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1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（1 1）引入新課引入新課例題：某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水例題：某工廠要建造一個長方形無蓋蓄水池，其容積為池，其容積為4800m3,深為深為3m，如果池底，如果池底每每1m2的造價為的造價為150元，池壁每元，池壁每1m2的造價的造價為為120元問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低，元問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低，最低總造價是多少？最低總造價是多少？跳躍跳躍重要不等式及其應(yīng)用重要不等式及其應(yīng)用一、重要不等式的推導(dǎo)一、重要不等式的推導(dǎo)課題課題ii重要不等式重要不等式1 1 如果如果a a、b bR R,那么那么 a ab b22a ab b (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)
2、且僅當(dāng)a ab b時取時取“”號號)以公式以公式(1)為基礎(chǔ)為基礎(chǔ),運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式(2)這種由已這種由已知推出未知知推出未知(或要求證的不等式或要求證的不等式)的證明方法通常叫做的證明方法通常叫做綜合法綜合法。i如果如果a、bR,那么有那么有 (ab)0 (1)把把(1)式左邊展開，得式左邊展開，得 a 2abb 0 ab 2ab (2)(2)式中取等號成立的充要條件是什么？式中取等號成立的充要條件是什么？公公式式2、探索、探索設(shè)設(shè)a、b、cR，依次對其中的兩個運(yùn)用，依次對其中的兩個運(yùn)用公式公式(2)，有，有a +b 2ab;b +c 2bc;c +a 2ca
3、.a+b2ab(a、bR，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)把以上三式疊加，得把以上三式疊加，得 a b c abbcca(3)(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”號號)從以上推導(dǎo)過程中可以從以上推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法式問題的數(shù)學(xué)思想與方法迭代與疊加迭代與疊加.由于由于 ab(ab)(aabb),啟示我們把公式啟示我們把公式(2)變成變成 aabbab,兩邊同乘以兩邊同乘以a+b，為了得到同向不等式，這里，為了得到同向不等式，這里要求要求a、b0,得到得到 a+babab。(4)3 3、再探索、再探索 考查兩個以上實(shí)
4、數(shù)的更高次冪的和，考查兩個以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？又能得到什么有趣的結(jié)果呢？a+b2ab(a、bR當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取時取“”號號)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c0,0,那么那么abc 3 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)abc時取時取“”號號)考查三個實(shí)數(shù)的立方和又具有什么考查三個實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？性質(zhì)呢？由由公式公式(3)的推導(dǎo)方法，再增加一個正實(shí)數(shù)的推導(dǎo)方法，再增加一個正實(shí)數(shù)c，對對b、c,c、a 迭代迭代(4)式，并應(yīng)用公式式，并應(yīng)用公式(2)，得，得 2(a+b+c)a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)a 2bc+b 2ca+
5、c 2ab=6abc a+b+c3abc(5)(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”號）號）4、定理、定理(6)(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)在公式在公式(5)中用中用 、分別替換分別替換a、b、c，可得可得 ()+()+()3 a +b +c 33a3a3a3b3b3b3c3c3c3abc （a+b+c)/3 (7)(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)abc時取時取“”號）號）3abca+b2ab(a、bR當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)公式公式a+b+c 3abc (a,b,cR+當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”號號)問題：若問題：若a,b都為正數(shù)，試比較都為正數(shù)，試比較
6、 與與 的大小關(guān)系的大小關(guān)系.2ab ab2211()()2222abababab 2abab 定理定理1 1：如果如果a、b0,0,那么那么 (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取時取“”號號)2abab 定理定理1 1的推廣的推廣 如果如果a、b、c0,0,那么那么 (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)abc時取時取“”號號)33abcabc重要不等式及其應(yīng)用重要不等式及其應(yīng)用重要不等式重要不等式1 1 如果如果a、bR,R,那么那么a+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”=”號號)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c 0,0,那么那么a+b+c 3 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取
7、“=”=”號號)定理定理1 1 如果如果a、b 0,0,那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”=”號號)2abab定理定理1 1的推論的推論 ：如果如果a、b、c 0,0,那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”=”號號)3abc33abcabc5 5、兩、兩 個個 概概 念念公式公式定理表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于定理表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)?；虻扔冢┧鼈兊膸缀纹骄鶖?shù)。a+b2ab(a、bR當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)a+b+c 3abc (a,b,c R+當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”號號)如果如
8、果a1，a2，an 0，且，且 n1，那么，那么 叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù).123naaaan叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。123nna a aa說明說明公式公式（1）a+b2ab 成立的條件是成立的條件是a、bR，而均值不等式，而均值不等式 成立的條件是成立的條件是a、b R 2abab（2）若把）若把 看作是正數(shù)看作是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)看作是正數(shù)a,b的等比的等比中項(xiàng)，那么這個定理可敘述為中項(xiàng)，那么這個定理可敘述為“兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)比中項(xiàng)”2abab（3）若以）若
