人教初中數(shù)學(xué)12.3 第2課時(shí) 角平分線的判定1

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1、111第2課時(shí) 角平分線的判定基礎(chǔ)鞏固一、填空題1如圖1,在ABC中,C900,BC40,AD是BAC的平分線交BC于D,且DCDB35,則點(diǎn)D到AB的距離是 。 圖1 圖22如圖2所示,在ABC中,A90,BD平分ABC,AD2 cm,則點(diǎn)D到BC的距離為_(kāi)cm3如圖3,已知BD是ABC的內(nèi)角平分線,CD是ACB的外角平分線,由D出發(fā),作點(diǎn)D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG,垂足分別為E、F、G,則DE、DF、DG的關(guān)系是 。圖3 圖44如圖4,已知ABCD,O為A、C的角平分線的交點(diǎn),OEAC于E,且OE=2,則兩平行線間AB、CD的距離等于 。5已知ABC中,A=80,B和C的角

2、平分線交于O點(diǎn),則BOC= 。二、選擇題6如圖5,在ABC中,AD是A的外角平分線,P是AD上異于A的任意一點(diǎn),設(shè)PB,PC,AB,AC,則與的大小關(guān)系是( ) A、 B、C、 D、無(wú)法確定圖5 圖67已知RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,則D到AB邊的距離為( )A18 B16 C14 D128如圖6,AEBC于E,CA為BAE的角平分線,AD=AE,連結(jié)CD,則下列結(jié)論不正確的是( )ACD=CE BACD=ACE CCDA =90 DBCD=ACD9在ABC中,B=ACB,CD是ACB的角平分線,已知ADC=105,則A的度數(shù)為( )A

3、40 B36 C70 D6010在以下結(jié)論中,不正確的是( )A平面內(nèi)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)一定在角平分線上B角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊的距離一定相等C一個(gè)角只有一條角平分線D角的平分線有時(shí)是直線,有時(shí)是線段三、解答題11如圖7所示,AE是BAC的角平分線,EBAB于B,ECAC于C,D是AE上一點(diǎn),求證:BD=CD。圖7 圖8圖912如圖8,BD=CD,BFAC于F,CEAB于E。求證:點(diǎn)D在BAC的角平分線上。13如圖9,AOP=BOP,ADOB于D,BCOA于C,AD與BC交于點(diǎn)P。求證:AP=BP。綜合提高一、填空題圖1114如圖10,已知相交直線AB和CD,及另一直線EF。如果要在

4、EF上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn),方法是 ,這樣的點(diǎn)至少有 個(gè),最多有 個(gè)。圖1015已知DEFABC,AB=AC,且ABC的周長(zhǎng)為23cm,BC=4 cm,則DEF的邊中必有一條邊等于_。16在ABC中,C=90,BC=4CM,BAC的平分線交BC于D,且BDDC=53,則D到AB的距離為_(kāi)。17B=C=90,E是BC的中點(diǎn),DE平分ADC,CED=35,如圖11,則EAB的度數(shù)是 。18ABC中,AB=AC,B、C的角平分線的交點(diǎn)為O,連結(jié)AO,若SAOB=6cm2,則SAOB= 。二、選擇題19如圖12所示,已知ABC中,C=90,AC=BC,AD平分CAB,交BC于點(diǎn)D,DEAB于點(diǎn)

5、E,且AB=6 cm,則DEB的周長(zhǎng)為( )。A.9 cmB.5 cmC.6 cmD.不能確定 圖1220下列命題中正確的是( ) A全等三角形的高相等 B全等三角形的中線相等 C全等三角形的角平分線相等 D全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等圖1321如圖13, AOB和一條定長(zhǎng)線段A,在AOB內(nèi)找一點(diǎn)P,使P 到OA、OB的距離都等于A,做法如下:(1)作OB的垂線NH,使NH=A,H為垂足(2)過(guò)N作NMOB(3)作AOB的平分線OP,與NM交于P(4)點(diǎn)P即為所求其中(3)的依據(jù)是( )A平行線之間的距離處處相等B到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等ADC

