具有非齊次邊界條件的問題以及固有值和固有函數

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1、1 2.5 具有非齊次邊界條件的問題 ),( txw ),(),(),( txwtxvtxu 本節(jié)我們討論帶有非齊次邊界條件的定解問題 的求解方法。 處理這類問題的 基本原則 是： 無論方程是 齊次的還是非齊次的 ，選取一個 輔 助函數 的方法。（也可稱為 輔助函數法 ） 我們以下面的問題為例，說明選取 函數代換 ),( txv 通過 函數代換 使得對于新的未知函數 而言， 邊界條件為 齊次的。 2 考察定解問題： ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),(),(),(),0( 21 tutlututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t (80) (81) (79

2、) ),(),(),( txwtxvtxu ,0),0( tv .0),( tlv ),(),(),(),0( 21 tutlwtutw ),( txw ),( txv 通過作一 函數變換 將 邊界條件化為齊次 的， 為此令 (82) 并選取 輔助函數 使新的未知函數 滿足 齊次邊界條件 ，即 (83) 由 (80)(82)容易看出， 要使 (83)成立，只要 (84) 3 ),( txw ),( txw x ),()(),( tBxtAtxw )(),( tBtA ) ,()(1)( 12 tutultA ),()( 1 tutB ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),()

3、,(),(),0( 21 tutlututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t (80) (81) (79) ),(),(),( txwtxvtxu (82) ),(),(),(),0( 21 tutlwtutw (84) 其實滿足 (84)中兩個條件的函數 是很多的， 為了以后計算方便起見，通常取 為 的一次 式， 即設 由條件 (84)確定 得 4 ),( txv ).()()(),( 112 tututulxxtw ).()()(),(),( 112 tututulxtxvtxu ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),(),(),(),0( 21 tutl

4、ututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t (80) (81) (79) ),(),(),( txwtxvtxu (82) 于是可得 因此，令 (85) 則問題 (79)-(81)可化成 的定解問題 5 ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),(),(),(),0( 21 tutlututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t (80) (81) (79) ),0,0(),(12 tlxtxfvav xxtt ,0),(),0( tlvtv ).()0,(),()0,( 11 xxvxxv t (86) ),()()(),(),( 1121 tutu

5、tulxtxftxf ),0()0()0()()( 1121 uuulxxx 其中 ).0()0()0()()( 1121 uuulxxx ).()()(),(),( 112 tututulxtxvtxu (85) 6 ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),(),(),(),0( 21 tutlututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t (80) (81) (79) ),0,0(),(12 tlxtxfvav xxtt ,0),(),0( tlvtv ).()0,(),()0,( 11 xxvxxv t (86) ).()()(),(),( 112 tutut

6、ulxtxvtxu (85) 將問題 (86)的解代入 即得原定解問題問題 (79)-(81)的解。 7 ),0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt (79) ; )(),(),(),0( 21 tutlututu );(),(),(),0( 21 tutlututu x );(),(),(),0( 21 tutlututu x (4) (3) (2) (1) );(),(),(),0( 21 tutlututu xx ).()(),( 12 tuxtutxw ).()()(),( 121 tlutuxtutxw .)(2 )()(),( 1212 xtuxl tututxw ).()

7、()(),( 112 tututulxxtw 若邊界條件不全是第一類，也可采用類似方法 把 非齊次邊界條件化成齊次 的。 我們就下列幾種 非齊次邊界條件的情況，分別給出相應 輔助函數 ),( txw 的表達式： 以上 4種輔助函數的情形對熱傳導方程同樣適用。 8 求解下列問題： ),0,0(2 tlxuau xxt ,0),(,),0( tluttu ,.0)0,( xu (87) 例 1 .),( txlttxw ,),(),( txlttxvtxu - ),0,0(12 tlxlxvav xxt ,0),(,0),0( tlvtv .0)0,( xv (88) 解 選取 輔助函數 令 則問

