高數(shù)課件17換元積分法

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1、換 元 積 分 法 直接利用基本積分表和分項(xiàng)積分法所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積分的兩大基本方法換元積分法和分部積分法。 在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元。 問 題 xdx2cos ,2sin Cx解 決 方 法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過 程令xt 2 ,21dtdx xdx2cos dtt cos21 Ct sin21 .2sin21 Cx一 、 第 一 類

2、換 元 法xCx 2cos2sin21 說 明 結(jié) 果 正 確 將上例的解法一般化：設(shè)),()( ufuF 則.)()( CuFduuf如果)(xu （可微）dxxxfxdF )()()( CxFdxxxf )()()( )()( xuduuf 將上述作法總結(jié)成定理，使之合法化，可得換 元 法 積 分 公 式 設(shè) )(uf 具 有 原 函 數(shù) ， dxxxf )()( )()( xuduuf 第一類換元公式（湊 微 分 法）說 明使用此公式的關(guān)鍵在于將 dxxg )(化為.)()( dxxxf觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.)(xu 可 導(dǎo) ，則 有 換 元 公 式定 理 1 注定理說明：若已知

3、CuFduuf )()(則CxFdxxxf )()()( 因此該定理的意義就在于把 CuFduuf )()(中的u換成另一個(gè)x的可微函數(shù))(x后，式子仍成立又 稱 為 積 分 的 形 式 不 變 性這樣一來，可使基本積分表中的積分公式的適用范圍變得更加廣泛。dx由定理可見，雖然 dxxxf )()( 是一整體記號，但可把視為自變量微分)()( xddxx 湊 微 分 湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對被積 表達(dá)式進(jìn)行變形，主要考慮如何變化dxxf )(湊 微 分 法 的 基 本 思 路 ： 與基本積分公式相比較，將不同的部分中間變量和積分變量變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量例

4、 1 求.2sin xdx解（一） xdx2sin )2(2sin21 xxd;2cos21 Cx 解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2 xxd ;sin 2 Cx 解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2 xxd .cos 2 Cx 例 2 求.23 1 dxx 解 ,)23(23 12123 1 xxxdxx 23 1 dxxx )23(23 121 duu 121 Cu ln21 .)23ln(21 Cx dxbaxf )( baxuduufa )(1一 般 地例 3 求.)ln21( 1 dxxx 解 dxxx )ln21(

5、1 )(lnln21 1 xdx )ln21(ln21 121 xdx xu ln21 duu121 Cu ln21 .)ln21ln(21 Cx 例 4 求.)1( 3dxxx 解 dxxx 3)1( dxxx 3)1( 11 )1()1( 1)1( 1 32 xdxx 221 )1(2 11 1 CxCx .)1(2 11 1 2 Cxx 例5 )0(1 22 adxxa解 dxaxadxxa 222 1 11 )(1 1 2 axdax Cax arcsin例 6 求.1 22 dxxa 解 dxxa 22 1 dxaxa 222 1 11 axdaxa 21 11 .arctan1 C

6、axa 例7 dxxa 22 1解dxxa 22 1 dxxaxa )( 1 dxxaxaa 1121 Cxaxaa |ln|ln21 Cxa xaa |ln21注意：分 子 拆 項(xiàng)是常用的技巧 例 8 求.25812 dxxx 解 dxxx 25812 dxx 9)4( 1 2dxx 13 4131 22 3 413 4131 2 xdx.3 4arctan31 Cx 例 9 求.1 1 dxex 解 dxex 1 1 dxe ee x xx 11dxee xx 11 dxeedx xx 1)1(1 1 xx ededx .)1ln( Cex x 例 10 求.)11( 12 dxex xx

7、 解 ,111 2xxx dxex xx 12 )11( )1(1 xxde xx .1 Ce xx 例 11 求.1232 1 dxxx 原式 dxxxxx xx 12321232 1232 dxxdxx 12413241 )12(1281)32(3281 xdxxdx .1212132121 33 Cxx 例 12 求解 .cos1 1 dxx dxxcos1 1 dxxx xcos1cos1 cos1 dxxx2cos1 cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin1 22 xdxdxx .sin1cot Cxx 或dxxdxx 2cos2 1cos1 1 2 Cx 2t

8、an 例 13 求解 .cossin 52 xdxx xdxx 52 cossin )(sincossin 42 xxdx )(sin)sin1(sin 222 xdxx )(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx .sin71sin52sin31 753 Cxxx 說 明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分. 例 14 求解 .2cos3cos xdxx ),cos()cos(21coscos BABABA ),5cos(cos212cos3cos xxxx dxxxxdxx )5cos(cos212cos3cos .5sin101sin21 Cxx 例 15 求解（一

9、） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx 2cos2sin2 1 22cos2tan 1 2 xdxx 2tan2tan1 xdxCx 2tanln .)cotln(csc Cxx （ 使 用 了 三 角 函 數(shù) 恒 等 變 形 ） 解（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos1 1 2 xdx xu cos duu21 1 duuu 1 11 121Cuu 11ln21 .cos1 cos1ln21 Cxx 解（三） xdxcsc dxxx xxx cotcsc )cot(csccsc dxxx xxx cotcsc cotcsccsc2

10、 )cot(csccotcsc 1 xxdxx Cxx )cotln(csc Cxx )cotln(csc類似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx dxxxdx cos1sec )2()2sin( 1 xdxCxx )2cot()2lncsc( Cxx )tanln(sec 解例 16 設(shè) 求 .,cos)(sin 22 xxf )(xf令xu 2sin ,1cos2 ux ,1)( uuf duuuf 1)( ,21 2 Cuu .21)( 2 Cxxxf 例 17 求解 .2arcsin4 12 dxxx dxxx 2arcsin4 12 22arcsin21 12 xdxx

