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1、第七章 離散信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析, 離散時(shí)間信號(hào)的定義以及典型的離散信號(hào); 差分方程的建立與經(jīng)典解法; 離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng); 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念; 如何求零輸入響應(yīng); 如何利用卷積的方法求零狀態(tài)響應(yīng),一離散信號(hào)的表示方法,7.1 離散時(shí)間信號(hào)序列,波形:,序列形式:,解:,二離散信號(hào)的運(yùn)算,1相加:,2相乘:,3移位:,4反褶:,5差分:,6累加:,7尺度倍乘(壓縮、擴(kuò)展):,注意:有時(shí)需去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值。,8序列的能量,例7.1.2,1單位樣值信號(hào),時(shí)移性,抽樣性,注意:,單位取樣、單位函數(shù)、單位脈沖、單位沖激,三常用離散信號(hào),利用單位樣值信號(hào)表示任意序列,2單位階躍序
2、列,3矩形序列,4斜變序列,5單邊指數(shù)序列,6正弦序列,N稱為序列的周期,為任意正整數(shù)。,正弦序列周期性的判別,正弦序列是周期的,解:,解:,7復(fù)指數(shù)序列,復(fù)序列用極坐標(biāo)表示:,復(fù)指數(shù)序列:,一、線性時(shí)不變系統(tǒng),(1)線性:滿足均勻性和疊加性;,7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程,(2)時(shí)不變,(3)因果離散時(shí)間系統(tǒng) 如果系統(tǒng)響應(yīng)總是出現(xiàn)在激勵(lì)施加之后,則該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng),否則稱之為非因果系統(tǒng)。,例7.3.1 若已知n0時(shí)三個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)分別為: (1) y(n)=nx(n); 線性時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng) (2) y(n)=|x(n)|; 非線性時(shí)不變系統(tǒng) (3) y(n)=2x(n)+3x(n
3、-1)。 線性時(shí)不變系統(tǒng) 試判斷這三個(gè)系統(tǒng)各為哪類系統(tǒng)。,解 :設(shè)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為yzi(n),零狀態(tài)響應(yīng)為yzs(n),則根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性,響應(yīng)y(n)= yzi(n)+ yzs(n),當(dāng)激勵(lì)u(n)時(shí),初始條件x1(0)=1, x2(0)=2,當(dāng)激勵(lì)為3u(n)時(shí),初始條件不變,,解得:,所以當(dāng)激勵(lì)為2u(n),初始條件x1(0)=2, x2(0)=4,二、由微分方程導(dǎo)出差分方程,前向差分,列差分方程,若在t=nT 各點(diǎn)取得樣值,n代表序號(hào),三、由系統(tǒng)框圖寫差分方程,1基本單元,加法器:,乘法器:,延時(shí)器,D,例7.3.3框圖如圖,寫出差分方程,解:,一階后向差分方程,一階前向差分
4、方程,D,D,后向差分方程:若差分方程中含有未知序列項(xiàng)y(n),y(n-1),y(n-m),其中變量序號(hào)由n開始按遞減方式排列,則這種方程稱為后向差分方程。 前向差分方程:若方程中含有未知序列項(xiàng)y(n), y(n+1),y(n+m),其中變量序號(hào)由n開始按遞增方式排列,則這種方程稱為前向差分方程。,解: 根據(jù)系統(tǒng)差分方程,可得,或 :,例7.3.4 已知系統(tǒng)的差分方程為y(n+3)+ 8y(n+2)+ 17y(n+1)+ 10y(n)= 6x(n+2)+17x(n+1)+19x(n),畫出該系統(tǒng)的時(shí)域模擬框圖。,四、差分方程的特點(diǎn),(1)輸出序列的第n個(gè)值不僅決定于同一瞬間的輸入樣值,而且還與
5、前面輸出值有關(guān),每個(gè)輸出值必須依次保留。,(2)差分方程的階數(shù):等于差分方程中未知(輸出)序列變量序號(hào)的最高和最低值之差。 如果一個(gè)系統(tǒng)的第n個(gè)輸出決定于剛過去的幾個(gè)輸出值及輸入值,那么描述它的差分方程就是幾階的。,(4)差分方程描述離散時(shí)間系統(tǒng),輸入序列與輸出序列間的運(yùn)算關(guān)系與系統(tǒng)框圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系。,(3)微分方程可以用差分方程來逼近,微分方程解是精確解,差分方程解是近似解,兩者有許多類似之處。,解法:,1.迭代法:解差分方程的基礎(chǔ)方法 差分方程本身是一種遞推關(guān)系,,3.零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),2.時(shí)域經(jīng)典法:齊次解+特解,4. z變換法反變換y(n),7.4 離散
