人教版八下數(shù)學 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計算

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1、 人教版八下數(shù)學 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計算 1. 如圖,四邊形 ABCD 是正方形,E 是邊 BC 的中點,∠AEF=90°,且 EF 交正方形外角的平分線 CF 于點 F.求證:AE=EF(提示:取 AB 的中點 G,連接 EG). 2. 數(shù)學課上,李老師出示了問題:如圖①,四邊形 ABCD 是正方形,點 E 是邊 BC 上的點,過點 E 作 EF⊥AE,過點 F 作 FG⊥BC 交 BC 的延長線于點 G. (1) 求證:∠BAE=∠FEG; (2) 同學們很快做出了解答,之后李老師將題目修改成:如圖②,四邊形 ABCD

2、是正方形,點 E 是邊 BC 上(除 B,C 外)的任意一點,∠AEF=90°,且 EF 交正方形外角 ∠DCG 的平分線于點 F,求證:AE=EF. 3. 已知正方形 ABCD 的對角線 AC,BD 相交于點 O.如圖,E,G 分別是 OB,OC 上的點,CE 與 DG 的延長線相交于點 F.若 DF⊥CE,求證:OE=OG. 4. 如圖①,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,過點 C 的直線 m∥AB,D 為 AB 邊上一點,過點 D 作 DE⊥BC,交直線 m 于點 E,垂足為點 F,連接 BE. (1) 求證:CE=AD. (2) 如圖②,當點 D

3、是 AB 中點時,連接 CD. ①四邊形 BECD 是什么特殊四邊形?請說明理由; ②當 ∠A= ° 時,四邊形 BECD 是正方形. 5. 在平面內(nèi),正方形 ABCD 與正方形 CEFH 按如圖放置,連接 DE,BH 交于點 M.求證: (1) BH=DE. (2) BH⊥DE. 6. 如圖①,在正方形 ABCD 的內(nèi)部,作 ∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得 △DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,從而得到四邊形 EFGH 是正方形. 類比探究: 如圖②,在正三角形 ABC 的內(nèi)部,作 ∠BAD=∠CBE=∠

4、ACF,AD,BE,CF 兩兩相交于 D,E,F(xiàn) 三點(D,E,F(xiàn) 三點不重合). (1) △ABD,△BCE,△CAF 是否全等?如果是,請選擇其中一對進行證明; (2) △DEF 是否為正三角形?請說明理由; (3) 進一步探究發(fā)現(xiàn),△ABD 的三邊存在一定的等量關系.如圖③,設 BD=a,AD=b,AB=c,請?zhí)剿?a,b,c 滿足的等量關系. 7. 已知,正方形 ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交 CB,DC(或它們的延長線)于點 M,N,AH⊥MN 于點 H. (1) 如圖①,當 ∠MAN 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到

5、 BM=DN 時,請你直接寫出 AH 與 AB 的數(shù)量關系: ; (2) 如圖②,當 ∠MAN 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到 BM≠DN 時,(1)中發(fā)現(xiàn)的 AH 與 AB 的數(shù)量關系還成立嗎?如果不成立請寫出理由;如果成立請證明; (3) 如圖③,已知 ∠MAN=45°,AH⊥MN 于點 H,且 MH=2,NH=3,求 AH 的長.(可利用(2)得到的結論) 答案 1. 【答案】答圖略,取 AB 的中點 G,連接 EG. ∵∠AEF=90°, ∴∠CEF+∠AEB=90°, ∵ 四邊形 ABCD 是正方形, ∴∠GAE+∠AEB=90°, ∴∠GAE=

6、∠CEF, ∵E 是 BC 的中點,G 是 AB 的中點, ∴BG=BE,AG=EC, ∴∠BGE=45°, ∵CF 是 ∠DCH 的平分線, ∴∠FCH=45°, ∴∠AGE=∠ECF=135°, 在 △AGE 和 △ECF 中, ∠GAE=∠CEF,AG=EC,∠AGE=∠ECF, ∴△AGE≌△ECFASA, ∴AE=EF. 2. 【答案】 (1) ∵∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEG=90°, 又 ∵Rt△ABE 中,∠BAE+∠AEB=90°, ∴∠BAE=∠FEG. (2) 答圖略,在 AB 上取一點 M,使

