《微觀經濟十八講》第四章VNM效用函數與風險升水

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1、Chap4.VNM（馮諾依曼（馮諾依曼-摩根摩根斯坦）效用函數與風險升水斯坦）效用函數與風險升水1 1.不確定性與選擇公理不確定性與選擇公理2 2.馮馮諾依曼諾依曼摩根斯坦效用函數摩根斯坦效用函數 3 3.風險度量、確定性等值與風險升水風險度量、確定性等值與風險升水本章要點本章要點1.1.不確定性與選擇公理不確定性與選擇公理一、不確定性一、不確定性經濟活動中始終存在著決策的不確定性。經濟活動中始終存在著決策的不確定性。不確定性和風險是一個不同的概念，奈特在不確定性和風險是一個不同的概念，奈特在風險、不確定和利潤（風險、不確定和利潤（19161916）第一次區(qū)分）第一次區(qū)分了經濟活動中不確定性與

2、風險，不確定性是客了經濟活動中不確定性與風險，不確定性是客觀的，指行動的結果總是被置于某種概率之下，觀的，指行動的結果總是被置于某種概率之下，而風險主要是指主觀上的認識能力。而風險主要是指主觀上的認識能力。不確定性可以用數學語言進行描述。主要用數不確定性可以用數學語言進行描述。主要用數學期望函數和方差。學期望函數和方差。l彩票的選擇具有一般商品消費選擇的特征，具彩票的選擇具有一般商品消費選擇的特征，具有收益的不確定性?？梢杂檬阶佑惺找娴牟淮_定性?？梢杂檬阶?表示。表示。如它會產生兩種結果。如它會產生兩種結果。(pA；，C)1122(;,)(;,)LpA CLpA C二、單賭和復賭二、單賭和復賭

3、l單賭：單賭：設有設有n n種可能的事件結果，種可能的事件結果，則單賭集合可寫成：則單賭集合可寫成：12(,)nAa aa，1 1221,|0,1nsnniiiGp a p ap app，也可以簡寫為：也可以簡寫為：1211(,0,0,(1)(,(1)snnnGp aaap ap ap a，l復賭：復賭：凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。高產高產20%20%正常正常40%40%低產低產40%40%雨量大雨量大20%20%0.040.080.080.20雨量中雨量中50%50%0.100.200.200.50雨量小雨量小30%30%0.060.120.120.3

4、0獎品是產量的分布，它們又具有不確定性，而成為獎品是產量的分布，它們又具有不確定性，而成為賭局本身。賭局本身?！就陚湫耘c傳遞性公理完備性與傳遞性公理】對兩種不同的結果，】對兩種不同的結果，消費者的偏好為：消費者的偏好為：三、不確定條件下的選擇公理三、不確定條件下的選擇公理,AB BA AB,AB BCAC【連續(xù)性公理】差異很大的兩個不確定結果的【連續(xù)性公理】差異很大的兩個不確定結果的某種加權結果會等同于某個確定的中間結果。某種加權結果會等同于某個確定的中間結果。,(01):AB BCPP則存在概率使得()(1)P AP CB【獨立性公理】【獨立性公理】假定消費者A與B之間無差異，設C為任一個另

5、外的結果。如果一張彩票L1會以概率P與(1-P)帶來結果A與C，另一張彩票L2以概率P與(1-P)帶來結果B與C，那么，消費者會認為這兩張彩票L1與L2無差異。,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C則,:(1)(1)AB CA CBPAP CPBP C則l例：例：l設設A=A=獲獲10001000元元,B=,B=獲獲1010元元,C=,C=死亡。對大多數死亡。對大多數人，人，10001000元元1010元元 死亡。死亡。l設設1010元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率0P10P1，使得：，使得：1000(1)10PP元死亡元【不相等公理】【不相等公理

6、】1111,(,)(1)AB LP A BPAP B2222(,)(1)LP A BP AP B當且僅當：當且僅當：21PP消費者嚴格偏好于消費者嚴格偏好于L2。21LL2.2.馮諾依曼馮諾依曼摩根斯坦效用函數摩根斯坦效用函數一、一、VNM效用函數定義效用函數定義1.期望期望結果結果1 1結果結果2 2概率概率收入收入概率概率收入收入傭金制傭金制0.5020000.501000固定薪水制固定薪水制0.9915100.01510推銷員的收入推銷員的收入0.5 20000.5 10001500工作1的期望收入元元=元0.99 15100.01 5101500工作2的期望收入元元=元2.期望期望效用