6、系統(tǒng)時(shí)域分析經(jīng)典法,一、時(shí)域經(jīng)典法,1、齊次方程的解,齊次方程:,特征方程:,根據(jù)特征根,解的三種情況,2.有重根 假定1是K重根,相應(yīng)于1的部分將有K項(xiàng),3.有共軛復(fù)數(shù)根 齊次解的形式可以是等幅、增幅或衰減等形式的正弦(余弦)序列。,1.單根,無重根,由遞推關(guān)系,可得輸出值:,例7.4.1,解:,7.4.2求解二階差分方程,特征方程,齊次解,解出,特征根,解:,2非齊次差分方程,例7.4.3,代入原方程求特解,特解,解:,齊次解:,全解形式:,由邊界條件定系數(shù):,1.零輸入響應(yīng):輸入為零,差分方程為齊次解,C由起始狀態(tài)確定(相當(dāng)于0-的條件),齊次解:,2.零狀態(tài)響應(yīng):起始狀態(tài)為0,即,求解
7、方法,經(jīng)典法:齊次解+特解,卷積法,二、離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)的分解方式 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),用兩種方法求解此題 方法一:經(jīng)典法 方法二:雙零法,解:,(1)求齊次解,特征方程為,故特征根為,則齊次解為,由題知激勵(lì)是指數(shù)序列形式,可設(shè)特解為,將其代入差分方程得,(2)求特解,(3) 求全解,由原差分方程得,解得,所以系統(tǒng)的全解為,(1) 求零輸入響應(yīng),在零輸入情況下,響應(yīng) 滿足齊次方程,解的形式為,而齊次方程的特征根 ,則,這一點(diǎn)一定要注意。如果已知系統(tǒng)的初始值 , 欲求零輸入響應(yīng),還必須經(jīng)過迭代求出起始狀態(tài)。,方法二:求零輸入和零狀態(tài)響應(yīng),(2)零狀態(tài)
8、響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng) 是滿足非齊次方程,且起始狀態(tài)全部 為零的解,即滿足,因此仍然可用經(jīng)典法求得,確定初始值,所以系統(tǒng)的全解為,7.5 離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng),若激勵(lì)為單位序列(n)時(shí),其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)h(n)稱為單位序列響應(yīng)。,一、迭代法: 是一種遞推法,一個(gè)不斷迭代過程,稱之為迭代法,例7.5.1已知離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 試求其單位樣值響應(yīng)h(n),解:對(duì)于因果系統(tǒng),迭代法,二、等效初值法 單位樣值的激勵(lì)作用等效為一個(gè)起始條件h(0)=1, 因而,求單位樣值相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。,例7.5.2已知系統(tǒng)差分方程,,求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。,特征根,特征
9、方程,解:,零狀態(tài),7.6 卷積和 一、離散系統(tǒng)的時(shí)域分解,時(shí)不變,齊次性,可加性,輸出,卷積和的公式表明:,1、交換律、結(jié)合律和分配律,(1)交換律,卷積和的性質(zhì):,二、 卷積和 設(shè)兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)為x1(n)和x2(n) ,定義x1(n)與x2(n)的卷積和運(yùn)算為,(2)結(jié)合律,(3)分配律,2、移位性質(zhì),3、其它性質(zhì),4、卷積和的計(jì)算:,反褶、平移、相乘、求和四個(gè)步驟:,解:,波形,利用分配律,解:,對(duì)位相乘求和法:,y(n)的元素個(gè)數(shù)?,若:,例如:,三、卷積和的應(yīng)用 對(duì)于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng),若激勵(lì)為單位序列,單位序列響應(yīng)為h(n),則激勵(lì)與系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)之間有如下關(guān)系:,例7.6
10、.3 描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為 已知y(-1)=1,求系統(tǒng)全響應(yīng)y(n)。,解:(1) 求零輸入響應(yīng)yzi(n)。,得C=0.9,故,(2) 求單位序列響應(yīng)。,利用等效初值法,可求得,(3) 求激勵(lì)時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)。,全響應(yīng),在y(n)=x(n)*h(n)式中, 若已知y(n)、 h(n) ,如何求x(n) 對(duì)連續(xù)系統(tǒng)不易寫出明確的關(guān)系式,而對(duì)離散系統(tǒng)容易寫出:,四、 反卷積,寫為矩陣運(yùn)算形式,目的反求x(n),同理,本章總結(jié): 1、離散時(shí)間信號(hào) 2、常用的離散時(shí)間信號(hào) 3、線形時(shí)不變系統(tǒng) 4、離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:差分方程、離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬 5、差分方程時(shí)域經(jīng)典求解:齊次差分方程,非齊次差分方程 6、響應(yīng)的分解方式:零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng),暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 7、單位序列響應(yīng) 8、卷積和單位序列響應(yīng)與激勵(lì)序列的卷積和,即得所求零狀態(tài)響應(yīng),作業(yè): 7.9 7.16 7.20 7.29(1)(4) 7.31(1),