9、以a+b為直徑作圓，在直徑上取點(diǎn)為直徑作圓，在直徑上取點(diǎn)C，使，使ACa,CB=b,過點(diǎn)過點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，連接，連接AD,BD.可知可知 Rt ACDRt DCB 2DCAC BC故故有有 CDab即即 2abr又又（4）不等式）不等式 的變式有的變式有這些變式對我們今后解題會有很大的幫助的這些變式對我們今后解題會有很大的幫助的.2abab 2a bab 2()2abab例例1：2 P例例2：已知：已知x,y都為正數(shù)，求證：都為正數(shù)，求證：（1）如果積）如果積xy為定值為定值P，那么當(dāng)，那么當(dāng)x=y時，和時，和x+y有最小值有最小值（2）若）若x+y為定值為定值S，那么當(dāng)
10、，那么當(dāng)x=y時，積時，積xy有最大值有最大值214S例例3：已知：已知a,b,c,d都為正數(shù)，求證：都為正數(shù)，求證：()()4abcdacbdabcd課本：課本：P11練習(xí)練習(xí)如果如果a、b、cR,那么有那么有 (a-b)0 a+b 2ab a +b +c ab+bc+ca 如果如果a、b、c0,那么有那么有 a+b ab+ab a+b+c 3abc (a+b)/2 （a+b+c)/3 (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”號）號）公式總匯公式總匯算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）重要不等式重要不等式1 1 如果如果a、bR,R,那么那么a+b22ab b(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”
11、=”號號)重要不等式重要不等式2 2 如果如果a、b、c 0,0,那么那么a+b+c 3 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”=”號號)定理定理1 1 如果如果a、b 0,0,那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”=”號號)2abab定理定理1 1的推論的推論 ：如果：如果a、b、c 0,0,那么那么(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取時取“=”=”號號)33abcabc已知已知x,y都為正數(shù)，都為正數(shù)，（1）如果積）如果積xy為定值為定值P，那么當(dāng)，那么當(dāng)x=y時，和時，和x+y有最小值有最小值2 P（2）若）若x+y為定值為定值S，那么當(dāng)，那么當(dāng)x=y時，積時，積xy有
12、最大值有最大值214S這個結(jié)論反映在利用均值不等式求最值時，要這個結(jié)論反映在利用均值不等式求最值時，要注意以下三個條件注意以下三個條件（1）函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)）函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)（2）函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積必須）函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)是常數(shù)（3）等號成立的條件必須存在）等號成立的條件必須存在一正、二定、三相等一正、二定、三相等例例1、（、（1）求函數(shù)）求函數(shù) 的最小的最小值并求相應(yīng)的值并求相應(yīng)的x的值的值 1(0)1yxxx（2）求函數(shù)）求函數(shù) 的最小值的最小值并求相應(yīng)的并求相應(yīng)的x的值的值(5)(2)(1)1xxyxx （3）求函數(shù)）求函數(shù) 的最大值的最大值
13、1(1 2)(0)2yxxx 析：求函數(shù)的最值，可考慮利用和，積不等式，關(guān)鍵析：求函數(shù)的最值，可考慮利用和，積不等式，關(guān)鍵在于對函數(shù)式結(jié)構(gòu)的調(diào)整，使得函數(shù)的結(jié)構(gòu)為和的形式在于對函數(shù)式結(jié)構(gòu)的調(diào)整，使得函數(shù)的結(jié)構(gòu)為和的形式（或積的形式），并且相應(yīng)的和（或積）為定值（或積的形式），并且相應(yīng)的和（或積）為定值 說明：此題通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃握f明：此題通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃畏植鹱兞?，使之滿足定理?xiàng)l件，把問題轉(zhuǎn)化為分拆變量，使之滿足定理?xiàng)l件，把問題轉(zhuǎn)化為定積條件下的兩個變量和的問題定積條件下的兩個變量和的問題例例3、（1）某種汽車購買時的費(fèi)用是）某種汽車購買時的費(fèi)用是10萬元，每年的保險(xiǎn)費(fèi)、萬元，每年的保險(xiǎn)費(fèi)、
14、養(yǎng)路養(yǎng)路 費(fèi)、汽車油費(fèi)、汽車油 費(fèi)合計(jì)為費(fèi)合計(jì)為9千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一千元，汽車的維修費(fèi)平均為第一年年2千元，第二年為千元，第二年為4千元，第三年為千元，第三年為6千元千元依等差數(shù)列逐年依等差數(shù)列逐年遞增，問這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即年平均費(fèi)用最少）遞增，問這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即年平均費(fèi)用最少）（2）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的，畫面的寬與高的寬與高的 比為比為 ，畫面的上下各留，畫面的上下各留8cm的空白，左右的空白，左右各留各留5cm的空白，怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳的空白，怎樣確定畫面的高與寬的尺寸
15、，能使宣傳畫所用紙張面積最小畫所用紙張面積最小.(1)在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題時應(yīng)注意：在應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題時應(yīng)注意：（1）設(shè)變量）設(shè)變量.一般把要求最大值或最小值的變量設(shè)為函數(shù)一般把要求最大值或最小值的變量設(shè)為函數(shù)（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題最值問題（3）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值）在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值練習(xí)：練習(xí)：111.lglg2,xyxy 已已知知求求的的最最小小值值2.(0)1x 2 2x x求求y y=的的最最值值x x23.225(05)yxxx 求求的的 最最 值值再見再見
第二節(jié) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
