人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計(jì)算

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計(jì)算 1. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，E 是邊 BC 的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角的平分線 CF 于點(diǎn) F．求證：AE=EF（提示：取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG）． 2. 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問(wèn)題：如圖①，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥AE，過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥BC 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G． (1) 求證：∠BAE=∠FEG； (2) 同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖②，四邊形 ABCD

2、是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 上（除 B，C 外）的任意一點(diǎn)，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角 ∠DCG 的平分線于點(diǎn) F，求證：AE=EF． 3. 已知正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O．如圖，E，G 分別是 OB，OC 上的點(diǎn)，CE 與 DG 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F．若 DF⊥CE，求證：OE=OG． 4. 如圖①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn) C 的直線 m∥AB，D 為 AB 邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 作 DE⊥BC，交直線 m 于點(diǎn) E，垂足為點(diǎn) F，連接 BE． (1) 求證：CE=AD． (2) 如圖②，當(dāng)點(diǎn) D

3、是 AB 中點(diǎn)時(shí)，連接 CD． ①四邊形 BECD 是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由； ②當(dāng) ∠A= ° 時(shí)，四邊形 BECD 是正方形． 5. 在平面內(nèi)，正方形 ABCD 與正方形 CEFH 按如圖放置，連接 DE，BH 交于點(diǎn) M．求證： (1) BH=DE． (2) BH⊥DE． 6. 如圖①，在正方形 ABCD 的內(nèi)部，作 ∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得 △DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形 EFGH 是正方形． 類比探究： 如圖②，在正三角形 ABC 的內(nèi)部，作 ∠BAD=∠CBE=∠

4、ACF，AD，BE，CF 兩兩相交于 D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)（D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)不重合）． (1) △ABD，△BCE，△CAF 是否全等？如果是，請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明； (2) △DEF 是否為正三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由； (3) 進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD 的三邊存在一定的等量關(guān)系．如圖③，設(shè) BD=a，AD=b，AB=c，請(qǐng)?zhí)剿?a，b，c 滿足的等量關(guān)系． 7. 已知，正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn) M，N，AH⊥MN 于點(diǎn) H． (1) 如圖①，當(dāng) ∠MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到

5、 BM=DN 時(shí)，請(qǐng)你直接寫出 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系： ； (2) 如圖②，當(dāng) ∠MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM≠DN 時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由；如果成立請(qǐng)證明； (3) 如圖③，已知 ∠MAN=45°，AH⊥MN 于點(diǎn) H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論） 答案 1. 【答案】答圖略，取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG． ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF+∠AEB=90°， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠GAE+∠AEB=90°， ∴∠GAE=

6、∠CEF， ∵E 是 BC 的中點(diǎn)，G 是 AB 的中點(diǎn)， ∴BG=BE，AG=EC， ∴∠BGE=45°， ∵CF 是 ∠DCH 的平分線， ∴∠FCH=45°， ∴∠AGE=∠ECF=135°， 在 △AGE 和 △ECF 中， ∠GAE=∠CEF,AG=EC,∠AGE=∠ECF, ∴△AGE≌△ECFASA， ∴AE=EF． 2. 【答案】 (1) ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠FEG=90°， 又 ∵Rt△ABE 中，∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FEG． (2) 答圖略，在 AB 上取一點(diǎn) M，使

7、 AM=EC，連接 ME． ∵ 正方形 ABCD 中，AB=BC， ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF 是外角平分線， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴ 在 △AME 和 △ECF 中， ∠MAE=∠CEF,AM=EC,∠AME=∠ECF, ∴△AME≌△ECFASA， ∴AE=EF． 3. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，OD=OC， ∴

8、∠DOG=∠COE=90°， ∴∠OEC+∠OCE=90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG=90°， ∴∠OCE=∠ODG， ∴△DOG≌△COE， ∴OE=OG． 4. 【答案】 (1) 連接 CD，答圖略， ∵m∥AB， ∴EC∥AD， ∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∴ 四邊形 DECA 是平行四邊形， ∴CE=DA． (2) ①四邊形 BECD 是菱形． 理由： ∵ 由（1）知：四邊形 DECA 是平行四邊形， ∴CE=DA，CE∥AD， 在 Rt△ABC

9、中， ∵ 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn)， ∴BD=DC=DA， ∴CE∥BD，CE=BD， ∴ 四邊形 BECD 是平行四邊形， 又 ∵BD=DC， ∴ 四邊形 BECD 是菱形． ② 45 【解析】 (2) ②當(dāng) ∠A=45° 時(shí)，由于四邊形 DECA 是平行四邊形， ∴∠EDB=∠A=45°， 又 ∵BE=BD， ∴∠BED=∠EDB=45°， ∴∠EBD=90°． ∵ 四邊形 BECD 是菱形． ∴ 四邊形 BECD 是正方形． 5. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 CEFH 都是正方形， ∴CB=CD

10、，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCH=90°+∠DCH，∠DCE=90°+∠DCH， ∴∠BCH=∠DCE， ∴△BCH≌△DCESAS， ∴BH=DE． (2) 答圖略，BH 交 CD 于點(diǎn) N， ∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH=∠CDE， ∵∠CBH+∠BNC=90°，∠BNC=∠DNM， ∴∠CDE+∠DNM=90°， ∵∠CDE+∠DNM+∠DMN=180°， ∴∠DMN=90°， ∴BH⊥DE． 6. 【答案】 (1) 是． 證明： ∵△ABC 是正三角形， ∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=6

11、0°，AB=BC． ∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，而 ∠2=∠3． ∴∠ABD=∠BCE， 又 ∵∠1=∠2， ∴△ABD≌△BCE． (2) △DEF 是正三角形． 理由： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA． ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD， ∴△DEF 是正三角形． (3) 答圖略，作 AG⊥BD，交 BD 延長(zhǎng)線于 G． ∵△DEF 是正三角形， ∴∠ADG=60°， ∴ 在 Rt△ADG 中，DG=12b，AG=32b， 在 Rt△ABG 中，c2=a+12b2+32b2，

12、 ∴c2=a2+ab+b2． 7. 【答案】 (1) AH=AB (2) 數(shù)量關(guān)系成立、答圖略，延長(zhǎng) CB 至 E，使 BE=DN． ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°． 在 Rt△AEB 和 Rt△AND 中，AB=AD,∠ABE=∠ADN,BE=DN, ∴Rt△AEB≌Rt△AND， ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD， ∵∠DAN+∠BAM=45°， ∴∠EAB+∠BAM=45°， ∴∠EAM=45°， ∴∠EAM=∠NAM=45°． 在 △AEM 和 △ANM 中，AE=AN,∠EAM=∠NA

13、M,AM=AM, ∴△AEM≌△ANM． ∴S△AEM=S△ANM，EM=MN， ∵AB，AH 是 △AEM 和 △ANM 對(duì)應(yīng)邊上的高， ∴AB=AH； (3) 答圖略，分別沿 AM，AN 翻折 △AMH 和 △ANH，得到 △AMB 和 △AND， ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°． 分別延長(zhǎng) BM 和 DN 交于點(diǎn) C，得正方形 ABCD， 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD． 設(shè) AH=x，則 MC=x-2，NC=x-3， 在 Rt△MCN 中，由勾股定理，得 MN2=MC2+NC2， ∴52=x-22+x-32， 解得 x1=6，x2=-1（不符合題意，舍去）． ∴AH=6．