機(jī)械振動一章習(xí)題解答

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1、 機(jī)械振動一章習(xí)題解答 習(xí)題 12—1 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開， 使單擺與豎直方向成一微小角度 ，然后由靜止位置放手任其振動，從放手時開始計時，若用余弦函數(shù) 表示其運(yùn)動方程，則該單擺振動的初位相為： ［ ］ (A) 。 (B) 。 (C) 0。 (D) 2 。 ω 解：單擺的振動滿足角諧振動方程，這里所給的 是初始角位移，也是角振幅，而非初位相。由旋轉(zhuǎn)矢量法容易判斷該單擺振動的初位相為“ 0”，因此，應(yīng)當(dāng)選擇答案 (C) 。  m t=0 m m 題解 12―1 圖 習(xí)題

2、 12—2 輕彈簧上端固定，下端系一質(zhì)量為 m1 的物體，穩(wěn)定后在 m1 下邊又 系一質(zhì)量為 m2 的物體，于是彈簧又伸長了 x ，若將 m2 移去，并令其振動，則 振動周期為：［ ］ (A) T 2 m2 x 。 (B) T 2 m1 x 。 m1 g m2 g (C) T 2 m1 x (D) T 2 m2 x (m1 。 (m1 。 m2 )g m2 )g 解：諧振子的振動周期只與其本身的彈性與慣性有

3、關(guān)， 即與其倔強(qiáng)系數(shù) k 和質(zhì)量 m 有關(guān)。其倔強(qiáng)系數(shù) k 可由題設(shè)條件求出 k x m2 g 所以 k m2 g x 該振子的質(zhì)量為 m1，故其振動周期為 m1 m1 x T 2 2 k m2 g 應(yīng)當(dāng)選擇答案 (B)。 習(xí)題 12—3 兩倔強(qiáng)系數(shù)分別為 k1 和 k2 的輕彈簧串聯(lián)在一起， 下面掛著質(zhì)量為 m 的物體，構(gòu)成一個豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為： ［ ］ (A) T 2 m(k1k2 ) 。 (B)

4、T 2 m 。 2k1k 2 k1 k2 (C) T 2 m(k1k2 ) 。 (D) T 2 2m 。 k1 k2 k1 k2 解：兩彈簧串聯(lián)的等效倔強(qiáng)系數(shù)為 k k1 k2 ，因此，該系統(tǒng)的振動周期為 k1 k2 T 2 m 2 m( k1 k2 ) k k1k2 所以應(yīng)當(dāng)選擇答案 (C)。 習(xí)題 12—4 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振

5、動，周期為 T，當(dāng)它由平衡位置向 X 軸正方向運(yùn)動 時，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間為： ［ ］ (A) T/4。 (B) T/12。 (C) T/6。 (D) T/8。 解：參見旋轉(zhuǎn)矢量圖，可得關(guān)系式 1 2 t t T 3 有該式解得 T t 6 所以應(yīng)當(dāng)選擇答案 (C)。 習(xí)題 12—5 一倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的輕彈簧截成三等份，取其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為 m 的物體，如圖所示。則振 動系統(tǒng)的頻率為：［ ］

6、 (A) 1 k 。 (B) 1 6k 。 2 m 2 m (C) 1 3k 。 (D) 1 k 。 2 m 2 3m  A/2 t t –A 60 A X t 題解 12― 4 圖 k m 習(xí)題 12― 5 圖 解：彈簧截成三等份，其每一段的倔強(qiáng)系數(shù)為 3k；再取其中兩段并聯(lián)的等效倔強(qiáng)系數(shù)為 6k，因此，我們可得該振動系統(tǒng)的頻率為 1 6k 2 2 m 故應(yīng)當(dāng)選擇

7、答案 (B)。 習(xí)題 12—6 兩個質(zhì)點(diǎn)各自作簡諧振動，它們的振幅相同、周期相同，第一個質(zhì)點(diǎn)的振動方程為 x1 A cos( t ) ，當(dāng)?shù)谝粋€質(zhì)點(diǎn)從相對平衡位置的正位移處回 到平衡位置時，第二個質(zhì)點(diǎn)正在最大位移處，則第二個質(zhì)點(diǎn)的振動方程為： ［ ］ (A) x2 A cos( t 1 ) 。 (B) x2 A cos( t 1 ) 。 2 2 (C) x2 A cos( t 2 ) 。 3

8、 (D) x2 A cos( t ) 。 A1 解：可畫出這兩個振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖， A2 O X 容易看出這兩個振動的位相差為 1 2 1 2 題解 12―6 圖 因此，只有答案 (B)是正確的。 習(xí)題 12─ 7 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，其運(yùn)動速度與時間的曲線如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)的 振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初位相為 。 1 v m v 3 v m vm v m 2 v

