確．因?yàn)楣簿€向量的方向可能相同或相反，所以（4）中與共線的單位向量有兩個(gè)：． 評(píng)注：長度等于1個(gè)單位長度的向量叫單位向量．注意這里并未強(qiáng)調(diào)向量的方向． 識(shí)別三：平行向量、共線向量、相等向量 由于三者聯(lián)系較為緊密，所以不少同學(xué)經(jīng)常將三者混為一談，給解題帶來了一些不必要的麻煩，但如果我們能準(zhǔn)確識(shí)別三者及其關(guān)系并應(yīng)用其知識(shí)進(jìn)行

7、解題，也會(huì)給解題帶來很大的方便． （1）平行向量 ①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ②表示方法：如果、、是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直線平行或重合)，則可記為． ③注意點(diǎn)：任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定：零向量與任一向量是平行向量． （2）共線向量 ①概念：共線向量也就是平行向量，其要求是幾個(gè)非零向量的方向相同或相反，其所在直線可以平行也可以重合． ②含義：“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實(shí)際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一組共線向量都可以移到同一條直線上．

8、 （3）相等向量 ①概念：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量． ②識(shí)別依據(jù)：兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等，同時(shí)方向又相同時(shí)，才能稱它們相等．如，就意味著，且與的方向相同． ③理解拓展：由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動(dòng)的，都可以用同一條有向線段表示，因此，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)． （4） 平行向量、共線向量、相等向量三者的異同點(diǎn) ①共線向量即為平行向量； ②共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量． 例3下列命題正確的是 （

9、 ） A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn) C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C．