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1、LOGO 隨機過程 第五章 布朗運動 1 布朗運動的 基本概念 2 布朗運動 的首中時 及最大值 3 布朗運動 的應用 定 義 性 質(zhì) 推 廣 1 基本概念 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 2 最初由英國生物學家布朗 (Brown)于 1827年提出這種物理現(xiàn) 象； 1905年愛因斯坦首次對這一現(xiàn)象的物理規(guī)律給出數(shù)學描述； 1918年維納 (Wiener)運用數(shù)學理論嚴格描述這種無規(guī)則運 動 ， 并用隨機過程理論和概率理論建立了數(shù)學模型 。 因此 布朗運動又稱維納過程； 是具有 連續(xù)時間參數(shù) 和 連續(xù)狀態(tài)空間 的一類隨機過程； 在金融領(lǐng)域的證券市場中 （ 如債券 、 期權(quán)
2、等 ） ， 有著極其 重要的應用 。 將布朗運動與股票價格行為聯(lián)系在一起 ， 進 而建立起維納過程的數(shù)學模型是本世紀的一項具有重要意 義的金融創(chuàng)新 ， 在現(xiàn)代金融數(shù)學中占有重要地位 。 背 景 背 景 性 質(zhì) 推 廣 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 3 定義： 若隨機過程 * , 0+滿足： (1) 關(guān)于 是連續(xù)函數(shù) (2) * , 0+具有平穩(wěn)獨立增量 (3) , 0, . + (0,2) 則稱隨機過程 * , 0+為 布朗運動 （ 或 維納過程 ） 。 當 = 1時 ， 稱隨機過程 * , 0+為標準布朗運動 ， 記為 * , 0+ 1 基本概念 定 義 若 0 =
3、0，則 0, . (0,2) 若 0 = 0，則 0, . (0,) 增量服從 正態(tài)分布 背 景 性 質(zhì) 推 廣 例： 設(shè)布朗運動 (0,2)， 求其均值 、 方差 、 協(xié)方差及相關(guān)函數(shù) 。 中南民族大學經(jīng)濟學院 4 解： 隨機過程 第 5章 -布朗運動 1 基本概念 由布朗運動定義可得： () = = 0, ()2 = = 2 當 1 2時 ， 1,2 = 22 1,2 = 2 min 1,2 1,2 = 1,2 1 2 = 2 min 1,2 定 義 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 5 設(shè) * , 0+為標準布朗運動 ， 在時刻 的概率密度函數(shù)
4、為 ; = 12 2 2 2 1 (1 2)的概率密度函數(shù)為 ;2 1 = 12( 2 1) 2 2(21) 概率密度函數(shù) 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 6 設(shè) * , 0+為標準布朗運動 ， 對 0 = 0 1 ， ( 1 , )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 1,;1, = 1; 1 =1 其中 ， 0 = 0 = 0且 0 = 0 ; = 12 2 2 有限維聯(lián)合分布 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 推 廣 背 景 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 7 證明： 有限維聯(lián)合分布 1 基本概念 性 質(zhì) 由布朗運動的
5、獨立增量性，令 1 = 1 , = 1 , 2 ，則 1,相互獨立，且 (0, 1)。所以 (1,)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 1, = 12( 1) 2 2(1) =1 = =1 , 1 ( 1 , )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為： 1,;1, = 1, 其中 = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , = 1 1,;1, = 12( 1) 2 2(1) =1 = 1; 1 =1 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 8 設(shè) * , 0+ 為 標 準 布 朗 運 動 ， 對 1 0 ， 當給定 = 時 + 的 條件 概率密度函數(shù)為 ;|