7、 AM=EC,連接 ME. ∵ 正方形 ABCD 中,AB=BC, ∴BM=BE, ∴∠BME=45°, ∴∠AME=135°, ∵CF 是外角平分線, ∴∠DCF=45°, ∴∠ECF=135°, ∴∠AME=∠ECF, ∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°, ∴∠BAE=∠CEF, ∴ 在 △AME 和 △ECF 中, ∠MAE=∠CEF,AM=EC,∠AME=∠ECF, ∴△AME≌△ECFASA, ∴AE=EF. 3. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,OD=OC, ∴

8、∠DOG=∠COE=90°, ∴∠OEC+∠OCE=90°, ∵DF⊥CE, ∴∠OEC+∠ODG=90°, ∴∠OCE=∠ODG, ∴△DOG≌△COE, ∴OE=OG. 4. 【答案】 (1) 連接 CD,答圖略, ∵m∥AB, ∴EC∥AD, ∵∠ACB=90°, ∴AC⊥BC, ∵DE⊥BC, ∴DE∥AC, ∴ 四邊形 DECA 是平行四邊形, ∴CE=DA. (2) ①四邊形 BECD 是菱形. 理由: ∵ 由(1)知:四邊形 DECA 是平行四邊形, ∴CE=DA,CE∥AD, 在 Rt△ABC

9、中, ∵ 點 D 是 AB 的中點, ∴BD=DC=DA, ∴CE∥BD,CE=BD, ∴ 四邊形 BECD 是平行四邊形, 又 ∵BD=DC, ∴ 四邊形 BECD 是菱形. ② 45 【解析】 (2) ②當 ∠A=45° 時,由于四邊形 DECA 是平行四邊形, ∴∠EDB=∠A=45°, 又 ∵BE=BD, ∴∠BED=∠EDB=45°, ∴∠EBD=90°. ∵ 四邊形 BECD 是菱形. ∴ 四邊形 BECD 是正方形. 5. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 CEFH 都是正方形, ∴CB=CD

10、,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°, ∴∠BCH=90°+∠DCH,∠DCE=90°+∠DCH, ∴∠BCH=∠DCE, ∴△BCH≌△DCESAS, ∴BH=DE. (2) 答圖略,BH 交 CD 于點 N, ∵△BCH≌△DCE, ∴∠CBH=∠CDE, ∵∠CBH+∠BNC=90°,∠BNC=∠DNM, ∴∠CDE+∠DNM=90°, ∵∠CDE+∠DNM+∠DMN=180°, ∴∠DMN=90°, ∴BH⊥DE. 6. 【答案】 (1) 是. 證明: ∵△ABC 是正三角形, ∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=6

11、0°,AB=BC. ∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,而 ∠2=∠3. ∴∠ABD=∠BCE, 又 ∵∠1=∠2, ∴△ABD≌△BCE. (2) △DEF 是正三角形. 理由: ∵△ABD≌△BCE≌△CAF, ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA. ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD, ∴△DEF 是正三角形. (3) 答圖略,作 AG⊥BD,交 BD 延長線于 G. ∵△DEF 是正三角形, ∴∠ADG=60°, ∴ 在 Rt△ADG 中,DG=12b,AG=32b, 在 Rt△ABG 中,c2=a+12b2+32b2,

12、 ∴c2=a2+ab+b2. 7. 【答案】 (1) AH=AB (2) 數(shù)量關系成立、答圖略,延長 CB 至 E,使 BE=DN. ∵ 四邊形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°. 在 Rt△AEB 和 Rt△AND 中,AB=AD,∠ABE=∠ADN,BE=DN, ∴Rt△AEB≌Rt△AND, ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD, ∵∠DAN+∠BAM=45°, ∴∠EAB+∠BAM=45°, ∴∠EAM=45°, ∴∠EAM=∠NAM=45°. 在 △AEM 和 △ANM 中,AE=AN,∠EAM=∠NA

13、M,AM=AM, ∴△AEM≌△ANM. ∴S△AEM=S△ANM,EM=MN, ∵AB,AH 是 △AEM 和 △ANM 對應邊上的高, ∴AB=AH; (3) 答圖略,分別沿 AM,AN 翻折 △AMH 和 △ANH,得到 △AMB 和 △AND, ∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°. 分別延長 BM 和 DN 交于點 C,得正方形 ABCD, 由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 設 AH=x,則 MC=x-2,NC=x-3, 在 Rt△MCN 中,由勾股定理,得 MN2=MC2+NC2, ∴52=x-22+x-32, 解得 x1=6,x2=-1(不符合題意,舍去). ∴AH=6.

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