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1、考點專練(四十七)一、選擇題1拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A B C. D.解析：拋物線方程可化為x2，其準線方程為y.設M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知y01y0.答案：B2拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線1的一個焦點重合，則該拋物線的標準方程可能是()Ax24y Bx24yCy212x Dx212y解析：雙曲線焦點為(0，3)，故拋物線方程為：x212y.故選D.答案：D3過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有()A1條 B2條 C3條 D4條解析：結合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x0，過點(0,1
2、)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0)，選C.答案：C4設斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點F，且和y軸交于點A，若OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為()Ay24x By24x Cy28x Dy28x解析：F，直線方程為y2，令x0，得A，SAOF|4，a264，a8.故選C.答案：C5(2012年鄭州一模)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29x By26x Cy23x Dy2x解析：如圖，分別過A、B作AA1l于A1，B
3、B1l于B1，由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，連接A1F，則AA1F為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1，則F1為AA1的中點，設l交x軸于K，則|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，拋物線方程為y23x，故選C.答案：C6(2012年山東)已知雙曲線C1：1(a0，b0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：1的離心率為2，2，即4，.x22py的焦點坐標為(0，)，1的漸近線方程為
4、yx，即yx.由題意2，p8.故C2：x216y，選D.答案：D二、填空題7(2012年安徽)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點若|AF|3，則|BF|_.解析：設直線AB的傾斜角為，則由|AF|3，p2，得cos ，|BF|.答案：8設拋物線y2mx的準線與直線x1的距離為3，則拋物線的方程為_解析：當m0時，準線方程為x2，m8.此時拋物線方程為y28x；當m0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點，A，B在x軸上的正射影分別為D，C.若梯形ABCD的面積為12，則p_.解析：依題意，拋物線的焦點F的坐標為，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為
5、yx，代入拋物線方程得，y23py0，故y1y23p，|AB|AF|BF|y1y2p4p，直角梯形ABCD有一個內角為45.故|CD|AB|4p2p，梯形面積為(|BC|AD|)|CD|3p2p3p212，解得p2.答案：2三、解答題10已知拋物線y22px(p0)有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，斜邊長為2，一直角邊的方程是y2x，求拋物線的方程解：因為一直角邊的方程是y2x，所以另一直角邊的方程是yx.由，解得，或(舍去)，由，解得，或(舍去)，三角形的另兩個頂點為和(8p，4p) 2.解得p，故所求拋物線的方程為y2x.11已知拋物線方程x24y，過點P(t，4)作拋物線的兩條切線P
6、A、PB，切點分別為A、B.(1)求證：直線AB過定點(0,4)；(2)求OAB(O為坐標原點)面積的最小值解：(1)證明：設切點為A(x1，y1)、B(x2，y2)又yx，則切線PA的方程為yy1x1(xx1)，即yx1xy1，切線PB的方程為yy2x2(xx2)，即yx2xy2，由點P(t，4)是切線PA，PB的交點可知：4x1ty1，4x2ty2，過A、B兩點的直線方程為4txy，即txy40.直線AB：txy40過定點(0,4)(2)由得x22tx160.則x1x22t，x1x216.SOAB4|x1x2|2216.當且僅當t0時，OAB的面積取得最小值16.12(2012年黑龍江哈爾
7、濱三模)已知過點A(4,0)的動直線l與拋物線G：x22py(p0)相交于B，C兩點當直線l的斜率是時，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解：(1)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當直線l的斜率是時，直線l的方程為y(x4)，即x2y4.聯(lián)立得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24.由已知4得y24y1.由韋達定理可得y11，y24，p2，拋物線G的方程為x24y.(2)設l：yk(x4)，BC中點坐標為(x0，y0)，得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC的中垂線為y2k24k(x2k)，b2(
8、k1)2，b2.熱點預測13(1)(2012年浙江溫州二模)拋物線y22px(p0)的焦點為F，其準線經(jīng)過雙曲線1(a0，b0)的左頂點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|2p，則雙曲線的離心率為()A. B2 C. D.(2)已知拋物線y28x的焦點為F，P是其上一點，Q是圓(x4)2(y1)21上一點，則|PF|PQ|的最小值為_解析：(1)由題意可得，拋物線焦點F，準線x，設點M坐標為(xM，yM)由拋物線定義可得，xM2p，xM.將xM代入拋物線方程得yMp，點M坐標為.又拋物線準線經(jīng)過雙曲線的左頂點，a，即a.將點M，a代入雙曲線方程得，b2，e.(2)拋物線的準線為x2，圓心為C(4，1)，過C作準線的垂線l，當P，Q分別為l與拋物線及圓的交點時，|PF|PQ|取最小值4215.答案：(1)A(2)5
2013高考數(shù)學總復習 考點專練47 文 新人教A版
