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1、第2講概率、隨機變量及其分布列,高考定位1.計數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度；2.概率模型多考查獨立重復(fù)試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”，多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn)，常考查獨立事件的概率，超幾何分布和二項分布的期望等.,1.(2018全國卷)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是(),答案C,真題感悟,2.(2018全國卷)如圖來自古希
2、臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()A.p1p2B.p1p3C.p2p3D.p1p2p3,答案A,3.(2018全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1)，且各件產(chǎn)品是否為不合
3、格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.()若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；()以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？,令f(p)0，得p0.1.當(dāng)p(0，0.1)時，f(p)0，f(p)單調(diào)遞增；當(dāng)p(0.1，1)時，f(p)400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.,1.概率
4、模型公式及相關(guān)結(jié)論,考點整合,3.超幾何分布,4.離散型隨機變量的均值、方差(1)離散型隨機變量的分布列為,離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì)：pi0；p1p2pipn1(i1，2，3，n).,(2)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學(xué)期望或均值.D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xiE()2pi(xnE()2pn叫做隨機變量的方差.(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì).E(ab)aE()b，D(ab)a2D().XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).X服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p).,熱點一古典概型與幾何概型【例1】(1)(2018太原二模)
5、某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：箱子中有編號為1，2，3，4，5的五個形狀、大小完全相同的小球，從中任取兩球，若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)，則中獎；否則不中獎.則中獎的概率為(),探究提高1.求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關(guān)知識，計數(shù)時要正確分類，做到不重不漏.2.計算幾何概型的概率，構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.,解析(1)如圖所示，畫出時間軸：,答案(1)B(2)C,熱點二互斥事件、相互獨立事件的概率考法1互斥條件、條件概率【例21】(2016全國卷
6、選編)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：,設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：,(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率.解(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.100.050.15.,考
7、法2相互獨立事件與獨立重復(fù)試驗的概率【例22】(2018衡水中學(xué)調(diào)研)多家央企為了配合國家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設(shè)，紛紛申請在新區(qū)建立分公司.若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個片區(qū)中的一個片區(qū)設(shè)立分公司，且申請其中任一個片區(qū)設(shè)立分公司都是等可能的，每家央企選擇哪個片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個片區(qū)建立分公司.向雄安新區(qū)申請建立分公司的任意4家央企中，(1)求恰有2家央企申請在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率；(2)用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個數(shù)，記|XY|，求的分布列.,隨機變量的所有可能取值為0，2，4.,所以隨機變量
8、的分布列為,【訓(xùn)練2】(2018天津卷)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.,解(1)由題意得，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽
9、取3人，2人，2人.(2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.,所以，隨機變量X的分布列為,設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則ABC，且B與C互斥.由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，,熱點三隨機變量的分布列、均值與方差考法1超幾何分布【例31】(2018西安調(diào)研)4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計如下：,(1)
10、從參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中隨機抽取兩名，求這兩名學(xué)生來自同一個小組的概率；(2)在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，從來自甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機抽取兩名，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解(1)由已知得，問卷調(diào)查中，從四個小組中抽取的人數(shù)分別為3，4，2，1，,(2)由(1)知，在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為3，2.X的可能取值為0，1，2.,則隨機變量X的分布列為,【訓(xùn)練3】在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這
11、兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).,解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，,(2)由題意知X可取的值為：0，1，2，3，4，則,因此X的分布列為,考法2與獨立重復(fù)試驗有關(guān)的分布列【例32】(2018濰坊一模)某公司新上一條生產(chǎn)線，為保證新的生產(chǎn)線正常工作，需對該
12、生產(chǎn)線進行檢測.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)14，標(biāo)準(zhǔn)差2，繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計值.,(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X，依據(jù)以下不等式評判(P表示對應(yīng)事件的概率)：P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線，試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修；(2)將數(shù)據(jù)不在(2，2)內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次品數(shù)記為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望E(Y).,解(1)由題意知，14，
13、2，由頻率分布直方圖得P(0.6826，P(2X2)P(10X18)0.8(0.040.03)20.940.9544，P(3X3)P(8X20)0.94(0.0150.005)20.980.9974，所以不滿足至少兩個不等式成立，故該生產(chǎn)線需檢修.,Y的分布列為,【訓(xùn)練4】(2018湖南六校聯(lián)考)為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧，產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號召，進一步優(yōu)化能源消費結(jié)構(gòu)，某市決定在地處山區(qū)的A縣推進光伏發(fā)電項目.在該縣山區(qū)居民中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其年用電量得以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.,(1)在該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)已知該縣
14、某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組，該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度，試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.,則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機組年預(yù)計發(fā)電量為300000度，故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度，能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.,22列聯(lián)表：,(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本，
15、再從中隨機抽取3人，求這三人中“使用手機支付”的人數(shù)的分布列及期望.,則使用手機支付的人群中的中老年的人數(shù)為1208436人，所以22列聯(lián)表為,17.7347.879，P(K27.879)0.005，故有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關(guān)”.(2)根據(jù)分層抽樣原理，從這200名顧客中抽取10人，,“不使用手機支付”的人數(shù)為4.設(shè)隨機抽取的3人中“使用手機支付”的人數(shù)為隨機變量X.則X0，1，2，3.,所求隨機變量X的概率分布為,探究提高1.本題考查統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用，意在考查考生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力.此類問題多涉及相互獨立事件、互斥事件的概率，在求解時，要明確基本事件的構(gòu)
16、成.2.聯(lián)系高中生使用手機這一生活現(xiàn)象，利用數(shù)學(xué)中列聯(lián)表、獨立性檢驗，予以研究二者的相關(guān)性，考查了相互獨立事件同時發(fā)生、分布列.題目主旨，引導(dǎo)學(xué)生正確對待使用手機，切勿玩物喪志，并倡導(dǎo)互幫互助的學(xué)習(xí)風(fēng)氣.,【訓(xùn)練5】(2018哈爾濱二模)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：,且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；,(2)為分析乙廠產(chǎn)品
17、的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.,解(1)因為E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5，,(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：,用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：,所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：,所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.,2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算公式為P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(AB)P(A)P(B).,
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