《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式(含解析)(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式一、【知識精講】1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3.函數(shù)f()asin bcos (a,b為常數(shù)),可以化為f()sin()或f()cos().微點提醒1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2,sin2.3.1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2,sin cos sin.
2、二、【典例精練】考點一三角函數(shù)式的化簡【例1】 (1)化簡:sin()cos()cos()sin()_.(2)化簡:(0)_.【答案】(1)sin()(2)cos 【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因為0,所以00,所以原式cos .【解法小結(jié)】1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,正確使用公式;二看函數(shù)名稱之間的差異,確定使用的公式,常見的有“切化弦”;三看結(jié)構(gòu)特征,找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.2.化簡三角
3、函數(shù)式的常見方法有弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪與升冪等.考點二三角函數(shù)式的求值角度1給角(值)求值【例21】 (1) 已知角的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點P.若角滿足sin(),則cos 的值為_【答案】或【解析】由角的終邊過點P,得sin ,cos .由sin(),得cos().由(),得cos cos()cos sin()sin ,所以cos 或cos .(2)(2018江蘇卷)已知,為銳角,tan ,cos().求cos 2的值;求tan()的值.【解析】因為tan ,tan ,所以sin cos .因為sin2cos21,所以cos2,因此,cos
4、 22cos21.因為,為銳角,所以(0,).又因為cos(),所以sin(),因此tan()2.因為tan ,所以tan 2,因此,tan()tan2().角度2給值求角例2-2(1)已知,為銳角,cos ,且sin(),則角_.(2)若sin 2,則sin 2()A.B.C.D.【答案】(1),(2)【解析】 (1)為銳角,且cos ,sin .,0.又sin(),cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(2)由題意知sin 2,2(cos sin )sin 2,則4(1sin 2)3sin22,因此sin 2或sin 22(舍).【解法小結(jié)】1.“給角求值”、
5、“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系,借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.2.“給值求角”:實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,最后確定角.遵照以下原則:(1)已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);(2)已知正、余弦函數(shù)值,選正弦或余弦函數(shù);若角的范圍是,選正、余弦皆可;若角的范圍是(0,),選余弦較好;若角的范圍為,選正弦較好.考點三三角恒等變換的簡單應(yīng)用例3.(2017北京卷)已知函數(shù)f(x)cos2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x時,f(x).【解析】(1)f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2x
6、sin 2xsin 2xcos 2xsin,所以f(x)的最小正周期T.(2)證明由(1)知f(x)sin .x,2x,當(dāng)2x,即x時,f(x)取得最小值.f(x)成立.【解法小結(jié)】1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu),尤其是角之間的關(guān)系;注意公式的逆用和變形使用.2.把形如yasin xbcos x化為ysin(x),可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性.【思維升華】1.重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”.(1)變角:對角的分拆要盡可能化成同角、特殊角;(2)變名:盡可能減少函數(shù)名稱;(3)變式:對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.
7、2.在解決求值、化簡、證明問題時,一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?【易錯注意點】1.運用公式時要注意審查公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對性,要注意升冪、降冪的靈活運用,要注意“1”的各種變通.2.在(0,)范圍內(nèi),sin 所對應(yīng)的角不是唯一的.3.在三角求值時,往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值的符號或所求角的三角函數(shù)的名稱.三、【名校新題】1.(2019南昌一模)已知角的終邊經(jīng)過點P(sin 47,cos 47),則sin(13)()A.B.C.D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)定義,sin cos 47,cos sin 47,
8、則sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.2.(2019合肥模擬)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2【答案】C【解析】 tan 70cos 10(tan 201)cos 101.3.(2019廣東省際名校聯(lián)考)若cos,則cos()A.B.C.D.【答案】D【解析】cos,cossinsin,cos12sin2.4.(2019信陽一模)函數(shù)f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B.C.D.2【答案】【解析】由題意知f(x)si