7、效用(,)(1)gp A BpAP B單賭則對應的期望效用函數為：則對應的期望效用函數為：()()(1)()u gpu AP u B11122234(,),(,)gp A AgpA A單賭則消費者更偏好于則消費者更偏好于g1，當且僅當，當且僅當111122324()()(1)()()(1)()u gp u AP u Ap u AP u A期望效用函數的作用：當消費者面臨不確定性期望效用函數的作用：當消費者面臨不確定性時，可用期望效用最大化分析消費者的行為。時，可用期望效用最大化分析消費者的行為。1 122(,)snngp a p ap a單賭1()()nsiiiu gpu a期望效用函數或期望

8、效用函數或VNM效用函數效用函數二、二、期望期望效用函數效用函數12(,)()?niAa aau a構造期望效用函數的關鍵是121,(,(1)niiiinaaaaaP aP a 若可看作不外是最好結果與最差結果的某種組合一樣好.()iiu aP 即用消費者心里那個即用消費者心里那個ai使與某個單賭等價的最使與某個單賭等價的最好事件發(fā)生的概率來定義好事件發(fā)生的概率來定義u(ai)。l例：例：l設設A=(aA=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3)=(10)=(10元元,4,4元元,-2,-2元元)C=)C=死亡。死亡。l當當a a1 1發(fā)生的概率發(fā)生的概率P P為多少時，消費者認為為多少時，消

9、費者認為a a1 1(i=1,2,3)(i=1,2,3)與與(P,a(P,a1 1,a,a3 3)無差異無差異?如果該消費者回答：如果該消費者回答：10(1(10),0(2)(0.6(10),0.4(2)(0(10),1(2)元元元4元元元-2元元元因此，可定義：因此，可定義：123(10)()1(4)()0.6(2)()0uu auu auu a比較單賭格局：比較單賭格局：12(0.24,0.8 10)(0.07(2),0.03 4,0.9 10)gg 1()0.2(4)0.8(10)0.2 0.60.8 10.92u guu2()0.07(2)0.03(4)0.9(10)0.0700.03

10、 0.60.9 10.918u guuu12()()u gu g消費者偏好于消費者偏好于1()u g單賭的期望效用：單賭的期望效用：()(1,2)iu gi 單賭的期望收入：單賭的期望收入：1()0.240.8 108.8E g元2()0.07(2)0.03 40.9 108.98E g 元12112()(),()().E gE ggu gu g但消費者選擇了因為3.3.風險度量、確定性等值和風險升水風險度量、確定性等值和風險升水一、一、風險度量風險度量事件事件A的風險度量：的風險度量：12,inaAa aa1122|()|()|()|nnaE APaE APaE AP結果結果1 離差離差結果

11、結果2 離差離差工作工作1 12000 5001000 500工作工作2 21510 10510 990實際收入與期望收入的離差實際收入與期望收入的離差工作工作1的平均離差：的平均離差：0.5 5000.5 500500元元=元工作工作2的平均離差：的平均離差：0.99 100.01 99019.8元元=元平均離差平均離差=P1結果結果1的離差的離差+P2結果結果2的離差的離差通常風險以方差或標準差（方差的平方根）來度量：通常風險以方差或標準差（方差的平方根）來度量：221()niiiip xE x二、對二、對風險的主觀態(tài)度風險的主觀態(tài)度l效用函數的凹性與經濟含義效用函數的凹性與經濟含義 效用

12、函數的凹性：效用函數的凹性：()0,()0u xu x含義：表示通常情況下人們是含義：表示通常情況下人們是“風險規(guī)避風險規(guī)避”的。的。1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W2x1x()E W()u x()u E W()u W風險規(guī)避者風險規(guī)避者Wu15()u x1310 xu161020()千元EACD11(10)(20)1322uu11102015221111(1020)(10)(20)2222uuu1111()(,;,)()()()nnnnu E Wuxxu xu xu W風險偏好者風險偏好者15()u xux2010EDCAO(千元)()()u E

13、Wu W()()u E Wu W()u x風險中立者風險中立者x201510OAE()D Cul定義定義 ().uVNM為效用函數 對于單賭1 122(,)nngPa P aP a()()u E gu g()()u E gu g()()u E gu g111()(),(),()nnniiiiiiiiiu gPu aE gPa u E guPa1,().niiiPa顯然是一個確定的結果在在g中風險規(guī)避中風險規(guī)避在在g中風險偏好中風險偏好在在g中風險中立中風險中立 絕對風險規(guī)避系數：由決策者的效用函數的曲絕對風險規(guī)避系數：由決策者的效用函數的曲率表示的。由于它是對一個財富水平下的風險率表示的。由于

14、它是對一個財富水平下的風險的度量，所以又被稱為是局部絕對風險規(guī)避度的度量，所以又被稱為是局部絕對風險規(guī)避度量。這在于說明在財富收益水平絕對量上的增量。這在于說明在財富收益水平絕對量上的增加或損失。加或損失。()()()uwRwuw l風險規(guī)避程度風險規(guī)避程度 三、確定性等值、風險升水及其應三、確定性等值、風險升水及其應用用12(),()u wR u wS112212()()()u gPu wPu wPRP S121,()2PPu gT若為期望效用水平1211()()22wwE gu E gCT為收入無風險確定性等值確定性等值是完全確定的收入量，此收入水平是完全確定的收入量，此收入水平對應的效用

