《三維設(shè)計(jì)》2012屆高三數(shù)學(xué) 第8章 第5節(jié) 課時(shí)限時(shí)檢測 新人教A版

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1、 第8章 第5節(jié) (時(shí)間60分鐘，滿分80分) 一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分) 1．橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)到直線y＝x的距離是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．1 D. 解析：右焦點(diǎn)F(1,0)，∴d＝. 答案：B 2．(2011·福州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6. 答案：A

2、 3．若橢圓＋＝1過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)， 且與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，則該橢圓的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1 解析：拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，∴a＝2，c＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴橢圓的方程為＋＝1. 答案：A 4．(2011·金華十校)方程為＋＝1(a>b>0)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D.

3、 解析：設(shè)點(diǎn)D(0，b)，則＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 答案：D 5．已知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 解析：根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(b>0)，則將x＝－y－4代入橢圓方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝

4、3，長軸長為2＝2. 答案：C 6．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且·＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)． 設(shè)M(x，y)， 則·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0， 整理得x2＋y2＝3① 又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，故＋y2＝1， 即y2＝1－② 將②代入①， 得x2＝2，解得x＝±. 故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為. 答案：B 二、填空題(共3個(gè)小題，每小題5分，滿分15分) 7．若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(4,0)和(

5、0,2)，則該橢圓的離心率等于________． 解析：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且a＝4，b＝2故c＝＝2，所以其離心率e＝＝. 答案： 8．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是____________． 解析：由題意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8， 從而b2＝a2－c2＝48， ∴方程是＋＝1. 答案：＋＝1 9．(2011·海淀二月模擬)已知F1為橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，那么|F1A|＋|F1B|的值為________． 解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、則由 消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝，易得點(diǎn)A(0，－1)、B(，)．又點(diǎn)F1(－1,0)，因此|F1A|＋|F1B|＝＋＝. 答案： 三、解答題(共3個(gè)小題，滿分35分) 10．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2,0)，且長軸長與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)|MP―→|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意，得 解得a2＝16，b2＝12. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)P(x，y)為

7、橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為＋＝1，故－4≤x≤4. 因?yàn)椋?x－m，y)， 所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12·(1－)＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2. 因?yàn)楫?dāng)||最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)， 即當(dāng)x＝4時(shí)，||2取得最小值．而x∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1. 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，所以－4≤m≤4. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,4]． 11．(2010·濟(jì)南模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4. (1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P是橢

8、圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為kPM、kPN，當(dāng)kPM·kPN＝－時(shí)，求橢圓的方程． 解：(1)由b＝，得b＝. 又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2， c2＝a2－b2＝2，∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(－，0) (2)由于過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱， 不妨設(shè)：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)， 由于M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有＋＝1，＋＝1.兩式相減得：＝－. 由題意可知直線PM、PN的斜率存在， 則kPM＝，kPN＝， kPM·kPN＝·＝＝－， 則－

9、＝－，由a＝2得b＝1， 故所求橢圓的方程為＋y2＝1. 12．(2010·皖南八校)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中點(diǎn)為O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn)E(0,1)，問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|＝|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：(1)連接AC，依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5. ∴CA＋CB＝5＋3＝2a，a＝4. 又2c＝4，∴c＝2，從而b

10、＝＝2， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意知，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不滿足|ME|＝|NE|，當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|ME|＝|NE|顯然成立，此時(shí)k＝0. 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)， 由，消去y得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0， ∵Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0， ∴16k2＋12>m2，① 令M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為F(x0，y0)， 則x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， ∵|ME|＝|NE|，∴EF⊥MN，∴kEF×k＝－1， 即×k＝－1， 化簡得m＝－(4k2＋3)， 結(jié)合①得16k2＋12>(4k2＋3)2，即16k4＋8k2－3<0， 解之得－