高中數學《向量的概念及表示》文字素材2 蘇教版必修4

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1、你知道向量的由來嗎 　　向量能夠進入數學并得到發(fā)展，首先應從復數的幾何表示談起．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，并利用具有幾何意義的復數運算來定義向量的運算．把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復數，也學會了利用復數來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數學． 　　但復數的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面上的量，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂的三維“復數”以及相應的運算體系．19世紀中期，英國數學家哈密爾頓發(fā)明了四元數（包括數量部分和向量部分），以代表空間的向量

2、．他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎．隨后，電磁理論的發(fā)現者，英國的數學、物理學家麥克思韋爾把四元數的數量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了向量分析． 　　三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀80年代各自獨立完成的．他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立于任何四元數．他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積．并把向量代數推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數學工具． 　　課本上討論的向量是一種帶幾何性質的量，除零向量外，總可以畫出箭頭來表示方向．但是在高等數學中還

3、有更廣泛的向量．例如，把所有實系數多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量．在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數學對象或物理對象．這樣，就可以把線性代數方法應用到廣闊的自然科學領域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數學中最基本的概念和線性代數的中心內容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用．而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型． 輕松識別幾個易混概念 識別一：向量與有向線段的區(qū)別 （1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，又稱為自由

4、向量．只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量． （2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段．有向線段是具有向量兩要素的最簡單的幾何圖形．故向量可以用有向線段表示． （3）對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以自由平行移動的，因此，在用有向線段表示向量時，可以自由選擇起點，所以任何一組平行向量都可以移到同一直線上． 識別二：零向量、單位向量概念 （1）長度為0的向量叫零向量，記作0．0的起點和終點重合，因此0向量有兩個特征：一是長度為0（注意0與0的含義與書寫區(qū)別）；二是方向不確定，或者說任何方向都是0向量的方向． （2）

5、長度為1個單位長度的向量，叫單位向量． 說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大?。畬τ趩挝幌蛄康恼J識：有無數個單位向量，在統(tǒng)一的單位長度下，所有的單位向量的大小都是一個單位，所以單位向量的大小都相等，但單位向量不一定相等．因為不同的單位向量有不同的方向，即使是共線的單位向量，它們也不一定相等，因為它們有可能方向相反． 例1下列命題中不正確的是 （ ） A．零向量沒有方向 B．零向量只與零向量相等 C．零向量的模為0 D．零向量與任何向量共線 解：零向量有方向，它的方向可以是任意的，

6、應選A． 評注：零向量是指長度為0的向量，并規(guī)定“0與任一向量平行”，說明零向量的方向不確定． 例2判斷下列命題的正誤： （1）單位向量都共線；（2）單位向量都相等；（3）共線的單位向量必相等；（4）與非零向量共線的單位向量是． 解：（1）（2）（3）（4）均不正確．因為共線向量的方向可能相同或相反，所以（4）中與共線的單位向量有兩個：． 評注：長度等于1個單位長度的向量叫單位向量．注意這里并未強調向量的方向． 識別三：平行向量、共線向量、相等向量 由于三者聯系較為緊密，所以不少同學經常將三者混為一談，給解題帶來了一些不必要的麻煩，但如果我們能準確識別三者及其關系并應用其知識進行

7、解題，也會給解題帶來很大的方便． （1）平行向量 ①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量． ②表示方法：如果、、是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直線平行或重合)，則可記為． ③注意點：任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定：零向量與任一向量是平行向量． （2）共線向量 ①概念：共線向量也就是平行向量，其要求是幾個非零向量的方向相同或相反，其所在直線可以平行也可以重合． ②含義：“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．因此，任意一組共線向量都可以移到同一條直線上．

8、 （3）相等向量 ①概念：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量． ②識別依據：兩個向量只有當它們的模相等，同時方向又相同時，才能稱它們相等．如，就意味著，且與的方向相同． ③理解拓展：由向量相等的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的，都可以用同一條有向線段表示，因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點． （4） 平行向量、共線向量、相等向量三者的異同點 ①共線向量即為平行向量； ②共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量． 例3下列命題正確的是 （

9、 ） A．a與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點 C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點的兩個非零向量不平行 解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以Ｄ不正確；對于C，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應選C．