2021版高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習 理 北師大版

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1、第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [基礎題組練] 1．函數(shù)y＝|cos x|的一個增區(qū)間是(　　) A．[－，]　　　　　 B．[0，π] C．[π，] D．[，2π] 解析：選D.將y＝cos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y＝|cos x|的圖象(如圖)．故選D. 2．設函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在上是減少的 解析：選D.函數(shù)f(x)＝cos的圖象可由y＝cos

2、 x的圖象向左平移個單位得到，如圖可知，f(x)在上先減后增，D選項錯誤． 3．(2020·河北衡水第十三中學質(zhì)檢(四))同時滿足f(x＋π)＝f(x)與f＝f的函數(shù)f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝cos 2x　　　　 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x 解析：選D.由題意得所求函數(shù)的周期為π，且圖象關(guān)于x＝對稱． A．f(x)＝cos 2x的周期為π，而f＝0不是函數(shù)的最值． 所以其圖象不關(guān)于x＝對稱． B．f(x)＝tan x的周期為π，但圖象不關(guān)于x＝對稱． C．f(x)＝sin x的周期為2π，不合題意． D

3、．f(x)＝sin 2x的周期為π，且f＝1為函數(shù)最大值， 所以D滿足條件，故選D. 4．(2020·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，則φ為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.因為函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同， 所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 因為|φ|<，所以φ＝－，選D. 5．(2020·河南中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周

4、期內(nèi)，當x＝時取最大值，當x＝－時取最小值，則φ的值可能為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能為.故答案為C. 6．函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間為________． 解析：由已知可得函數(shù)為f(x)＝－sin，欲求函數(shù)f(x)的減區(qū)間，只需求y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)． 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故所求函數(shù)f(x)的減區(qū)間為 (k∈Z)． 答案：(k∈Z) 7．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱

5、軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為________． 解析：由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝. 答案： 8．已知函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個對稱中心為，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，3)．若對任意的實數(shù)x，總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值是________． 解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個對稱中心為，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω

6、∈(1，3)得，ω＝2.由題意得|x1－x2|的最小值為函數(shù)的半個周期，即＝＝. 答案： 9．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2. (1)求f(x)的增區(qū)間； (2)當x∈時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． 解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin. (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f(x)的增區(qū)間為，k∈Z. (2)因為x∈， 所以≤2x＋≤， 所以－1≤sin≤ ， 所以－≤f(x)≤1，所以當x∈時，函數(shù)f(x)的最大值為1，最小值為－. 10．已知函數(shù)f(x)＝4sin(

7、x－)cos x＋. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和增區(qū)間； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，]上有兩個不同的零點x1，x2，求實數(shù)m的取值范圍，并計算tan(x1＋x2)的值． 解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)． 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0

8、，]上有兩個不同的零點x1，x2，即函數(shù)y＝f(x)與y＝m在[0，]上的圖象有兩個不同的交點，在直角坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的圖象，如圖所示， 由圖象可知，當且僅當m∈[，2)時，方程f(x)＝m有兩個不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝， 故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－. [綜合題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四個結(jié)論： ①f(x)是偶函數(shù)； ②f(x)在區(qū)間遞增； ③f(x)在[－π，π]有4個零點； ④f(x)的最大值為2. 其中所有正確結(jié)論的編號是

9、(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：選C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當

10、(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確，排除B；當0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個零點．下述四個結(jié)論： ①f(x)在(0，2π)有且僅有3個極大值點 ②f(x)在(0，2π)有且僅有2個極小值點 ③f(x)在遞增 ④ω的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號

11、是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 解析：選D.如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在區(qū)間(，)上是減少的，則ω＝________. 解析：因為f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，

12、 由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋≤x≤＋，因為f(x)在區(qū)間(，)上遞減，所以(，)?[＋，＋]，從而有， 解得12k＋1≤ω≤，k∈Z， 所以1≤ω≤，因為f()＋f()＝0， 所以x＝＝為f(x)＝2sin(ωx＋)的一個對稱中心的橫坐標， 所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z， 又1≤ω≤，所以ω＝2. 答案：2 4．(2020·江贛十四校第二次聯(lián)考)如果圓x2＋(y－1)2＝m2至少覆蓋函數(shù)f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一個最大值點和一個最小值點，則m的取值范圍是________． 解析：化簡f(x)＝2sin2－cos得f(x)

13、＝2sin＋1，所以，函數(shù)f(x)的圖象靠近圓心(0，1)的最大值點為，最小值點為， 所以只需解得m≥. 答案： 5．已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點對稱，且t∈(0，π)，求t值； (3)當x∈時，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)因為f(x)＝－cos－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝2 ＝2sin(2x－)． 故f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(1)知h(x)＝2sin. 令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，

14、得t＝＋(k∈Z)， 又t∈(0，π)，故t＝或. (3)當x∈時，2x－∈， 所以f(x)∈[1，2]． 又|f(x)－m|<3， 即f(x)－30，函數(shù)f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，當x∈[0，]時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)因為x∈[0，]， 所以2x＋∈[，]， 所以sin(2x＋)∈[－，1]， 所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a

15、]， 所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因為－5≤f(x)≤1， 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1， g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1 ＝4sin(2x＋)－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， 所以4sin(2x＋)－1>1， 所以sin(2x＋)>， 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時， g(x)是增加的，即kπ