8、題 (87)化成 9 ,s in)(),( 1 n n xl ntvtxv (89) ,)()( 0 )()( 2 t tl an nn deftv - ),0,0(12 tlxlxvav xxt ,0),(,0),0( tlvtv .0)0,( xv (88) 應用 固有函數法 求問題 (88)的解。 為此，設 利用 2.4.2節(jié)中推得公式 (64)可知 再利用 2.4.2節(jié)中推得公式 (62)可知 dxl xnlxl l 0 s in12 .2ndxl xntxfltf ln 0 s in),(2)( 10 ntf n 2)( .s i n1)( 2),( 1 )( 23 2 2 n tl

9、 an l xne an ltxv ,)()( 0 )()( 2 t tl an nn deftv t tl an n dentv 0 )()( 22)( ,1)( 2 2)( 23 2 tl ane an l ,s in)(),( 1 n n xl ntvtxv .s i n1 )( 21),( 1 )( 23 2 2 n t l an l xne an l l xttxu 再將 代入 (90) 即得 把 (90)代入 (89) 可得 因此，原問題 (87)的解為 11 f 21,uu t ),(xw ),(),(),( xwtxvtxu 特別值得注意的是，對于給定的定解問題， 例如： ),

10、0,0(),(2 tlxtxfuau xxtt ),(),(),(),0( 21 tutlututu ).()0,(),()0,( xxuxxu t 如果方程中的 自由項 和 邊界條件 中的 都 與自變量 無關 ， 在這種情形下，我們可選取 輔助函數 通過 函數代換 使 方程與邊界條件同時化成齊次 的。 12 求解下列問題： ),0,0(2c o s2s i n2 tlxxlxluau xxtt ,6),(,3),0( tlutu .4s i n)0,(,13)0,( xlxulxxu t (91) 例 2 ),(),(),( xwtxvtxu ,2c os2s i n)(2 xlxlxwva

11、v xxtt 解 設問題的解為 (92) )(xw .02c os2s in2 xlxlwa 將 (92)代入問題 (91)中的方程，即得 為了將此 方程化成齊次 的，自然選取 滿足 13 )(xw),( txv ,)( 30 w .)( 6lw ,3)0(),0( wtv ,6)(),( lwtlv ,13)()0,( lxxwxv . 4s in)0,( x lxv t 求解下列問題： ),0,0(2c o s2s i n2 tlxxlxluau xxtt ,6),(,3),0( tlutu .4s i n)0,(,13)0,( xlxulxxu t (91) 例 2 ),(),(),(

12、xwtxvtxu 解 (92) 再把 (92)代入問題 (91)中的定解條件，得 為了將 的 邊界條件也化成齊次 ， 則 滿足 14 .02c os2s in2 xlxlwa ,)( 30 w .)( 6lw ),0,0(2 tlxuav xxtt ,0),(,0),0( tlvtv ),(13)0,( xwlxxv (94) (93) ),0,0(2c o s2s i n2 tlxxlxluau xxtt ,6),(,3),0( tlutu .4s i n)0,(,13)0,( xlxulxxu t (91) ),(),(),( xwtxvtxu (92) 這樣由代換 問題 (91)化為下面

13、兩個問題： 和 .4s in)0,( xlxv t 15 .134s i n32)( 22 2 lxxlalxw )(xw .02c os2s in2 xlxlwa ,)( 30 w .)( 6lw (93) 問題 (93)是一個常微分方程的邊值問題，其解為 ),0,0(2 tlxuav xxtt ,0),(,0),0( tlvtv ,4s in32)0,( 22 2 xlalxv .4s in)0,( x lxv t 將求得的 代入問題 (94) (*) 16 ),0,0(2 tlxuav xxtt ,0),(,0),0( tlvtv ,4s in32)0,( 22 2 xlalxv .4s

