平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度

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1、平 穩(wěn) 隨 機(jī) 過 程 的 功 率 譜 密 度一 、 平 穩(wěn) 過 程 的 功 率 譜 密 度 二 、 譜 密 度 的 性 質(zhì) 三 、 互 譜 密 度 及 其 性 質(zhì) 假 如 x( t ) 滿 足 狄 利 克 雷 (Dirichlet) 條 件 ,且絕 對 可 積 , 即 ,d)( ttx 那 么 x(t) 的 傅 里 葉變 換 存 在 或 者 說 具 有 頻 譜 .de)()( i ttxF tx 且 同 時 有 傅 里 葉 逆 變 換 .de)(21)( i txFtx一 、 平 穩(wěn) 過 程 的 功 率 譜 密 度,),( ttx設(shè) 有 時 間 函 數(shù) 一 般 是 復(fù) 數(shù) 量 , 其 共 軛

2、 函 數(shù))()(* xx FF1. 平 均 功 率 和 能 量 譜 密 度 )Parseval()()( 之 間 成 立 有 帕 塞 瓦 爾和在 xFtx等 式 : ,d)(21d)( 22 xFttx 上 的 總 能 量在 ),()( tx 稱 為 x(t)的 能 量 譜 密 度帕 塞 瓦 爾 等 式 又 可 理 解 為 總 能 量 的 譜 表 示 式 .平 均 功 率 ),()(d)(21lim 2 在稱 為 txttxT TTT上 的 平 均 功 率 . 平 均 功 率 的 譜 表 示 式 由 給 定 的 x( t ) 構(gòu) 造 一 個 截 尾 函 數(shù) .0 ,),()( Tt Tttxt

3、xT絕 對 可 積的 傅 里 葉 變 換 為)(txT TT ttTx ttxttxTF de)(de)(),( ii 它 的 帕 塞 瓦 爾 等 式 .d),(21d)( 22 TFttx xT 變 形 得 .d),(21d)(21 22 TFttxT xTT .d),(21lim21d)(21lim 22 TFTttxT xTTTT 上 的 平 均 功 率在 ),()( tx 稱 為 x( t ) 的 平 均 功 率 譜 密 度2. 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率 和 能 量 譜 密 度定 義 為 平 穩(wěn) 過 程將 TTT ttXTE d)(21lim 2.)( 的 平 均 功 率tX

4、 交 換 定 義 式 中 積 分 與 均 值 的 運(yùn) 算 順 序 , 并 注 意到 平 穩(wěn) 過 程 的 均 方 值 是 常 數(shù) , 于 是 TTT ttXTE d)(21lim 2 TT xT ttXET 22 d)(21lim 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率該 過 程 的均 方 值 .d),(21lim21 22 TFET XTX 平 穩(wěn) 過 程 X(t) 的 功 率 譜 密 度 , .)()( XXX SS 或記 為 .),(21lim)( 2TFETS XTX 即 d)(212 XX S稱 為 平 穩(wěn) 過 程 X( t ) 的 平 均 功 率 的 譜 表 示 式 .也 簡 稱 為 自

5、 譜 密 度 或 譜 密 度 , 它 是 從 頻 率 這 個 角 度描 述 X( t ) 的 統(tǒng) 計 規(guī) 律 的 最 主 要 的 數(shù) 字 特 征 . 物 理 意 義 : 表 示 X( t ) 的 平 均 功 率 關(guān) 于 頻 率 的 分 布 . 二 、 譜 密 度 的 性 質(zhì) 性 質(zhì) 1 .)( 的 實 的 、 非 負(fù) 的 偶 函 數(shù)是 XS性 質(zhì) 2 .)()( 是 一 傅 里 葉 變 換 對和 自 相 關(guān) 函 數(shù) RSX ,de)()( i XX RS即 .de)(21)( i XX SR它 們 統(tǒng) 稱 為 維 納 -辛 欽 (Wiener-K hintchine)公 式 . 說 明 1.