9、n x4sin x2cos x2sin(x)2,又因為xR,所以f(x)的最大值為.5.(2019濟(jì)南模擬)若sin,A,則sin A的值為()A.B.C.或D.【答案】B【解析】A,A,cos0,且cos,sin Asinsincos cossin .6.(2019江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)若點(,0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心,則cos 2sin cos()A.B.C.1 D.1【答案】D【解析】點(,0)是函數(shù)f(x)sin x2cos x圖象的一個對稱中心,sin 2cos 0,即tan 2.cos 2sin cos 1.7. (2019河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知是
10、第四象限角,且sin,則tan()A.B.C.D.【答案】B【解析】法一sin(sin cos ),sin cos ,2sin cos .是第四象限角,sin 0,sin cos ,由得sin ,cos ,tan ,tan.法二,sincos,又2k2k(kZ),2k2k(kZ),cos,sin,tan,tantan.8.(2018濟(jì)南一模)若sin,A,則sin A的值為()A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A,A,cos ,sin Asinsincoscossin.9.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考)已知cos-12=35,計算sin53-2的值為()A.-725B.725C
11、.2425D.-2425【答案】B【解析】由已知可得cos2-6=2cos2-12=-725,sin53-2=sin32-2-6=-cos2-6=725.10.(2019屆廣東深圳實驗,珠海一中等六校第一次聯(lián)考)已知A是函數(shù)f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3的最大值,若存在實數(shù)x1,x2對任意實數(shù)x總有f(x1)f(x)f(x2)成立,則A|x1-x2|的最小值為()A.2018B.1009C.21009D.4036【答案】B【解析】f(x)=sin2018x+6+cos2018x-3=3sin2018x,最小正周期T=1009,即為所求。11. (2019河南六市聯(lián)考)已知
12、cos ,cos(),若0,則_.【答案】.【解析】由cos ,0,得sin .由0,得0,又cos(),sin().由()得cos cos()cos cos()sin sin().,.12.(2019湘東五校聯(lián)考)已知sin(),sin(),則_.【答案】5【解析】因為sin(),sin(),所以sin cos cos sin ,sin cos cos sin ,所以sin cos ,cos sin ,所以5.13.(2019廣東五校聯(lián)考)若tan4cos(2),|,則tan 2_.【答案】【解析】tan4cos(2),4cos ,又|,sin ,0,cos ,tan ,從而tan 2.14
13、.(2018河北、河南兩省重點中學(xué)4月聯(lián)考,8)已知atan +b=(a-btan )tan ,且+6與的終邊相同,則ba的值為()A.23B.33C.223D.34【答案】B【解析】由已知可得:atan-tan=-btantan+1,因為-=2k-6,kZ,tan-=tan-tantantan+1=-33,ba=-tan-=33.15. (2019鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的圖象關(guān)于直線x對稱,其中,為常數(shù),且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值.【解析】(1)f(x)sin2x2sin xc
14、os xcos2xsin 2xcos 2x2sin.因為圖象關(guān)于直線x對稱,所以2k(kZ),所以(kZ),又,令k1時,符合要求,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.(2)因為f0,所以2sin0,則.所以f(x)2sin.由0x,知x,當(dāng)x,即x0時,f(x)取最小值1.當(dāng)x,即x時,f(x)取最大值216.(2019石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)sin,xR.(1)求f的值;(2)若cos ,求f的值【解析】(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因為cos ,所以sin ,所以sin 22sin cos ,cos 2cos2sin2,所以f(sin 2cos 2)1
15、7.(2018山東桓臺第二中學(xué)4月月考)已知函數(shù)f(x)=a+2cos2x2cos(x+)為奇函數(shù),且f2=0,其中aR,(0,).(1)求a,的值;(2)若2, f2+8+25cos+4cos 2=0,求cos -sin 的值.【解析】(1)因為f(x)=a+2cos2x2cos(x+)是奇函數(shù),所以a+2cos2x2cos(x+)=-a+2cos2x2cos(-x+),化簡、整理得,cos xcos =0,則有cos =0,由(0,),得=2,所以f(x)=-sin xa+2cos2x2.由f2=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f2+8+25cos+4cos 2=0sin+4=45cos+4cos 2,因為cos 2=sin2+2=sin2+4=2sin+4cos+4,所以sin+4=85cos2+4sin+4.又2,所以sin+4=0或cos2+4=58.由sin+4=0=34,所以cos -sin =cos34-sin34=-2;由cos2+4=58,34+454,得cos+4=-52212(cos -sin )=-522cos -sin =-52.綜上,cos -sin =-2或cos -sin =-52.12