9、 O t (s) v m 習(xí)題 12― 7 圖 解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動規(guī)律為 題解 12―7 圖 x A cos( t ) 則其運(yùn)動速度為 dx A s i nt ( )Ac o st () Vm c o st ( v ) v dt 2 式中 v2 是運(yùn)動速度的初位相，由題給速度曲線用旋轉(zhuǎn)矢量法容易知道 v 2 3 因此

10、 5 3 2 6 習(xí)題 12─ 8 一彈簧振子簡諧作振動，振幅為 A，周期為 T，其運(yùn)動方程用余弦 表示。若 t=0 (1) 振子在負(fù)的最大位移處，則初位相為 ； (2) 振子在平衡位置向正方向運(yùn)動，則初位相為 ； (3) 振子在位移為 A/2 處，且向負(fù)方向運(yùn)動，則初位相為 。 解：用旋轉(zhuǎn)矢量法可以確定：情況 (1) 的初位相為 ；情況 (2) 的初位相為 2 ；情況 (3)的初位相為  3。

11、 3 3 t=0 t=0 2 X X X (1) t=0 (3) (2) 題解 12― 8 圖 習(xí)題 12—9 一簡諧振動的表達(dá)式為 x A cos(3t ) ，已知 t=0 時的初位移為 0.04m，初速度為 0.09m/s，則振幅 A= ，初相 。 解：由初位移 x0 和初速度 v0 可求振幅 A 和初相 Ax02 v02 0.042 0.092 0.05 m 2 3

12、2 ∵ cos x0 0.04 0.8 A 0.05 而 sin v 0 0.09 0 A 3 0.05 ∴ arccos0.8 36.87 [ 注意：本題的答案可能有誤，根據(jù)計算結(jié)果該振動的初位相應(yīng)該是負(fù)值。 ] 習(xí)題 12—10 一系統(tǒng)作簡諧振動， 周期為 T，以余玄函數(shù)表示振動時， 初位相為 零。在 0 t T 2 范圍內(nèi)，系統(tǒng)在 t= 時刻動能和勢能相等。 解：依題意有如下關(guān)系 1

13、 kx2 1 mv 2 2 2 即 1 kA2 cos2 t 1 m 2 A2 sin 2 t 2 2 ∵ k m 2 ∴ tg 2 t 1 2 1 tg t 2 T 2 t 3 ∴ t 或者 T 4 T 4 故在 0 t T 2 范圍內(nèi)，當(dāng) T 或者

14、 3T t t 8 8 時刻，系統(tǒng)的動能和勢能相等。 習(xí)題 12—11 兩個簡諧振動曲線如圖所示，兩個簡諧振動的頻率之比 f1: f2 ，加速度最大值之比 a1: a2 ，初始速率之比 : v20 = = v 10 。 = 解：由曲線圖可以看出， x1 的周期是 x2 X 的一半，因此它們的頻率之比應(yīng)為 2: 1；而加 X1 X2 速度的最大值正比于頻率的平方，因此第二 A

15、 個空白應(yīng)填 4: 1；由于初始速度 v 0 A sin 2 A sin 而 x1 和 x2 的初相、振幅都相等，因而它們的初速都應(yīng)與頻率成正比， 即它們的初始速率之 比 v10: v20 與頻率之比相等，也為 2: 1。 習(xí)題 12─ 12 一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，振動圖線 如 圖 所 示 ， 根 據(jù) 此 圖 ， 它 的 周 期 T= ，用余玄函數(shù)描述時的初位相 。 解：根據(jù)振動圖線可畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖，可得  O t － A 習(xí)題 12―11 圖 X

16、 4 O –2 2 t (s) 習(xí)題 12―12 圖 2  7  t=2 6 6 2 7 ∴ T 12 ∴ 24 3.43s T 7 從旋轉(zhuǎn)矢量圖還可以得到 2 或 4 3 3  2 3 X t=0 題解 12―12 圖 習(xí)題 12—13 質(zhì)量為 2kg 的質(zhì)點(diǎn)，按方程 x 0.2 sin(5t 6) (SI)沿著 X 軸振動。 求： (1) t=0 時，作用于

17、質(zhì)點(diǎn)的力的大??； (2) 作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時質(zhì)點(diǎn)的位置。解： (1) 質(zhì)點(diǎn)的加速度為 a d 2 x 52 0.2 sin(5t ) 25 x dt 2 6 作用于質(zhì)點(diǎn)的力為 F ma 10s i 5nt ( ) 把 t=0s 代入上式得 6 F 10 s i n ( ) 5N (2)作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值為 6 Fmaxmamax m 2 A 2 52 0.