6、平 穩(wěn) 過 程 在 自 相 關(guān) 函 數(shù) 絕 對 可 積 的 條 件 下 ,維 納 -辛 欽 公 式 成 立 . )()(.2 RSX 和 都 是 偶 函 數(shù) , 所 以 維 納 -辛 欽公 式 還 可 以 寫 成 如 下 的 形 式 : ,dcos)(2)( XX RS .dcos)(1)( XX SR 的 譜 表 示 式 .它 揭 示 了 從 時 間 角 度 描 述 平 穩(wěn) 過 程 X(t)的 統(tǒng) 計 規(guī) 律 和 從 頻 率 角 度 描 述 X(t)的 統(tǒng) 計 規(guī) 律 之 間的 聯(lián) 系 . 在 應(yīng) 用 上 我 們 可 以 根 據(jù) 實 際 情 形 選 擇 時 間 域 方法 或 等 價 的 頻

7、率 域 方 法 去 解 決 實 際 問 題 .3. 維 納 -辛 欽 公 式 又 稱 為 平 穩(wěn) 過 程 自 相 關(guān) 函 數(shù) 例 1 已 知 譜 密 度 ,910 4)( 24 2 XS求 平 穩(wěn) 過 程 X( t ) 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 和 均 方 值 . 解 由 公 式 知 自 相 關(guān) 函 數(shù) de910 421)( i24 2 XR .de)1)(9( 421 i22 2 利 用 留 數(shù) 定 理 , 可 算 得 處 的 留 數(shù) 之 和在 i3,i e)1)(1)(i3)(i3( 4i221)( i2 XR ),e5e9(481 3 均 方 值 為 .247)0(2 XX R說 明 ,

8、)( 022222 0222220 bb aaSS mmm nnnX .,)0( 0 分 母 無 實 根其 中 nmS 有 理 譜 密 度 在 實 際 問 題 中 常 常 碰 到 這 樣 一 些 平 穩(wěn) 過 程 , 它們 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 或 譜 密 度 在 常 義 情 形 下 的 傅 立 葉 變換 或 逆 變 換 不 存 在 , 此 時 如 果 允 許 譜 密 度 和 自 相 關(guān)函 數(shù) 含 有 函 數(shù) , 有 關(guān) 實 際 問 題 仍 能 得 到 圓 滿 解 決 . 在 這 種 情 況 下 , 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 常 數(shù) 或 正 弦 型 函數(shù) 的 平 穩(wěn) 過 程 , 其 譜 密 度

9、都 是 離 散 的 . 求 自 相 關(guān) 函 數(shù) ecos2)( 212 baRV所 對 應(yīng) 譜 密 度 ).(VS解 所 要 求 的 譜 密 度 為 .2)()(2)( 22 2002 baSV相 應(yīng) 的 譜 密 度 如 圖 所 示 : 0 )(vs ab /2 2 0o 2 2a此 圖 說 明 了 譜 密 度是 如 何 表 明 噪 聲 以外 的 周 期 信 號 的 . 例 2 白 噪 聲 均 值 為 零 而 譜 密 度 為 正 常 數(shù) , 即 )0(,)( 00 SSSX 的 平 穩(wěn) 過 程 X(t) 稱 為 白 噪 聲 過 程 , 簡 稱 白 噪 聲 . 其 名 出 于 白 光 具 有 均

10、 勻 光 譜 的 緣 故 . 2. 白 噪 聲 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) de)(21)( iXX SR de2 i0S).(0 S1. 定 義 是 不 相 關(guān) 的 .(1) 白 噪 聲 也 可 定 義 為 均 值 為 零 、 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 )()(,. 2121 tXtXtt 和時此 過 程 在函 數(shù) 的 隨 機(jī) 過 程 說 明(2)白 噪 聲 是 一 種 理 想 化 的 數(shù) 學(xué) 模 型 . 它 的 平 均 功率 是 無 限 的 . 白 噪 聲 在 數(shù) 學(xué) 處 理 上 具 有 簡 單 、 方便 優(yōu) 點 . 如 果 某 種 噪 聲 (或 干 擾 )在 比 實 際 考 慮 的 有用 頻

