材料力學(xué)基本概念和公式

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1、 第一章 緒論 第一節(jié) 材料力學(xué)的任務(wù) 1、組成機(jī)械與結(jié)構(gòu)的各組成部分，統(tǒng)稱為構(gòu)件。 2、保證構(gòu)件正?；虬踩ぷ鞯幕疽螅?a) 強(qiáng)度，即抵抗破壞的能力； b) 剛度，即抵 抗變形的能力； c) 穩(wěn)定性，即保持原有平衡狀態(tài)的能力。 3、材料力學(xué)的任務(wù)：研究構(gòu)件在外力作用下的變形與破壞的規(guī)律，為合理設(shè)計(jì)構(gòu)件提 供強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性分析的基本理論與計(jì)算方法。 第二節(jié) 材料力學(xué)的基本假設(shè) 1、連續(xù)性假設(shè)：材料無空隙地充滿整個(gè)構(gòu)件。 2、均勻性假設(shè)：構(gòu)件內(nèi)每一處的力學(xué)性能都相同 3、各向同性假設(shè)： 構(gòu)件某一處材料沿各個(gè)

2、方向的力學(xué)性能相同。 木材是各向異性材料。 第三節(jié) 內(nèi)力 1、內(nèi)力：構(gòu)件內(nèi)部各部分之間因受力后變形而引起的相互作用力。 2、截面法：用假想的截面把構(gòu)件分成兩部分，以顯示并確定內(nèi)力的方法。 3、截面法求內(nèi)力的步驟：①用假想截面將桿件切開，一分為二；②取一部分，得到分離體；③對分離體建立平衡方程，求得內(nèi)力。 4、內(nèi)力的分類：軸力 F N ；剪力 F S ；扭矩 T ；彎矩 M 第四節(jié) 應(yīng)力 1、一點(diǎn)的應(yīng)力： 一點(diǎn)處內(nèi)力的集（中程）度。 全應(yīng)力 p lim F ；正應(yīng)力 σ；切應(yīng)力 τ；

3、 p 2 2 A 0 A 、應(yīng)力單位： 2， 1MPa=1 106 ， 9 ） 2 Pa （1Pa=1N/m Pa 1GPa=1 10 Pa 第五節(jié) 變形與應(yīng)變 1、變形：構(gòu)件尺寸與形狀的變化稱為變形。除特別聲明的以外，材料力學(xué)所研究的對 象均為變形體。 2、彈性變形：外力解除后能消失的變形成為彈性變形。 3、塑性變形：外力解除后不能消失的變形，稱為塑性變形或殘余變形。 4、小變形條件：材料力學(xué)研究的問題限于小變形的情況，其變形和位移遠(yuǎn)小于構(gòu)件的 最小尺寸。對構(gòu)件進(jìn)行

4、受力分析時(shí)可忽略其變形。 5、線應(yīng)變： l 。線應(yīng)變是無量綱量，在同一點(diǎn)不同方向線應(yīng)變一般不同。 l 1 6、切應(yīng)變： tan 。切應(yīng)變?yōu)闊o量綱量，切應(yīng)變單位為 rad。 第六節(jié) 桿件變形的基本形式 1、材料力學(xué)的研究對象：等截面直桿。 2、桿件變形的基本形式：拉伸（壓縮） 、扭轉(zhuǎn)、彎曲 第二章 拉伸、壓縮與剪切 第一節(jié) 軸向拉伸（壓縮）的特點(diǎn) 1、受力特點(diǎn)：外力合力的作用線與桿件軸線重合。 2、變形特點(diǎn)：沿桿件的軸線伸長和縮短。 第二節(jié) 拉壓桿的內(nèi)力和應(yīng)力 1

5、、內(nèi)力：拉壓時(shí)桿橫截面上的為軸力 F N 。 2、軸力正負(fù)號規(guī)定：拉為正、壓為負(fù)。 3、軸力圖三個(gè)要求： 上下對齊，標(biāo)出大小，標(biāo)出正負(fù) 。 4、橫截面上應(yīng)力：應(yīng)力在橫截面上均勻分布 F N A 第三節(jié) 材料拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 1、低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力–應(yīng)變曲線： （見圖） 低碳鋼拉伸應(yīng)力 -應(yīng)變曲線 2、低碳鋼拉伸時(shí)經(jīng)過的四個(gè)階段：彈性階段，屈服階段，強(qiáng)化階段，局部變形階段。 3、胡克定律：應(yīng)力小于比例極限 p 時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，材料服從胡克定