11、 )2(arcsin2arcsin1 xdx .2arcsinln Cx 例18 dxxx xx cossin sincos解（一）分子分母同乘以xx sincos dxxx xx cossin sincos dxxx 2cos 2sin1 )2(2cos2sin21)2(2sec21 xdxxxxd Cxxx 2cosln)2tan2ln(sec21 Cx )2sin1ln(21 Cxx )sinln(cos 解（二）分子分母和差化積dxxx xx cossin sincos dxxx xx cos)2cos( )2cos(cos dxxx )4cos( )4sin( Cx |)4cos(|

12、ln 解（三）分子恰為分母的導(dǎo)數(shù)dxxx xx cossin sincos dxxx xx cossin )cos(sin )cos(sincossin 1 xxdxx Cxx )cosln(sin dxxBxA xbxa sincos sincos )0( 22 BA dxxBxA xbxa sincos sincos dxxBxA xBxANxBxAM sincos )sincos()sincos( 2222 , BA bAaBNBA bBaAM dxxBxA xbxa sincos sincos CxBxANMx )sincosln( 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適

13、當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子。 問 題 ?1 25 dxxx解 決 方 法改變中間變量的設(shè)置方法.過 程令tx sin ,costdtdx dxxx 25 1 tdttt cossin1)(sin 25 tdtt 25 cossin （應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二 、 第 二 類 換 元 法 其 中 )(x 是 )(tx 的 反 函 數(shù) .證設(shè) 為 的原函數(shù),)(t )()( ttf 令)()( xxF 則dxdtdtdxF )( )()( ttf

14、 ,)(1t 設(shè) )(tx 是 單 調(diào) 的 、 可 導(dǎo) 的 函 數(shù) ， )()()()( xtdtttfdxxf 則 有 換 元 公 式并 且 0)( t ， 又 設(shè) )()( ttf 具 有 原 函 數(shù) ，定 理 2 第二類積分換元公式 CxFdxxf )()( ,)( Cx )()()()( xtdtttfdxxf )( tf ).(xf說明)(xF為)(xf的原函數(shù), 例 19 求解 ).0(1 22 adxax令tax tan tdtadx 2sec dxax 221 tdtata 2secsec1 tdtsec Ctt )tanln(sec t a x22 ax .ln 22 Ca

15、axax 2,2tCxax )ln( 22 例 20 求解 .4 23 dxxx 令tx sin2 tdtdx cos2 2,2tdxxx 23 4 tdttt cos2sin44sin2 23 tdtt 23 cossin32 tdttt 22 cos)cos1(sin32 tdtt cos)cos(cos32 42 Ctt )cos51cos31(32 53 t2 x24 x .451434 5232 Cxx 例 21 求解 ).0(1 22 adxax令tax sec 2,0ttdttadx tansec dxax 221 dtta tta tantansec tdtsec Ctt )t

16、anln(sec t ax 22 ax .ln 22 Ca axax Caxx )ln( 22 說 明 (1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1( xa 可令;sintax 22)2( xa 可令;tantax 22)3( ax 可令.sectax 注意：所作代換的單調(diào)性。對三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。 說 明 (2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.1sinhcosh 22 tt taxtax cosh,sinh 也可以化掉根式例 中, 令dxax 221 tax sinh tdtadx coshdxax 2

17、21 dtta tacoshcosh CtdtCaxar sinh .ln 22 Ca axax 說 明 (3) 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例 22 求dxxx 251（三角代換很繁瑣）解 21 xt 令,122 tx ,tdtxdx dxxx 251 tdttt 22 1 dttt 12 24Cttt 35 3251 .1)348(151 242 Cxxx 例 23 求解 .11 dxex xet 1令,12 tex ,122 dtt tdx dxex 11 dtt 122 dttt 1111Ctt 11ln .11ln2 C

18、xex ,1ln 2 tx .1tx 說 明 (4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例 24 求dxxx )2( 17解令tx 1 ,12 dttdx dxxx )2( 17 dttt t 27 121 dttt 7621Ct |21|ln141 7 .|ln21|2|ln141 7 Cxx 例 25 求解 .1124 dxxx dxxx 1124令tx 1 ,12 dttdx dxttt 224 1111 1（分母的階較高）dttt 231 222121 dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121 uduu Cuu 1131 3 .1131 232 Cx xx x

19、 說 明 (5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） lk xx , ntx n例 26 求.)1( 1 3 dxxx 解令6tx ,6 5dttdx dxxx )1( 1 3 dttt t )1(6 23 5 dttt 2216 dttt 221 116 dtt21 116 Ctt arctan6 .arctan6 66 Cxx 基本積分表 ;coslntan)16( Cxxdx ;sinlncot)17( Cxxdx ;)tanln(secsec)18( Cxxxdx ;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx ;arctan11)20( 22 Caxadxxa ;ln211)22( 22 Cxa xaadxxa ;arcsin1)23( 22 Caxdxxa .)ln(1)24( 2222 Caxxdxax ;ln211)21( 22 Cax axadxax 三 、 小 結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2) 思 考 題求積分.)1(ln)ln( dxxxx p 思 考 題 解 答 dxxxxd )ln1()ln( dxxxx p )1(ln)ln( )ln()ln( xxdxx p 1,)lnln( 1,1)ln( 1 pCxx pCp xx p