6、B圖14EFD到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上22如圖14,P是BAC的平分線AD上一點(diǎn),PEAB于E,PFAC于F,下列結(jié)論中不正確的是()ADE=DF BAE=AFCADEADFDAD=DE+DF23直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數(shù)是( ) A45 B135 C45或135 D都不對(duì)ABFCD圖15三、解答題24如圖15,ABC的邊BC的中垂線DF交BAC的外角平分線AD于D, F為垂足, DEAB于E,且ABAC,求證:BEAC=AE25如圖16所示,已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線,C90,求證:ABACCD圖16拓展探究一、解答題26如圖17, ABC

7、的邊BC的中垂線DF交BAC的外角平分線AD于D, F為垂足, DEAB于E, 且ABAC 求證:BEAC=AE圖19圖17圖1827如圖18,已知ADBC, DAB和ABC的平分線交于E, 過(guò)E的直線交AD于D, 交BC于C, 求證: DE=EC28如圖19,已知ACBD、EA、EB分別平分CAB和DBA,CD過(guò)點(diǎn)E,則AB與AC+BD相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由參考答案基礎(chǔ)鞏固一、填空題1. 15; 2. 2; 3. DE=DF=DG; 4. 4; 5. 130二、選擇題6.A 7.C 8.D 9.A 10.D三、解答題11證:先證RtACERtABE,推出AB=AC。再證ABDACD(或DCEDB

8、E),得出DC=DB。12證:在DBE和DCF中,所以DBEDCF(AAS)。DE=DF。又DEAB,DFAC, 點(diǎn)D在BAC的角平分線上。13證:AOP=BOP,ADOB,BCOA,PC=PD在ACP和BDP中,APCBPDAP=BP。綜合提高一、填空題14. 作AOD、AOC(或BOD)的平分線與EF的交點(diǎn);1;2 15. 4cm或9.5cm 16. 1.5cm 17. 35 18. 6cm2二、選擇題19.C 20.D 21.B 22.D 23.C三、解答題24證:過(guò)D作DNAC, 垂足為N, 連結(jié)DB、DC則DN=DE,DB=DC,又DEAB, DNAC, RtDBERtDCN, BE

9、=CN又AD=AD,DE=DN,RtDEARtDNA,AN=AE,BE=AC+AN=AC+AE,BEAC=AEBA C E D 圖125證一(截長(zhǎng)法):如圖1所示,過(guò)點(diǎn)D作BDAB于E,AD是BAC的平分線CADEAD,又DEADCA且AD公共,ADEACD(AAS),AEAC,CDDE在DEB中,B45,DEB90,EBD是等腰直角三角形DEEB,CDEBACCDAEEB,即ACCDAB證法二(補(bǔ)短法):如圖2所示,在AC的延長(zhǎng)線上截取CMCD,連結(jié)DMA B C M D 圖2 在MCD中,MCD90,CDCMMCD是等腰直角三角形M45又在等腰直角三角形中,B45MB45又AD平分CAD在

10、MAD與BAD中MADBAD(AAS)MAAB,即ACCDAB拓展探究一、解答題26證:過(guò)D作DNAC, 垂足為N, 連結(jié)DB、DC,則DN=DE, DB=DC又DEAB, DNAC, RtDBERtDCN, BE=CN又AD=AD, DE=DN,RtDEARtDNA AN=AEBE=AC+AN=AC+AE BEAC=AE圖327證:在AB上截取AF=AD。AE是DAF的平分線(已知)DAE=FAE(角平分線定義)在DAE和FAE中,DAEFAE(SAS)DE=FE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)D=AFE(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)AFE+BFE=1800(鄰補(bǔ)角定義)又ADBC(已知) D+C=180

11、0(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))BFE=C(等角的補(bǔ)角相等)BE是ABC的平分線(已知)FBE=CBE(角平分線定義)在FBE和CBE中FBECBE(AAS)FE=CE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) DE=EC圖428結(jié)果:相等證法一:如圖(1)在AB上截取AF=AC,連結(jié)EF在ACE和AFE中, ACEAFE(SAS) 6=D在EFB和BDE中, EFBEDB(AAS) FB=DBAC+BD=AF+FB=AB 證法二:如圖(2),延長(zhǎng)BE,與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F F=3 在AEF和AEB中, AEFAEB(AAS)AB=AF,BE=FE 在BED和FEC中, BEDFEC(ASA) BD=FCAB=AF=AC+CF=AC+BD111

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