14、 in)0,( x lxv t (*) ) 1 s i ns i nc o s(),( n nn l xn l atnb l atnatxu (14) ,s in)(2 0 dxl xnxla ln ,s in)(2 0 dxl xnxanb ln (15) 利用公式 nn ba ,其中系數 滿足 17 ) 1 s i ns i nc os(),( n nn l xn l atnb l atnatxv ,4n x d xlnxlalla ln s i n4s i n322 0 22 2 dxl xnl xanb ln 0 s i n4s i n2 ,32 222 al ,0 .4n 那么 nn

15、 ba ,其中系數 計算可得 ,4n ,4 al ,0 .4n 18 .4s i n4s i n44c o s32),( 22 2 xltl aaltl aaltxv xltl aaltl aaltxu 4s i n4s i n44c o s32),( 22 2 .134s in32 22 2 lxxlal ),0,0(2 tlxuav xxtt ,0),(,0),0( tlvtv ),(13)0,( xwlxxv (94) .4s in)0,( xlxv t 于是，問題 (94)的解為 因此，原問題 (91)的解為 19 求解下列問題： ),0,0(2c o s2s i n2 tlxxlxl

16、uau xxtt ,6),(,3),0( tlutu .4s i n)0,(,13)0,( xlxulxxu t (91) 例 2 另解 選取 輔助函數 ),1(3),( lxtxw )1(3),(),( lxtxvtxu ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .4s in)0,(,0)0,( xlxvxv t 令 代入問題 (91)得 (*) 20 ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .4s in)0,(,0)0,( xlxvxv t 由 2.4.1節(jié)的分析可設 ),(),(),( txwt

17、xvtxv ),( txv ),( txw ,2 xxtt waw ,0),(),0( tlwtw .4s in)0,(,0)0,( xlxwxw t ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .0)0,(,0)0,( xvxv t 而且 和 分別滿足如下定解問題 (I) (II) (*) 21 ,2 xxtt waw ,0),(),0( tlwtw .4s in)0,(,0)0,( xlxwxw t (II) ) 1 s i ns i nc os(),( n nn l xn l atnb l atnatxw ,0s in)(2 0 x dxlnx

18、la ln dxl xnl xanb ln 0 s i n4s i n2 利用 2.1節(jié)中的公式 (14)(15)可算得 nn ba ,其中系數 為 ,4n ,4 al ,0 .4n 則問題 (II)的解為 .4s in4s in4),( xltl aaltxw 22 ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .0)0,(,0)0,( xvxv t (I) 應用 固有函數法 求問題 (I)的解。 為此，令 ,s in)(),( 1 n n xl ntvtxv ,)(s i n)()( 0 t nn dtl anfan ltv 利用 2.4.1節(jié)中推

19、得公式 (53)可知 再利用 2.4.1節(jié)中推得公式 (51)可知 dxl xnl xl l0 s in4s in1 dxlntxfltf ln 0 s in),(2)( ,4n ,21 ,0 .4n 23 ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .0)0,(,0)0,( xvxv t (I) ,s in)(),( 1 n n xl ntvtxv ,)(s i n)()( 0 t nn dtl anfan ltv ;0)( tv n tn dtl analtv 0 )(s in8)( 4n 4n .4c o s132 22 2 tl aal 當

20、時， 當 時， 24 .4s in4c o s132),( 22 2 xltl aaltxv )1(3),(),( lxtxvtxu ,2c o s2s i n2 xlxlvav xxtt ,0),(),0( tlvtv .0)0,(,0)0,( xvxv t (I) 則得問題 (I)的解為 )1(3),(),( lxtxwtxv xltl aaltxw 4s in4s in4),( 將問題 (II)的解 和 輔助函數 ),1(3),( lxtxw 以及問題 (I)的解加在一起，則得 原問題 (91)的解： 25 內容小結 1.對 一維波動方程 和 熱傳導方程 的定解問題而言： 當 方程和邊界