6、= ; = 12 ()2 2 由正態(tài)分布的特性 ， 有 + = = + = = 12 對稱性 1 基本概念 性 質(zhì) 解釋： 當給定 初始條件 = 時，對于任意 0 ，標準布 朗運動在時刻 +的位置高于或低于初始位置的概率相等， 即標準布朗運動的對稱性。 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 10 平移不變性： 設(shè) * , 0+為布朗運動 ， 則 * + (), 0+(a為常數(shù) )也是布朗運動 。 尺度不變性 ： 設(shè) * , 0+為布朗運動 ， 則 * , 0, 0+也是布朗運動 。 平移不變性 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 背 景 推 廣 中南民族大學經(jīng)
7、濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 11 正向馬爾可夫性： 設(shè) * , 0+為標準布朗運動 ， 對 1 ， 在給定 1 , 1 下 的條件概率 密度函數(shù)與只給定 1 下 的條件概率密度函數(shù)相同 。 中間關(guān)于兩邊的馬爾可夫性 ： 設(shè) * , 0+為標準布朗運動 ， 對 1 ， 在給定 1 , 1 , +1 , 下 ( 1 ) 的 條 件 概 率 密 度 函 數(shù) 與 只 給 定 1 , +1 下 的條件概率密度函數(shù)相同 。 馬爾可夫性 1 基本概念 性 質(zhì) 定 義 推 廣 背 景 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 12 證明： 馬爾可夫性 1 基本概念 性 質(zhì) 設(shè) * ,
8、0+為一布朗運動，則由其獨立增量性可知，在時間區(qū)間 , + 上的增量 + ()與過程在時間 前的狀態(tài)獨立，因此對 于 , ，有： + = = , = ,0 = + = = , = ,0 = ( + = | = , = ,0 ) = ( + = ) + = = = + = = = ( + = ) + = = , ,0 0, . ,2 , 0, 則稱 * , 0+為 帶有 （ 線性 ） 漂移的布朗運動 。 可定義為： = + , 0 也是一個 正態(tài)過程 。 且有 = , , = 2 min , , , 0 帶有漂移的布朗運動 1 基本概念 推 廣 性 質(zhì) 定 義 背 景 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機
9、過程 第 5章 -布朗運動 16 設(shè)隨機過程 * , 0+為標準布朗運動 ， 稱 = + , 0 為 幾何布朗運動 。 幾何布朗運動不是正態(tài)過程 。 = + 2 2 , , = + 2 2 + (2 1) 幾何布朗運動 1 基本概念 推 廣 LOGO 隨機過程 第五章 布朗運動 1 布朗運動的 基本概念 2 布朗運動 的首中時 及最大值 3 布朗運動 的應用 最 大 值 過 零 點 率 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 18 定義： 設(shè)隨機過程 * , 0+為 標準布朗運動 ， 且 0 = 0， 令 = inf *: = , 0+表示首次擊中 的時間 ， 即 首中 時 。
10、分布： 首中時 的分布函數(shù)為 = 22 2 2 + d 且 = +, 首 中 時 顯然有 = 0 = 由布朗運動的對稱性知，在 （ 即 = ）的條件下 ， * +和 * +是等可能的，即： = 0時 = 22 2 2 + d = 22 2 2 + d = 2(1 ) 當 0 2 首中時及最大值 過 零 點 率 最 大 值 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 20 證明： 常返性 d + 0 = 22 2 2 0 dd + 0 = 22 d 2 2 0 2 2 d + 0 = 2 2 2 1 2 2 2 d + 0 2 2 2 1 2 2 2 d 1 0 2 212 2 1 2
11、d 1 0 = 首 中 時 2 首中時及最大值 過 零 點 率 首 中 時 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 22 定義： 設(shè)隨機過程 * , 0+為 標準布朗運動 ， 對任意 0， 令 = max0() 表示標準布朗運動在 ,0,-上的 最大值 。 分布： 當 0時 ， 存在事件的等價關(guān)系 * + *() + = = 22 2 2 + d 的密度函數(shù)為 () = 2 32 2 2 , 0 0 , 0 2 首中時及最大值 最 大 值 最 大 值 首 中 時 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 23 定義： 設(shè)隨機過程 * , 0+為 標準布朗運動 ， 對任