11、帶 寬 得 多 的 范 圍 內(nèi) , 具 有 比 較 “ 平 坦 ” 的 譜密 度 , 那 就 可 把 它 近 似 地 當(dāng) 作 白 噪 聲 來 處 理 . 三 、 互 譜 密 度 及 其 性 質(zhì)互 譜 密 度 的 定 義設(shè) X( t ) 和 Y( t ) 是 兩 個 平 穩(wěn) 相 關(guān) 的 隨 機(jī) 過 程 .稱 ),(),(21lim)( TFTFETS YXTXY 為 平 穩(wěn) 過 程 X( t ) 和 Y( t ) 的 互 譜 密 度 .說 明 .的 實 的 、 正 的 偶 函 數(shù)互 譜 密 度 不 再 是 互 譜 密 度 的 性 質(zhì) )()()(.1 * YXXYXY SSS 和2. 在 互 相

12、 關(guān) 函 數(shù) )(XYR 絕 對 可 積 的 條 件 下 , 有 如下 維 納 -辛 欽 公 式 ,de)()( i XYXY RS .de)(21)( i XYXY SR ,)(Re)(Re.3 的 偶 函 數(shù)是和 YXXY SS .)(Im)(Im 的 奇 函 數(shù)是和 YXXY SS 4. 互 譜 密 度 與 自 譜 密 度 之 間 成 立 有 不 等 式 ).()()( 2 YXXY SSS 注 意(1) 在 應(yīng) 用 上 當(dāng) 考 慮 多 個 平 穩(wěn) 過 程 之 和 的 頻 率 結(jié) 構(gòu)時 , 要 運(yùn) 用 互 譜 密 度 . 例 如 : ),()()( tYtXtZ 其 中 X( t ) 和

13、 Y( t ) 是 平 穩(wěn) 相 關(guān) 的 . Z( t ) 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 是 ).()()()()( YYYXXYXXZZ RRRRR 根 據(jù) 維 納 -辛 欽 公 式 , Z( t ) 的 自 譜 密 度 為 )()()()()( YYYXXYXXZZ SSSSS ).(Re2)()( XYYYXX SSS (2) 互 譜 密 度 并 不 象 自 譜 密 度 那 樣 具 有 物 理 意 義 ,引入 這 個 概 念 主 要 是 為 了 能 在 頻 率 域 上 描 述 兩 個 平 穩(wěn)過 程 的 相 關(guān) 性 .例 如 : 對 具 有 零 均 值 的 平 穩(wěn) 過 程 X( t ) 和 Y(

14、t ) , .)()(0)( 不 相 關(guān) 是 等 價 的和與 tYtXSXY 根 據(jù) 性 質(zhì) (2), ., ,)()()(計 算 它 的 功 率 譜 密 度為 常 數(shù)其 中 的 相 關(guān) 函 數(shù)設(shè) 平 穩(wěn) 過 程S SRtX X 解 de)()( iSSY .e 0i SS 功 率 譜 密 度 為 常 數(shù) 的 平 穩(wěn) 過 程 是 白 噪 聲 .例 3 . ,cos)()( 2計 算 它 的 功 率 譜 密 度 的 相 關(guān) 函 數(shù)設(shè) 平 穩(wěn) 過 程 aRtX X 解 ,)ee(2)()( ii2 aaXX RR 改 寫 為將 知 ，傅 里 葉 變 換 對 的 關(guān) 系 可互 為與由 )()( XX

15、 RS ,d)(e21)ee(2 iii2 Xaa S ).()()( 2 aaSX 故例 4 .,910 4)( )( 24 2 均 功 率計 算 它 的 相 關(guān) 函 數(shù) 和 平 的 功 率 譜 密 度設(shè) 平 穩(wěn) 過 程 XS tX解 方 法 1 ,d910 4e21)( 24 2i XR :0先 考 慮 ,0910 24 zz令 ,i,i3 z得 零 點例 5 i,910 4eResi221)( 24 2i zz zR zX i3,910 4eRes 24 2i zz zz 3ei485ei163i ),e5e9(481 3 ,i,i3 點是 在 上 半 平 面 的 兩 個 零其 中 z 有對 任 意 的是 偶 函 數(shù)由 于 ,)( XR )(XR ).e5e9(481 3 平 均 功 率 為 .247)0( XR 910 4)( 24 2 XS ,91851183 22 方 法 2 91851183)( 22 FFRX 91851183 22 FF ).e5e9(481 3