18、210 N 該力的大小為 Fmax 10N 由于 F ma 50x 令上式中 F Fmax 10( N ) 可得 x 0.2m 習(xí)題 12—14 一質(zhì)量為 M 的物體在光滑水平面上作簡諧振動，振幅是 12cm ,在 距平衡位置 6cm 處速度是 24cm/s，求：(1) 周期 T；(2) 當(dāng)速度是 12cm/s 時的位 移。 解： (1) 設(shè)物體的振動方程為 2 x A cos( t ) ) ① 0.12c o s (t

19、 T 因而物體的振動速度為 v dx 0.24 sin( 2 t) ② dt T T 把 x=0.06m 代入①得 2 c o s (t ) 0.5 T 由三角關(guān)系 2 ) 2 2 ) 1 (0.5) 2 3 ③ s i n (t 1 c o (s t 2 T T 把 v=0.24m/s 和③均代入②并取絕對值得 0.24 3 0.12 3 0.24 T 2 T 由此解得

20、 3 T 2.72s 2 (3) 把 v=0.12m/s 代入②可得 sin( 2 Tv 3 2 0.12 3 t ) 0.24 4 T 0.24 可得 cos( 2 t ) 1 sin 2 ( 2 t ) 1 3 2 1 16 2 3 ④ T T 16 4 把④代入①得 x 0.12 16 2 3 11.9cm 4

21、 習(xí)題 12─15 一質(zhì)點(diǎn)在 X 軸上作簡諧振動， 取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動通過 A 點(diǎn)時作為計時起點(diǎn) (t=0)，經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過 B 點(diǎn)，再 A B X 經(jīng)過 2 秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過 B 點(diǎn)，若已知該 v 質(zhì)點(diǎn)在 A、 B 兩點(diǎn)具有相同的速率，且 AB ＝ 習(xí)題 12―15 圖 10cm。求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動方程； (2) 質(zhì)點(diǎn)在

22、 A 點(diǎn)的速率。 解：(1) 依題意可畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖，由于 v A vB ，A、B 相對于原點(diǎn)對稱， AB 中點(diǎn)為平衡位置，也是坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動方程為 x A c o st ( ) 顯然，由于時間均為 2 秒，圖示的兩個角度相等，均為 2 ，因此圓頻率滿足 2 ， 2 4 初位相 t=4 5 3 （或者寫成 ） A B 4

23、4 4 X 振幅 AB 2 0.05 2 2 m A 0.05 cos( 4) 2  t=0 t=2 題解 12― 15 圖 所以質(zhì)點(diǎn)的振動方程為 x 0.05 2 cos( t 5 ) (SI) 4 4 (2) 質(zhì)點(diǎn)的速率 dx 0.05 2 sin( t 5 v ) dt 4 4 4 求 A 點(diǎn)的速率，可令 t =0 v t 0 0.05 2 sin 5 0.0

24、5 2 ( 2 ) 0.05 3.93 10 2 m / s 4 4 4 2 4 ［注：該題是旋轉(zhuǎn)矢量法的典型應(yīng)用，用該法能直觀、方便地進(jìn)行求解；用解析法也可以求解，但是較繁而且不直觀。 ］ 習(xí)題 12─16 一物體作簡諧振動，其速度最大值 vm -2 ，振幅 A=2 =3 10 m/s 10-2m。若 t =0 時，物體位于平衡位置且向 X 軸的負(fù)方向運(yùn)動。求： (1) 振動周 期 T；(2) 加速度的最大值 am； (3) 振動方程的數(shù)值表達(dá)式。 解：

25、 (1) ∵ v m A ∴ v m 3 10 2 1.5s 1 A 2 10 2 ∴振動周期 T 2 2 1.5 4.19s (2) 加速度的最大值 am 2 A 1.52 2 10 2 4.5 10 2 m/s2 (3) 因 t =0 時，物體位于平衡位置且向 X 軸負(fù)向運(yùn)動，所以振動的初

26、 位相 2 ，故振動方程為 x 0.02 cos(1.5t ) ( SI) 2 習(xí)題 12─17 兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為 x1 4 10 2 c o2s (t 1 ) ， x2 3 10 2 cos 2 (t 1 ) (SI) 8 4 求：合振動方程。 解：設(shè)合振動方程為 x A c o st ( ) 則 A A12 A22 2A1 A2 c o s2 ( 1 )

27、 (4 10 2 ) 2 (3 10 2 )2 2 12 10 4 cos( ) 6.48 10 2 m 4 2 初位相滿足 A1 sin 1 A2 sin 2 tg A2 cos 2 A1 cos 1  4 10 4 10  2 2  sin 3 10 2 sin 4 2 2.06 10 2 cos 3 cos 4

