（福建專）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 文

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1、2.3函數(shù)的奇偶性與周期性知識梳理考點自測1.函數(shù)的奇偶性 f(-x)=f(x)y軸 f(-x)=-f(x)原點 知識梳理考點自測2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個周期,則需滿足條件:T0;對定義域內(nèi)的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個,那么這個就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個周期,則nT(nZ,且n0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正數(shù) 最小的正數(shù) 知識梳理考點自測1.函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義

2、,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(4)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.知識梳理考點自測2.周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x(其中a0,且為常數(shù)):3.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;知識梳理考點自測知識梳理考點自測1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1

3、)函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)內(nèi)是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0.()(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.()(4)如果函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).()(5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若在(-,內(nèi)f(x)是減函數(shù),則在(0,+)內(nèi)f(x)是增函數(shù).()(6)若T為y=f(x)的一個周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期.()知識梳理考點自測D解析解析:由題意知f

4、(x)的定義域為(-,0)(0,+),且在區(qū)間(0,+)內(nèi)為減函數(shù),f(x)為偶函數(shù),即f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故選D.知識梳理考點自測3.(教材習(xí)題改編P39A組T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x(1+x),則當(dāng)x0時,f(x)的解析式為()A.f(x)=x(1+x)B.f(x)=x(1-x)C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(x-1)B解析解析:(方法一)由題意得f(2)=2(1+2)=6.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(-2)=-6.經(jīng)驗證,僅有f(x)=x(1-x)時,f(-2)=-6.故選B.(方法二)當(dāng)x0,f(-x)=-x1+(

5、-x).又f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-f(x).-f(x)=-x(1-x),f(x)=x(1-x),故選B.知識梳理考點自測4.(教材習(xí)題改編P39B組T3)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在區(qū)間(0,+)內(nèi)是減函數(shù),且在區(qū)間a,b(ab0時,-x0,此時f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x0,此時f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故對于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).考點一考點二考點三考點四思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么?解題心得判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點:(1)定義域關(guān)于原點對稱

6、是函數(shù)具有奇偶性的前提.(2)判斷關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性:考點一考點二考點三考點四解(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.因為f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(2)由 可得函數(shù)的定義域為(-1,1.因為函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域為x|x0,關(guān)于原點對稱.當(dāng)x0時,-x0,此時f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=

7、x2-x=-(-x2+x)=-f(x);當(dāng)x0,此時f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).故對于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).考點一考點二考點三考點四函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=2x+m,則f(-2)=()(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)f(a),則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-1)(2,+)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+)(3)已知f(x)是偶

8、函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且 ,則函數(shù)f(x)的解析式為;(4)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x2-x,則當(dāng)x0時,函數(shù)f(x)的最大值為.AC考點一考點二考點三考點四解析解析:(1)因為f(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,則f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.(2)因為f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)xf(a),得2-a2a,解得-2a1.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考函數(shù)的奇偶性有哪幾個方面的應(yīng)用?解題心得1.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要有:利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式;利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調(diào)性;利用函數(shù)的

9、奇偶性解不等式;利用函數(shù)的奇偶性求最值等.2.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,往往要抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式.考點一考點二考點三考點四ADB考點一考點二考點三考點四(3)當(dāng)x=2時,有f(2)=0,因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大致圖象,由圖象可知,當(dāng)-2x-22,即0 x4時,有f(x-2)0,故選B.考點一考點二考點三考點四函數(shù)的周期性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的應(yīng)用例3(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x-1時,f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x3時,f(

10、x)=x,則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于()A.336 B.337 C.1 678D.2 012(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且 .若當(dāng)2x3時,f(x)=x,則f(105.5)=.B 2.5 考點一考點二考點三考點四解析解析:(1)f(x+6)=f(x),函數(shù)f(x)的周期T=6.當(dāng)-3x-1時,f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1xf(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)32,且當(dāng)x0,+)時,f(x)是增函數(shù),所以f()f(3)f(2).又函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(-3)=f(3),f(-

11、2)=f(2),故f()f(-3)f(-2).(3)因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.又對任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以當(dāng)x=-3時,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期為6.故f(2 017)=f(1)=2.考點一考點二考點三考點四思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的綜合問題的策略有哪些?解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略:(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題,常利用

12、奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.考點一考點二考點三考點四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(1)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若f(1)1,f(5)=,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,4)B.(-2,0)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(

13、-25)D.f(-25)f(80)f(11)AD考點一考點二考點三考點四解析解析:(1)f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù),f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1),解得-1a4.(2)因為f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間-2,2上是增函數(shù),所以f(-1)

14、f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).考點一考點二考點三考點四1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個關(guān)鍵點:(1)“定義域關(guān)于原點對稱”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)”的必要不充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要將函數(shù)進(jìn)行化簡,或應(yīng)用定義的等價形式:3.函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性,知二斷一.特別注意“奇函數(shù)若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0;偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應(yīng)用.考點一考點二考點三考點四4.求函數(shù)周期的方法 考點一考點二考點三考點四1.判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)的定義域.2.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),必須滿足對定義域內(nèi)的每一個x,都有f(-x)=-f(x),而不能說存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同樣偶函數(shù)也是如此.