2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題六 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題

《2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題六 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題六 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題考情解讀1.本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值、范圍問(wèn)題或探索性問(wèn)題，試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程若0，則直線與橢圓相交；若0，則直線與橢圓相切；若0時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng)b0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：

2、x2y24的直徑l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程思維啟迪(1)P點(diǎn)是橢圓上頂點(diǎn)，圓C2的直徑等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)；(2)設(shè)直線l1的斜率為k，將ABD的面積表示為關(guān)于k的函數(shù)解(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k，則直線l1的方程為ykx1.又圓C2：x2y24，故點(diǎn)O到直線l1的距離d，所以|AB|22.又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.由消去y，整理得(4

3、k2)x28kx0，故x0.所以|PD|.設(shè)ABD的面積為S，則S|AB|PD|，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為yx1.思維升華求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個(gè)關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式(即為消元)，然后求解不等式；由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段PQ是橢圓過(guò)點(diǎn)F2的弦，且，求PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值解(1)e，P(1，)滿足1，又a2b2c2，a24，b23，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

4、1.(2)顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，|PQ|3，|F1F2|2，SPF1Q3；當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線PQ：yk(x1)，k0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得(34k2)y26ky9k20，0，y1y2，y1y2.SPF1Q|F1F2|y1y2|12，令t34k2，t3，k2，SPF1Q3，00.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，x軸是PBQ的角平分線，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0將代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此時(shí)0，直線l的方程為yk(x1)

5、，即直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)思維升華(1)定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，證明要解決的問(wèn)題與參數(shù)無(wú)關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x28y的焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P(2,3)，Q(2，3)在橢圓上，點(diǎn)A、B是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足APQBPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1

6、)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則b2.由，a2c2b2，得a4，橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)APQBPQ時(shí)，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為k，PA的直線方程為y3k(x2)，由整理得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，x12，同理PB的直線方程為y3k(x2)，可得x22.x1x2，x1x2，kAB，直線AB的斜率為定值.熱點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問(wèn)題例3已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y204(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在直線l滿足條

7、件：過(guò)C2的焦點(diǎn)F；與C1交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿足？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由思維啟迪(1)比較橢圓及拋物線方程可知，C2的方程易求，確定其上兩點(diǎn)，剩余兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求C1方程.(2) 聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)行求解.解(1)設(shè)拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知(3，2)，(4，4)在C2上，易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.設(shè)橢圓C1：1(ab0)，把點(diǎn)(2,0)，(，)代入得，解得，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)容易驗(yàn)證當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x1)，與C1的交點(diǎn)為M(x1，y1)

8、，N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由，即0，得x1x2y1y20.(*)將代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直線l滿足條件，且直線l的方程為2xy20或2xy20.思維升華解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型解決問(wèn)題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論，驗(yàn)證后肯定結(jié)論，對(duì)于“存在”或“不存在”的問(wèn)題，直接用條件證明或采用反證法證明解答時(shí)，不但需要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、

9、判別式等知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力如圖，拋物線C：y22px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2)(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過(guò)Q點(diǎn))與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線l的方程：x1.(2)由條件可設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，k0.由拋物線準(zhǔn)線l：x1，可知M(1，2k)又Q(1,2)，所以

10、k3k1，即k3k1.把直線AB的方程yk(x1)，代入拋物線方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1x2，x1x21.又Q(1,2)，則k1，k2.因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以kAFkBFk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常數(shù)2，使得k1k2k3成立1圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最

11、值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍2定點(diǎn)、定值問(wèn)題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題，處理時(shí)可以直接推理求出定值，也可以先通過(guò)特定位置猜測(cè)結(jié)論后進(jìn)行一般性證明對(duì)于客觀題，通過(guò)特殊值法探求定點(diǎn)、定值能達(dá)到事半功倍的效果3探索性問(wèn)題的解法探索是否存在的問(wèn)題，一般是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，

12、如果真的存在，則可以得出相應(yīng)存在的結(jié)論；若不存在，則會(huì)由條件得出矛盾，再下結(jié)論不存在即可.真題感悟(2014北京)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y2上，且OAOB，試判斷直線AB與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)由題意，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)直線AB與圓x2y22相切證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以0，即tx02y00，解得t.當(dāng)x0t時(shí)，y0，代入橢圓C的方程，得t，故直線A

13、B的方程為x，圓心O到直線AB的距離d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切當(dāng)x0t時(shí)，直線AB的方程為y2(xt)即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心O到直線AB的距離d.又x2y4，t，故d.此時(shí)直線AB與圓x2y22相切押題精練已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且EGF2的周長(zhǎng)為4.(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足t(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|0，得k2.x1x2，x1x2，t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.點(diǎn)P在橢圓C