21、條件均為齊次 時， 不管初值條件 如何，可直接應用 分離變量法 求解； 當 邊界條件為齊次 、 方程與初始條件為非齊次 時，原定解問題分解成兩個， 其一是 方程為齊次 的并具有 原初始條件 的定解 問題，這個問題應用 分離變量法 求解； 其二是 方程為非齊次 的并具有 零初始條件 的 定解問題，該問題應用 固有函數法 求解； 26 內容小結 1.對 一維波動方程 和 熱傳導方程 的定解問題而言： 當 邊界條件為非齊次 時， 則必須 引進輔助函數 把 邊界條件化為齊次 的， 然后再按照以前的方法 求解。 分離變量法、 固有函數法、 作輔助函數法 方程和邊界 條件齊次 方程非齊次， 定解條件齊次

22、邊界條件非齊次 27 2.對于 二維拉普拉斯方程 的邊值問題而言： 應根據求解區(qū)域的形狀 適當的選取坐標系 ，使得 在此坐標系中邊界條件的表達式最為簡單，便于 求解。 內容小結 ;0,0 byax yax 0,0 對 圓域、圓環(huán)域、扇形域 等采用 極坐標 例如， 對于像 矩形 帶形 一類的區(qū)域采用 直角坐標系 應當指出，只有當 求解區(qū)域很規(guī)則 時，才可以應 用分離變量法 求解拉普拉斯方程的邊值問題。 28 3.對于 二維泊松方程 的邊值問題而言： 內容小結 ),(11 2 rFururu rrr ),0( 0rr ).(| 0 fu rr (P) ),(),(),( rwrvru ),(11

23、2 rFvrvrv rrr ),0( 0rr .0| 0 rrv (P1) 思路 1 將問題 (P)的解看成兩部分， 令 ),( rv ),( rw和 分別滿足 29 3.對于 二維泊松方程 的邊值問題而言： 內容小結 ),(11 2 rFururu rrr ),0( 0rr ).(| 0 fu rr (P) ),(11 2 rFvrvrv rrr ),0( 0rr .0| 0 rrv (P1) ,011 2 wrwrw rrr ),0( 0rr ).(| 0 fw rr (P2) 和 固有函 數法 分離變 量法 (或 試探法 ) 30 3.對于 二維泊松方程 的邊值問題而言： 內容小結 ),

24、(11 2 rFururu rrr ),0( 0rr ).(| 0 fu rr (P) ),( rw ),(),(),( rwrvru ,011 2 vrvrv rrr ),0( 0rr ).,()(| 00 rwfv rr (Q) 思路 2 (1)找出此 泊松方程 的一個 特解 令 (2)將泊松方程化成 拉普拉斯方程 可用 分離變量法 或 試探法 求解問題 (Q) 定 解 問 題 選擇合適 的坐標系 邊界條件非齊 次，轉換為齊 次邊界條件 非齊次方程， 齊次邊界條件 齊次方程，齊 次邊界條件 直接用駐波法 非齊次方程， 齊次定解條件 固有函數法 應用分離變量法求解定解問題的步驟 32 2.6

25、 固有值與固有函數 .0)()0(,0)()( lXXxXxX 在本章的前三節(jié)我們應用分離變量法求解弦振 動方程、一維熱傳導方程和二維拉普拉斯方程的 有關定解問題時，都需要解決一個含參變量 的 也屬于 施圖姆 -劉維爾問題 常微分方程的邊值問題， 這樣的問題稱為 固有值問題 。 33 施圖姆 -劉維爾方程的一般形式 0)()()( yxyxqdxdyxpdxd , ,)()( baCxpxp );(0)( bxaxp (95) ,)( baCxq ),()( baCxq ;0)( xq ,)( baCx .0)( x 其中 1. 2. 或者 而在 區(qū)間端點處至多有一階極點，且 3. 方程 (9

