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1、28.2.2 應用舉例
第1課時 解直角三角形的簡單應用
1．通過生活中的實際問題體會銳角三角函數在解題過程中的作用；(重點)
2．能夠把實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，并運用解直角三角形求解．(難點)
一、情境導入
為倡導“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具．圖①所示的是一輛自行車的實物圖，圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.
你能求出車架檔AD的長嗎？
二、合作探究
探
2、究點：解直角三角形的簡單應用
【類型一】 求河的寬度
根據網上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數據：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數據：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
解析：設AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據三角函
3、數得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據三角函數得到AB＝4x，依此得到關于x的方程，進一步即可求解．
解：設AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7m.
答：AB的長約為546.7m.
方法總結：解題的關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第3題
4、
【類型二】 求不可到達的兩點的高度
如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結果精確到0.1cm，參考數據：≈1.732)?
解析：首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案．
解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10c
5、m.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)．
答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.
方法總結：將實際問題抽象為數學問題，畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題
【類型三】 方案設計類問題
小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③，四邊形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小鋒的爸爸想買一輛長4.9m，寬1.9m的汽車停
6、放在這塊空地上，讓小鋒算算是否可行．小鋒設計了兩種方案，如圖①和圖②所示．
(1)請你通過計算說明小鋒的兩種設計方案是否合理；
(2)請你利用圖③再設計一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由(參考數據：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝)．
解析：(1)方案1，如圖①所示，在Rt△AGE中，依據正切函數求得AG的長，進而求得DG的長，然后與汽車的寬度比較即可；方案2，如圖②所示，在Rt△ALH中，依據正切函數求得AL的長，進而求得DL的長，然后與汽車的長度比較即可；(2)讓汽車平行于AB停放，如圖③，在Rt△AMN中，依據正弦函數求得AM的長，進而求得DM的長
7、．在Rt△PDM中，依據余弦函數求得PM的長，然后與汽車的長度比較即可．
解：(1)如圖①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝＝m≈3.68m，∴DG＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如圖②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝＝≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜4.9m，故此方案不合理；
(2)如圖③，過DA上一點M作MN⊥AB于點N，過CD上一點P作PQ⊥AB于點Q，連PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝＝≈2.4，∴DM＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝＝≈5.1m＞4.9m，故此方案合理．
方法總結：本題主要是利用三角函數解決實際問題，關鍵是把實際問題轉化為解直角三角形的問題，利用三角函數解決問題．
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題
三、板書設計
1．求河寬和物體的高度；
2．其他應用類問題．
本節(jié)課為了充分發(fā)揮學生的主觀能動性，可引導學生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高學生學習數學的興趣．能夠使學生自己構造實際問題中的直角三角形模型，并通過解直角三角形解決實際問題.
人教版九年級下冊數學 28.2.2 第1課時 解直角三角形的簡單應用 教案