14、上，22，16k2t2(12k2)|，|x1x2|，(1k2)(x1x2)24x1x2，(1k2)40，k2.k2.16k2t2(12k2)，t28，又12k22，t284，2t或t0，b0)漸近線的距離為，點(diǎn)P是拋物線y28x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0，c)的距離與到直線x2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為()A.1 By21C.x21 D.1答案C解析由題意得，拋物線y28x的焦點(diǎn)F(2,0)，雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的方程為axby0，拋物線y28x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：1(a0，b0)漸近線的距離為，a2b.P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0，c)的距離與

15、到直線x2的距離之和的最小值為3，|FF1|3，c249，c，c2a2b2，a2b，a2，b1.雙曲線的方程為x21，故選C.4若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析設(shè)P(x0，y0)，則1，即y3，又因?yàn)镕(1,0)，所以x0(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即2,6，所以()max6.5設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析依題意得F(0,2)，準(zhǔn)線方

16、程為y2，又以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，且|FM|y02|，|FM|4，即|y02|4，又y00，y02.6已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A(1，1) B(1，)C(，) D(1，)答案A解析根據(jù)正弦定理得，所以由可得，即e，所以|PF1|e|PF2|.因?yàn)閑1，所以|PF1|PF2|，點(diǎn)P在雙曲線的右支上又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，解得|PF2|，因?yàn)閨PF2|ca，所以ca，即e1，即(e1)22，解得1e1，所以e(1，1)，故選

17、A.二、填空題7直線ykx1與橢圓1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_答案m1且m5解析方程1表示橢圓，m0且m5.直線ykx1恒過(guò)(0,1)點(diǎn)，要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，應(yīng)有：1，m1，m的取值范圍是m1且m5.8在直線y2上任取一點(diǎn)Q，過(guò)Q作拋物線x24y的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)_答案(0,2)解析設(shè)Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點(diǎn)A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡(jiǎn)得，yx1xy1，同理，在點(diǎn)B處的切線方程為yx2xy2.又點(diǎn)Q(t，2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代入得：2x1ty1，2x2ty2，則說(shuō)明A(x1，y

18、1)，B(x2，y2)都滿足方程2xty，即直線AB的方程為：y2tx，因此直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)9(2014遼寧)已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_.答案12解析橢圓1中，a3.如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為D，則|DF1|DF2|2a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點(diǎn)，|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，|AN|BN|2(|DF1|DF2|)12.10(2013安徽)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_(kāi)答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程

19、為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.三、解答題11.如圖所示，橢圓C1：1(ab0)的離心率為，x軸被曲線C2：yx2b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.(1)求C1，C2的方程；(2)求證：MAMB；(3)記MAB，MDE的面積分別為S1，S2，若，求的取值范圍(1)解由題意，知，所以a22b2.又22b，得b1.所以曲線C2的方程yx21，橢圓C1的方程y21.(2)證明設(shè)直線AB：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知M(

20、0，1)則x2kx10，(x1，y11)(x2，y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210，所以MAMB.(3)解設(shè)直線MA：yk1x1，MB：yk2x1，k1k21，M(0，1)，由解得或所以A(k1，k1)同理，可得B(k2，k1)故S1|MA|MB|k1|k2|.由解得或所以D(，)同理，可得E(，)故S2|MD|ME|，則的取值范圍是，)12已知雙曲線C：1(a0，b0)的焦距為2，其一條漸近線的傾斜角為，且tan .以雙曲線C的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸的橢圓記為E.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A是橢圓E的左頂點(diǎn)，P、Q為橢圓E上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP、AQ的

21、斜率之積為，問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由解(1)雙曲線1的焦距2c2，則c，a2b27.漸近線方程yx，由題意知tan .由得a24，b23，所以橢圓E的方程為1.(2)在(1)的條件下，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykxm，由，消去y得(34k2)x28kmx4m2120.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2，又A(2,0)，由題意知kAPkAQ，則(x12)(x22)4y1y20，且x1x22.則x1x22(x1x2)44(kx1m)(kx2m)(14k2)x1x2(24km)(x1x2)4m240.則m2km2k20.(m2k)(mk)0.m2k或mk.當(dāng)m2k時(shí)，直線PQ的方程是ykx2k.此時(shí)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(2,0)，顯然不符合題意當(dāng)mk時(shí)，直線PQ的方程為ykxk，此時(shí)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，若直線PQ過(guò)定點(diǎn)，P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1，)，(1，)，滿足kAPkAQ.綜上，直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)