15、水平等于不確定條件下期望的效用對應的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平，即水平，即CE滿足：滿足：()()u CEu g風險升水：風險升水：是收入是收入P，當一個完全確定收入減去，當一個完全確定收入減去P產生的效用仍等于產生的效用仍等于不確定條件下期望的效用水不確定條件下期望的效用水平，即：平，即：。或單賭。或單賭g含的風險相含的風險相當于使一個確定的收入當于使一個確定的收入E(g)減少了減少了P。()()u E gPu g()PE gCE或者說，風險升水指一個完全確定的收入或者說，風險升水指一個完全確定的收入E(g)轉化為兩個不確定的收入轉化為兩個不確定的收入w1和和w2時，消費者由時，

16、消費者由于面臨風險付出的代價。于面臨風險付出的代價。w()E g1w2wCEO()u w2()u w1()u w()u E g1122()()u wu wT()u wSCTRpl例：例：假定假定 。令單賭中贏。令單賭中贏h和虧和虧h各有各有50%50%的概率，設消費者原來的資產水平為的概率，設消費者原來的資產水平為w。求。求CE與風險水平與風險水平P。()ln()u ww0().:wE g設原來資產若參賭00;whwh贏得輸得00(0.5(),0.5()gwhwh0012001222011ln()ln()ln()ln()22ln()()ln()CEgwhwhwhwhwh122200()()CE

17、whwE g122200()()0PE gCEwwhl例例6 6：一種彩票贏得一種彩票贏得900900元的概率為元的概率為0.20.2；若輸，；若輸，只獲得只獲得100100元，概率為元，概率為0.80.8。若消費者的效用函。若消費者的效用函數形式為數形式為 ，問該消費者愿意出多少錢，問該消費者愿意出多少錢購買這張彩票？風險升水是多少？購買這張彩票？風險升水是多少？uw消費者的出價應按消費者的出價應按CE給出，即給出，即()0.2(900)0.8(100),0.2 9000.8 100u CEuuCE即196,CE 他對彩票的最高出價為196元.()()0.2 9000.8 100260260

18、 19664PE gCEE gP元例例7：某消費者的效用函數為：某消費者的效用函數為：。w0=9000，h=8000（火災后損失大部分財產）（火災后損失大部分財產）,發(fā)生火災的概率發(fā)生火災的概率=0.05。求消費者愿意支付的。求消費者愿意支付的保險價格保險價格R與保險公司在消費者支付與保險公司在消費者支付R時的利時的利潤。潤。0.5uw1/21/200.51/21/2()0.95 90000.05 10000(90000)0.95 90000.05 10000u wRR5900,0.05 800004000Rh但保險公司付賠額度為保險公司付賠額度為4000元，保險費為元，保險費為5900元，元

19、，保險公司的利潤為保險公司的利潤為1900元。元。例例8：設風險規(guī)避的個人初始財產為：設風險規(guī)避的個人初始財產為w0，其效用，其效用函數具有函數具有VNM性質。如購買汽車保險，假定遇性質。如購買汽車保險，假定遇上車禍，財產損失為上車禍，財產損失為L；若遇上車禍；若遇上車禍的概率為的概率為 ，他會購買多少保險？，他會購買多少保險？(0,1)購買保險的數額取決于對每一元保險值收取多購買保險的數額取決于對每一元保險值收取多少價格。保險的公平價格指使保險公司期望利少價格。保險的公平價格指使保險公司期望利潤為零的價格潤為零的價格。(1)(1)0 保險的公平價格（保險的公平價格（1元價值的保險的收費）等于

20、元價值的保險的收費）等于車禍發(fā)生的概率車禍發(fā)生的概率。投保人的目標是使期望利潤最大化投保人的目標是使期望利潤最大化。設。設x為購買為購買的保險額。的保險額。000000()(1)()(1)()(1)()0()()u wxLxu wxu wxLxu wxu wxLxu wx 效用函數嚴格為凹，效用函數嚴格為凹，單調，于是邊際單調，于是邊際效用相等意味著等式兩邊的財產量相等效用相等意味著等式兩邊的財產量相等。0,()uuxL在公平保險價格下，投保人為風險全部投保在公平保險價格下，投保人為風險全部投保。在公平保險價格下，財產狀況為在公平保險價格下，財產狀況為：0wL00wLLLwL沒遇上車禍沒遇上車禍遇上車禍遇上車禍不買保險下，財產不買保險下，財產為一期望值：為一期望值：0wL000()()(1)()u wLu wLu w謝謝觀看/歡迎下載BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH