（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 能力升級練（十七）橢圓、雙曲線與拋物線 文

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1、能力升級練(十七)橢圓、雙曲線與拋物線一、選擇題1.(2019福建廈門3月質(zhì)量檢查)若拋物線x2=ay的焦點到準線的距離為1,則a=()A.2B.4C.2D.4解析由拋物線x2=ay,可知:焦點坐標為0,a4,準線方程為y=-a4,拋物線x2=ay的焦點到準線的距離為a4+a4=1,解得a=2,故選C.答案C2.(2019四川成都高新區(qū)高三一診)已知橢圓C:16x2+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是()A.長軸長為12B.焦距為34C.短軸長為14D.離心率為32解析把橢圓方程16x2+4y2=1化為標準方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,長軸長為2a=1,焦距2

2、c=32,短軸長為2b=12,離心率e=ca=32,故選D.答案D3.雙曲線C1的中心在原點,焦點在x軸上,若C1的一個焦點與拋物線C2:y2=12x的焦點重合,且拋物線C2的準線交雙曲線C1所得的弦長為43,則雙曲線C1的實軸長為()A.6B.26C.3D.23解析設(shè)雙曲線C1的方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0).由已知,拋物線C2的焦點為(3,0),準線方程為x=-3,即雙曲線中c=3,a2+b2=9;將-3代入雙曲線方程,解得y=ba9-a2,又拋物線C2的準線交雙曲線C1所得的弦長為43,所以2ba9-a2=43與a2+b2=9聯(lián)立,得a2+23a-9=0,解得a=3,故雙曲線

3、C1的實軸長為23.故選D.答案D4.(2019青海西寧四中第二次模擬)雙曲線x216-y29=1的左、右焦點分別為F1,F2,在左支上過點F1的弦AB的長為5,那么ABF2的周長是()A.12B.16C.21D.26解析依題意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16,又|AB|=5,|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21.|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即ABF2的周長是26.故選D.答案D5.(2019廣東東莞二調(diào))直線l經(jīng)過橢圓的一個頂

4、點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,則該橢圓的離心率為()A.13B.12C.23D.34解析設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1,直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,則直線方程為xc+yb=1,橢圓中心到l的距離為其短軸長的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,b2c2=3,a2-c2c2=3,e=ca=12.故選B.答案B6.(2019湖北七市教研協(xié)作體4月聯(lián)考)過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點,若|AF|BF|,且|AF|=2,則拋物線的方程為()A.y2=2xB.y2=3xC.

5、y2=4xD.y2=x解析拋物線y2=2px(p0)的焦點F的坐標為p2,0,準線方程為x=-p2,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=3x,由于過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線與雙曲線x2-y23=1的一條漸近線平行,并交拋物線于A,B兩點,且|AF|BF|,所以可設(shè)直線AB方程為y=3x-p2,設(shè)A(x0,y0)x0p2,則|AF|=x0+p2=2,x0=2-p2,由x0p2可得0p0,b0)的離心率為2,A,B為其左、右頂點,點P為雙曲線C在第一象限的任意一點,點O為坐標原點,若PA,PB,PO的斜率為k1,k2,k3,則m=k1k2k3的取值范圍為()A.(0,33)B.

6、(0,3)C.0,39D.(0,8)解析e=ca=2,b=3a,設(shè)P(x,y),則x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=b2a2=3,又雙曲線的漸近線為y=3x,所以0k33,故0m0,b0)的右焦點,O為坐標原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A.2B.3C.2D.5解析如圖,設(shè)PQ與x軸交于點A,由對稱性可知PQx軸.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心,|OA|=c2.Pc2,c2.又點P在圓x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=

7、c2a2=2,e=2,故選A.答案A二、填空題10.(2019江西九江一模)如圖,中心在坐標原點,焦點分別在x軸和y軸上的橢圓C1,C2都過點A(0,-2),且橢圓C1,C2的離心率相等,以橢圓C1,C2的四個焦點為頂點的四邊形面積為22,則橢圓C1的標準方程為.解析由題意可設(shè)橢圓C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a2,0bb0)的離心率為32,過橢圓上一點M作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,且斜率分別為k1,k2,若點A,B關(guān)于原點對稱,則k1k2的值為.解析橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率是e=ca=1-b2a2=32,a=2b,于是橢圓的方程可化為x2

8、+4y2=4b2.設(shè)M(m,n),直線AB的方程為y=kx,可得A(x0,kx0),B(-x0,-kx0).則m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2.m2-x02=4k2x02-4n2,k1k2=kx0-nx0-m-kx0-n-x0-m=n2-k2x02m2-x02=n2-k2x024k2x02-4n2=-14.k1k2=-14.答案-1412.(2019全國,文15)設(shè)F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若MF1F2為等腰三角形,則M的坐標為.解析a2=36,b2=20,c2=a2-b2=16,c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|

9、=2c=8.|MF1|+|MF2|=2a=12,|MF2|=4.設(shè)點M的坐標為(x0,y0)(x00,y00),則SMF1F2=12|F1F2|y0=4y0.又SMF1F2=12482-22=415,4y0=415,解得y0=15.又點M在橢圓C上,x0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).點M的坐標為(3,15).答案(3,15)13.(2018山西呂梁一模)如圖所示,點F是拋物線y2=8x的焦點,點A、B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實線部分上運動,且AB總是平行于x軸,則FAB的周長的取值范圍是.解析易知圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2

10、,0),正好是拋物線y2=8x的焦點,圓(x-2)2+y2=16與拋物線y2=8x在第一象限交于點C(2,4),過點A作拋物線準線的垂線,垂足為點D,則AF=AD,則AF+AB=AD+AB=BD,當點B位于圓(x-2)2+y2=16與x軸的交點(6,0)時,BD取最大值8,由于點B在實線上運動,因此當點B與點C重合時,BD取最小值4,此時A與B重合,由于F、A、B構(gòu)成三角形,因此4BD8,所以,8BF+BDb0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M為短軸的上端點,MF1MF2=0,過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點,且|AB|=2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(2,-1)且不經(jīng)過

11、點M的直線l與C相交于G,H兩點.若k1,k2分別為直線MH,MG的斜率,求k1+k2的值.解(1)由MF1MF2=0,得b=c.因為過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A,B兩點,且|AB|=2,所以b2a=22,b=c,b2a=22,a2=b2+c2a2=2,b2=1.故橢圓C的方程為x22+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,顯然k-1且k0.將y=kx-2k-1代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,由題設(shè)可知=-16k(k+2)0,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則x1+x2=4k(2k+1)1+2k

12、2,x1x2=8k2+8k1+2k2,k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2k-2x1+kx2-2k-2x2=2k-(2k+2)4k(2k+1)1+2k28k2+8k1+2k2=2k-(2k+1)=-1,所以k1+k2=-1.15.(2019天津,文19)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點為F,左頂點為A,上頂點為B,已知3|OA|=2|OB|(O為原點).(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)經(jīng)過點F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OCAP.求橢圓的方程.解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有3a=2b,又由a

13、2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,橢圓的離心率為12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為x24c2+y23c2=1,由題意,F(-c,0),則直線l的方程為y=34(x+c).點P的坐標滿足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化簡,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因為點P在x軸上方,所以Pc,32c.由圓心C在直線x=4上,可設(shè)C(4,t).因為OCAP,且由()知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因為圓C與x軸相切,所以圓的半徑長為2,又由圓C與l相切,得34(4+c)-21+(34)2=2,可得c=2.所以,橢圓的方程為x216+y212=1.9