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1、第 三 節(jié) 冪 級 數(shù) 第三節(jié) 冪級數(shù)一. 函數(shù)項級數(shù)1.定義 )()()( 21 xuxuxu n 1 )(n n xu函數(shù)項級數(shù))( xun是定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列在 I 中任取一點 ,就得到一個數(shù)項級數(shù) 0 x1 0)(n n xu )()()( 00201 xuxuxu n收斂, 收斂點0 x 0 x發(fā)散, 發(fā)散點 函數(shù)項級數(shù)的全體收斂點的集合稱為收斂域2.收斂域 3.和函數(shù)：在收斂域內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和依賴于點x，因此其和是x的函數(shù)，稱為和函數(shù) 1 )()( n n xuxS4.余項: )()()( xSxSxr nn 前n項的部分和在收斂域內(nèi)才有意義,且 0)(lim xrnn二
2、. 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)各項都是冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)一般形式: nn xxaxxaxxaa )()()( 0202010 nnxaxaxaa 2210特例系數(shù)(1)(2)主要討論(2),因為(1)可以通過變量代換化成(2)1.冪級數(shù)的收斂域x = 0 時(2)收斂,一般的,冪級數(shù)收斂域是一區(qū)間.例 nn n xxxx 21 1 1由等比級數(shù)的性質(zhì), 時收斂, 時發(fā)散1| x 1| x則收斂域(1,1)內(nèi)xxxx n 111 2 定理1 (阿貝爾定理) 如果 ：0n nnxa1.在點 收斂,)0(0 xx則當 時，它絕對收斂| 0 xx 2.在點 發(fā)散,)0(0 xx則當 時，它發(fā)散.| 0 x
3、x 推論 設(shè) 存在非零的收斂點,又存在發(fā)散點,則0n nnxa存在R0,使得當 |x|R 時它發(fā)散注:三種收斂情形:(1) 僅在 x = 0 處收斂;(2) 在 內(nèi)處處收斂;),( (3) 在(R,R )內(nèi)收斂,端點另外討論收斂區(qū)間R收斂半徑R= 0R= + 2.收斂半徑的求法定理2 1lim nnn aaR (證明略)例 求收斂半徑和收斂域 1 1)1().1( n nn nx 1lim nnn aaR 1111lim nnnx =1 時 1 1 1)1(n n n收斂；x =1時)1(1 n n收斂域是(1，1發(fā)散 1lim nnn aaR 1lim nnn aaR1 !).3( n nx
4、n 0 !).2( n nnx 0)!1( !lim nnn )!1( 1!1lim nnn 收斂域是(，）僅在 x =0 點收斂 1 1 )2()1().4( n nn nx設(shè) x2 t ,由(1)知 1 1)1(n nn nt收斂域是(1,3收斂域是(1,10 23).5( n nnx令2xt 00 2 33 n nnn nn tx1lim nnn aa 33131lim 1 nnnt =3 時t =3時11n發(fā)散 1 )1(n n發(fā)散收斂域是(3,3)收斂域是)3,3( 0 123).6( n nnx缺少偶次項,無法用公式，可以用比值法求Rnnn uu 1lim 212132 |3133
5、lim xxx nnnnn 1時,收斂. 1時,發(fā)散.則收斂區(qū)間為3x時,發(fā)散.)3,3(注:缺少奇次項,也可以用此方法. 1 )2(3 1).7( n nnn nx 31)1(3213 321lim)1()2(3 )2(3lim 111 nnnn n nnnn nnn .3 1211)2(3 33 1處發(fā)散所以原級數(shù)在點發(fā)散，且時，因為當 x nnnx nnn n .31)2(3 2)1( ,1)2(3 21)1(1)2(3 )3(3 11處收斂點都收斂，所以原級數(shù)在與且時，由于當 xnn nnnx n nn nn n nn nnnn n )3,3(,3 收斂區(qū)間為所以收斂半徑為 三.冪級數(shù)
6、的運算性質(zhì)1.四則運算性質(zhì) 0 )(n nn xgxb)(0 xfxan nn 設(shè)收斂半徑分別為 和 ,記1R 2R ,min 21 RRR則對于任意的 , 有),( RRx )()()().1( 000 xgxfxbaxbxa n nnnn nnn nn )()( )()().(2( 0 011000 xgxf xbababaxbxa n nnnnn nnn nn 利用乘法可以定義除法 000 )()( n nnn nnn nn xcxbxa 000 n nnn nnn nn xcxb xa則注意,商級數(shù)的收斂半徑可能比原來要小得多2. 分析運算性質(zhì))( 0 xSxan nn 設(shè)收斂半徑為R
7、, 則(1) S(x) 在收斂域內(nèi)連續(xù);(2) S(x) 在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo),且 0 100 )()()( n nnn nnn nn xnaxaxaxS 即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項求導(dǎo),所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3) S(x)在(-R,R)內(nèi)可積,且 0 10 00 00 1)( n nnn x nnx n nnx xnadxxadxxadxxS即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項積分,所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點需要另外討論. 例 求和函數(shù)1).1( n nnx設(shè)和函數(shù)為S(x) 1 1)( n nnxxxS 1 )(n nxx )( 1
8、n nxx2)1()1( xxxxx ( |x| 1 ) 0 1).2( n nnx設(shè)和函數(shù)為S(x)則 0 11)( n nnxxxS )(0 0 n x ndxx x n n dxx0 0 )()1ln(11 0 xdxxx 0,1 1|0),1ln(1)( x xxxxS 練習 .2121)( )1()(!1!1)( ),(!22 222 2 32 21 221 220 1 12 xxx xn nn nxn n exexexdxdxS exxnx xndxxS xSxnn 則記求收斂域及和函數(shù) 1 12!22.1 n nxnn .2ln)211ln()21(21 1|)1ln(11 )0()()( ,111)( ),(11 00 21 11 n n xxn nn n Sn xxdxx SdxxSxS xxxxxS xSxn 則記2ln2 1.2 1 n nn證明
冪級數(shù)收斂域和函數(shù)