28、 2 因此 arctg 2.06 64.10 1.12r a d 故合振動方程為 x 6.48 10 2 cos(2 t 1.12) (SI) 習(xí)題 12—18 在豎直面內(nèi)半徑為 R 的一段光滑圓弧形軌道上，放一小物體，使其靜止于軌道的最低處。 然后輕碰一下此物體， 使其沿圓弧形軌道來回作小幅度運(yùn)動，試證： (1) 此物體作簡諧振動； (2) 此簡諧振動的周期 T 2 R g 。 解： (1) 以半徑 R 與豎直方向的夾角 表示 小物體的角位移，并且規(guī)定在豎直方向右側(cè) 0，反之在豎直方向

29、左側(cè)，則 0 。當(dāng)物體在任一角位移處時， 它所受到的對 O 點(diǎn)的外力矩 為  O R M m g sRi n m g R 若把小物體看成單質(zhì)點(diǎn)的“剛體” ，由轉(zhuǎn)動定律有 題解 12―18 圖 mgR mR2 d 2 dt 2 即 d 2 g 0 dt 2 R 可令 2 g R 則有 d 2 2 0 dt 2

30、 因此，小物體是作角諧振動。 (2) 該物體作角諧振動的周期為 2 R T 2 g 習(xí)題 12—19 兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為 20cm，與第一 個 簡 諧 振 動 的 位 相 差 為 1 6 ， 若 第 一 個 簡 諧 振 動 的 振 幅 為 10 3 cm =17.3cm，則第二個簡諧振動的振幅為 cm，第一、二兩個簡 諧振動的位相差 1 2 。 解：合振動的振幅矢量與兩個分振動 的振幅矢量有如下關(guān)系 A A1 A2 A A2 由此可得第二個簡諧振動的振幅

31、為 X A1 A2 A2 A12 2 AA1 cos( 6) 202 (10 3) 2 2 20 10 3 3 2 題解 12― 19 圖 10 cm  1 6 從振幅矢量關(guān)系圖容易看出 A1 和 A2 之間的夾角為 2 ，也就是說，第一、二兩 個簡諧振動的位相差 2 1 2 。 機(jī)械振動一章補(bǔ)充習(xí)題及答案 習(xí)題 7—28(2000.1 習(xí)題集 ) 一輕彈簧在 60N 的拉力下伸長 30cm，現(xiàn)把質(zhì)量為 4kg 的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體下拉 10

32、cm，然后由靜止 釋放并開始計時，求： (1) 物體的振動方程； (2) 物體在平衡位置上方 5cm 時彈 簧對物體的拉力； (3) 物體從第一次越過平衡位置時刻起到它運(yùn)動到上方 5cm 處 所需要的最短時間。 解： (1) ∵ k F 60 2 0N0 m 1 x 0.30 ∴ k 200 7.07s 1 m 4 設(shè)振動方程為 x A c o st ( ) 由初始條件： t =0 時， x0 ，

33、 0 =0 =0.10m v A 2 v 02 x0 0.10m x0 2 c o s x0 1， 0 A ∴ x 0.10 cos7.07t (SI) (2) 彈簧靜止時的伸長量 l0 滿足 mg kl 0 ∴ mg 4 9.8 0.196m l0 200 k 在平衡位置上方 5cm 處的伸長量 l 為 l l0 0.05 0.146m ∴這時彈簧對物體的拉力 F彈 kl 200

34、0.146 29.6N ［或者： mg F彈 ma ( 2 ) m x F彈 mg m 2 x 4 9.8 4 50 ( 0.05) 29.2N ］ (3) 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得 t2 t 1 (t2 t1 ) 1 6 6 t=0 即有 X t t2 t1 1

35、 6 7.4 10 2 s 補(bǔ)充題解 7― 28 圖 ［或者用解析法： x 0.10 cos7.07t x =0， cos7.07t1 0 ， t1 2 0.222s 7.07 x = -0.05 ， cos7.07t 2 0.5 ， t 2 3 2 0.296s 7.07

36、 t t2 t1 0.296 0.222 0.074s 習(xí)題 7 — 7(2000.1 習(xí)題集 ) 一 質(zhì)點(diǎn)沿 Y 軸 作簡 諧振動，其振動方 程為 y A cos( t 3 4) ，則在所給出的四個振動曲線中與之對應(yīng)的振動曲線是： ［ ］ A Y A Y O O t t － A － A (A) (B) Y Y A A O t O t － A (C) － A (D) 習(xí)題 12―7 圖 解：由旋轉(zhuǎn)矢量法作定性判斷：初位相為 3 4 ， 說 明 質(zhì) 點(diǎn) 位 置 在 Y 軸 負(fù) 向 y 2 A 2 處，且向 Y 軸負(fù)向運(yùn)動，因此，可以看出只有 (B)圖是正確的。  t=0 135 X 題解 12―7 圖