6、律： E ，E 為（楊氏）彈性模量，是材料常數(shù)， 單位與應(yīng)力相同。鋼的彈性模量 E=210GPa。 4、低碳鋼拉伸時(shí)四個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)：彈性極限 e ；比例極限 p ；屈服極限 s ；強(qiáng)度極 限 b 。 2 5、低碳鋼拉伸時(shí)兩個(gè)塑性指標(biāo)： 伸長率： l0 100% ；斷面收縮率 AA1 100% l A 6、材料分類： ＜ 5％為脆性材料， ≥ 5 ％為塑性材料。 7、卸載定律和冷作硬化：在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。預(yù)加塑性變形 使材料的比例極限或彈性極限提高，但塑性變形和延伸率有所降低。

7、 8、名義屈服極限 0.2 ：對于沒有明顯屈服階段的材料，工程上常以卸載后產(chǎn)生殘余應(yīng) 變?yōu)?0.2%的應(yīng)力作為屈服強(qiáng)度，稱為名義屈服極限 0.2 9、材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能：塑性材料的拉壓性能相同。脆性材料在壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限 遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限，脆性材料抗拉性能差，抗壓性能好。 （如圖） 低碳鋼 鑄鐵 第四節(jié) 失效、許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件 1、失效：塑性材料制成的構(gòu)件出現(xiàn)塑性變形，脆性材料制成的構(gòu)件出現(xiàn)斷裂。 2、許用應(yīng)力： [ ]

8、u , ] 稱為許用應(yīng)力，構(gòu)件工作時(shí)允許的最大應(yīng)力值，其中n n [ 為安全因數(shù) ， u 為極限應(yīng)力 3、極限應(yīng)力 u ：構(gòu)件失效時(shí)的應(yīng)力，塑性材料取屈服極限 s （或 0.2 ）；脆性材料取 強(qiáng)度極限 b （或 bc ）。 4、拉壓時(shí)強(qiáng)度條件： F N [ ] A 5、強(qiáng)度計(jì)算：根據(jù)強(qiáng)度條件， 可進(jìn)行強(qiáng)度校核、 截面設(shè)計(jì)和確定許可載荷等強(qiáng)度計(jì)算。 在工程中，如果

9、工作應(yīng)力 σ略大于 [ σ] ，其超出部分小于 [ σ] 的 5%，一般還是允許的。 第五節(jié) 桿件軸向拉壓時(shí)的變形 1、軸向變形： Δl F N l ， EA 為拉壓剛度。公式只適用于應(yīng)力小于比例極限（線 彈性范圍）。 EA 3 2、橫向變形： ，μ稱為泊松比，材料常數(shù)，對于各向同性材料， 0 0.5 。 3、計(jì)算變形的疊加原理： Δl F N i l i 分段疊加：①分段求軸力②分段求變形③求代數(shù)和 。 E i Ai 分載荷疊加：幾組載荷同時(shí)作用的總效果，等于各組載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生效果

10、的總和。 4、疊加原理適用范圍：①材料線彈性（應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系）②小變形。 5、用切線代替圓弧求節(jié)點(diǎn)位移。 第五節(jié) 桿件軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能 1、應(yīng)變能：構(gòu)件在外載荷作用下發(fā)生變形，載荷在相應(yīng)位移上作了功，因變形而儲(chǔ)存 的能量稱為應(yīng)變能。忽略動(dòng)能、熱能等能量的變化，在數(shù)量上等于外力作功。 2、軸向拉壓桿應(yīng)變能： V W 1 F l F 2 l F N2l 此公式只適用于線彈性范圍。 2 2EA 2EA 3、應(yīng)變能密度：單位體積應(yīng)變能。 4、軸向拉壓桿應(yīng)變能密度： v 2 第六節(jié)