26、5)加上邊界條件就稱為 施圖姆 -劉維爾問題 那些使 施 -劉問題 存在 非 0解 的 值， 稱為該問題 的 固有值 ，而相應于給定的固有值的 非 0解 ，稱為 固有函數 。 例如 : 0)( 222 FnrFrFr 關于固有值和固有函數的幾點結論： (1) 存在無窮多個實的固有值： ,21 n 0)( xq );,3,2,1(0 nn .),(,),(),( 21 xyxyxy n n ),(xyn )(xyn )(x 0)()()( dxxyxyx nmba ).( nm 當 時， 對應于這些固有值 有無窮多個固有函數： (2) 如果把對應于固有值 的固有函數記為 那么所有 組成一個帶權函

27、數 的 正交函數 系 ，即 (96) 35 )(xf ),( ba 1 ),()( n nn xycxf b a n b a n n dxxyx dxxyxfx c )()( )()()( 2 );,3,2,1( n (3) 類似于傅里葉級數，按 固有函數系展開 有下 面的 收斂性 ： 若函數 在 內有一階連續(xù)導數及分段 連續(xù)的二階導數，并且滿足所給的邊界條件， )(xf ),( ba則 在 內可以按固有函數展開為 絕對且 一致收斂 的級數： 其中 (97) 36 )(xf ),( ba )(xf 0 x ,)0()0(21 00 xfxf ),(xf ),( ba若函數 在 (3) 類似于傅

28、里葉級數，按 固有函數系展開 有下 面的 收斂性 ： 內是分段連續(xù)函數， 則級數 (97)在 的間斷點 處收斂于 且在 上失去一致收斂性。 1 ),()( n nn xycxf (97) 37 15. 試證問題 0)()1( )1(,02 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x1在 上帶權函數 正交。 tex xt ln ,11)1(1)1( 222 ttttttxx yxyxxyxxyy 0 yyyy tttt 0 yy tt 解 作變換 則有 ,1xyy tx 代入原方程有 (1)首先求出固有函數系 )(xyn 的具體表達式 齊次歐拉方程 練習 38 ),lns i n

29、 ()( xnxy n xt ln .0)1()0( yy 將 代入即得 ),2,1( n 0 yy tt ,)( 2 nn ). , ,( s i n)( 21 ntnty n 0)()1( )1(,02 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x1在 上帶權函數 正交。 齊次歐拉方程 解 )lns in ()( xnxy n 則原問題的固有函數系為 ),2,1( n 15. 試證問題 練習 39 0)()1( )1(,02 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x1在 上帶權函數 正交。 解 (2)現(xiàn)在驗證固有函數系 )(xyn 的函數正交性 齊次歐拉方程

30、 dxxyxyx mne )()(11 10 s ins in t d tmtn ,nm ,21 ,0 .nm tex 作變換 15. 試證問題 練習 e dxxmxnx1 )lns i n ()lns i n (1 40 思考 試證問題 0)()1( )1(,032 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x在 上帶權函數 正交。 tex xt ln ,11)1(1)1( 222 ttttttxx yxyxxyxxyy 03 yyyy tttt 02 yyy ttt 解 作變換 則有 ,1xyy tx 代入原方程有 (1)首先求出固有函數系 )(xyn 的具體表達式 41 思

31、考 試證問題 0)()1( )1(,032 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x在 上帶權函數 正交。 ),lns i n ()( xnxxy n 1xt ln .0)1()0( yy 將 代入即得 ),2,1( n 02 yyy ttt ,1)( 2 nn ). , ,( s i n)( 21 ntnety tn 解 )lns in (1)( xn xxy n 則原問題的固有函數系 為 ),2,1( n 42 思考 試證問題 0)()1( )1(,032 eyy exyyxyx )(xyn ,1 e固有函數系 x在 上帶權函數 正交。 解 (2)現(xiàn)在驗證固有函數系 )(xyn 的函數正交性 dxxyxyx mne )()(1 10 s ins in t d tmtn ,nm ,21 ,0 .nm tex 作變換 dxxmxxnxxe )lns i n (1)lns i n (11