12、意 1 2， 記事件 0 1,2 = *至少有一個 1,2 ， 使 = 0+ 即在 1,2 內(nèi)至少過一次零點 ， 稱 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d 為 過零點概率 。 2 首中時及最大值 過 零 點 率 最 大 值 首 中 時 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 24 反正弦定理： 記 0 1,2 = *至少有一個 1,2 ， 使 = 0+ 0 1,2 = *沒有 一個 1,2 ， 使 = 0+ 則 0 1,2 = 2arcsin 1 2 且當 1 = ,2 = ,0 x 0 = = 2 32 2 2d 0 最 大 值 首 中 時 中南民族
13、大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 26 證明 (續(xù) )： 反正弦定理 2 首中時及最大值 過 零 點 率 0 1,2 = 0 1,2 | 1 = + 1 21 2 21d = 2 ( 2 1) 12 1 2 21d + 0 = 22 1 2 3 2 2 2d 21 0 2 21d + 0 = 1 1 3 2 2 2 ( 1 + 1 1)d + 0 d 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 )d, 2 2 ( +1 1 )- + 0 d 21 0 = 1 1 3 2 1 + 1 2 2 ( +1 1 ) +0 d 21 0 = 1 1 1 2 1 + 1 d
14、 21 0 最 大 值 首 中 時 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 27 證明 (續(xù) 2)： 反正弦定理 2 首中時及最大值 過 零 點 率 令 = 12, 1,2 = 21 1 ，則 0 1,2 = 1 1 21 1( 1 +12) d (1,2) 0 = 2 11+2 d (1,2) 0 = 2arctan 1,2 = 2arccos 2 1 0 1,2 = 1 0 1,2 = 2arcsin 1 2 LOGO 隨機過程 第五章 布朗運動 1 布朗運動的 基本概念 2 布朗運動 的首中時 及最大值 3 布朗運動 的應用 股票 期權(quán) 價值 股票 期權(quán) 實施 商品 價格
15、模型 BSDE 問題 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 29 例： 設(shè) ( 0)表示企業(yè)破產(chǎn)或投資者 “ 死亡 ” 的時間 ， 是一個隨機變量 。 再設(shè) * , 0+是具有獨立增量的隨機過 程 。 令隨機過程 * , 0+為 = (0)() , + 0 = + 0 = () ln( + ) + 0 = 12 2 2 + ln(+ ) dd + 0 解 ： 股票 期權(quán) 價值 企業(yè) 破產(chǎn) 過程 商品 價格 模型 BSDE 問題 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 31 例： 假設(shè)某投資者持有敲定價格為 的 美 式買入期權(quán) 。 設(shè)此 股票價格變化遵循帶有負漂移系
16、數(shù) ( 0 若期望最大的投資收益，則有 = 12 解 ： 股票 期權(quán) 實施 股票 期權(quán) 價值 企業(yè) 破產(chǎn) 過程 股票 期權(quán) 實施 BSDE 問題 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 32 例： 設(shè) 表示某商品在時刻 的價格 ， 且價格比 1 是獨立同 分布的隨機序列 。 令 = 1 , 1,0 = 1 則有 = 12 ln = =1 ln近似于布朗運動 ， 即商品價格近似于幾何布朗運動 。 3 布朗運動的應用 商品 價格 模型 商品 價格 模型 股票 期權(quán) 價值 企業(yè) 破產(chǎn) 過程 股票 期權(quán) 實施 中南民族大學經(jīng)濟學院 隨機過程 第 5章 -布朗運動 33 例： 設(shè)一個自融資
17、金且無消費的單身漢 ， 為其成家的日期 ， 他在 ,0,-期間的決策是：在時刻將他財產(chǎn) ()之中的 ()用 于 買 股 票 ， () 用 于 買 債 券 ， 則 其 財 產(chǎn) ,0 滿足 d = , d d() 其中 , = + +( )( ) 0為債券利率 ， 是市場貸款利率 。 一般 ， 當 = 時 ， , = + 。 若他計劃在 時結(jié)婚 ， 自己的財產(chǎn)要達到 元 ， 則此決策問題 轉(zhuǎn)化為： d = , d d() = 求解 ( , )0 。 3 布朗運動的應用 BSDE 問題 倒向參數(shù)隨機微分方程 LOGO 隨機過程 第五章 布朗運動 1 布朗運動的 基本概念 2 布朗運動 的首中時 及最大值 3 布朗運動 的應用
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