11、 拉伸、壓縮超靜定問題 1、靜定與超靜定的概念： 由靜力學(xué)平衡方程即可求出全部未知力的問題稱為靜定問題。 只憑靜力學(xué)平衡方程不能求出全部未知力的問題稱為超靜定問題。 2、超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù) = 未知力數(shù) — 獨(dú)立平衡方程數(shù)。 3、超靜定問題的解法：通過變形協(xié)調(diào)方程（幾何方程）和物理方程來建立補(bǔ)充方程。 4、變形協(xié)調(diào)方程：也稱為變形幾何相容方程。結(jié)構(gòu)受力變形后，結(jié)構(gòu)各部分變形必須 滿足相互協(xié)調(diào)的關(guān)系。可以通過結(jié)構(gòu)的變形圖來建立結(jié)構(gòu)各部分變形之間的關(guān)系。 5、結(jié)構(gòu)變形圖的畫法： ①若能直接判斷出真實(shí)變形趨勢， 則按真實(shí)變形趨勢畫變形圖； ②若不能

12、直接判斷出真實(shí)變形趨勢， 則畫出任意可能變形圖即可； ③對于不能判斷出真實(shí)變 形趨勢的情況，應(yīng)設(shè)桿子受拉，即內(nèi)力為正（設(shè)正法） ，若計(jì)算結(jié)果為負(fù)，則說明真實(shí)方向 與所設(shè)方向相反； ④桿子受力與變形要一致， 設(shè)桿子受拉則應(yīng)該伸長， 設(shè)桿子受壓則應(yīng)該縮 短；⑤剛性桿不發(fā)生變形。 6、超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力特征：在超靜定結(jié)構(gòu)中各桿的內(nèi)力與各桿剛度的比值有關(guān)。剛度越 大內(nèi)力越大。 4 7、溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力： 超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)構(gòu)件內(nèi)部產(chǎn)生的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。由于加工誤差使實(shí)際桿長與設(shè)計(jì)尺寸不同， 超靜定結(jié)構(gòu)組裝后還沒有受外力時(shí)已經(jīng)存在

13、的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。 溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力問題的解法： 與超靜定問題解法相同， 在建立變形協(xié)調(diào)方程和物理方程時(shí)要考慮溫度和加工誤差的影響。 第七節(jié) 應(yīng)力集中的概念 1、應(yīng)力集中：因桿件外形突然變化而引起的局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象， 稱為應(yīng)力集中。 2、理論應(yīng)力集中因數(shù)： max K 其中： max 為應(yīng)力集中截面上最大應(yīng)力， σ為同截面上平均應(yīng)力。 3、圣維南原理：用與原力系等效的力系來代替原力系，則除在原力系作用區(qū)域內(nèi)有明 顯差別外，在離外力作用區(qū)域略遠(yuǎn)處，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。 （桿端 作用力的分布方式，只影響桿端

14、局部范圍的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端 1—2 個(gè)桿的橫向尺寸。） 第八節(jié) 剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算 1、剪切的實(shí)用計(jì)算： F S A 2、擠壓的實(shí)用計(jì)算： bs F ， 稱為計(jì)算擠壓面，受壓面為圓柱面時(shí)，取圓柱面 Abs Abs 的投影面積計(jì)算， Abs td 。 第三章 扭 轉(zhuǎn) 第一節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力 1、扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力：扭矩 T， 2、扭矩的正負(fù)規(guī)定：以右手螺旋法則，沿截面外法

15、線方向?yàn)檎?，反之為?fù)。 3、切應(yīng)力互等定理：在兩個(gè)相互垂直的面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩 者都垂直于兩平面的交線，其方向?yàn)楣餐赶蚧蚬餐畴x該交線。 4、剪切胡克定律： G 其中： G 為剪切彈性模量，材料常數(shù)。 5 5、材料常數(shù)間的關(guān)系： G E 2(1 ) 6、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力： T I p 其中： 為極慣性矩， I p A 2 dA ， 是距軸線的徑向距離。 I p 7、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上任意一點(diǎn)切應(yīng)力大小與該點(diǎn)到圓心

16、 的距離成正比（按線性規(guī)律分布） ，最大切應(yīng)力發(fā)生在圓截面邊緣上。 8、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：最大切應(yīng)力發(fā)生在圓截面邊緣上。 max T 其中： Wt I p 稱為抗扭截面系數(shù)。 Wt R 9、圓和空心圓截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)： I I  p d 4 W t d 3 32 16 p D 4 (1 4 ) W t D 3 (1 4 ) 32 16 第二節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)

17、時(shí)強(qiáng)度條件 1、圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件： max Tmax [ ] W t 2、許用切應(yīng)力： [ ] u n u 稱為極限切應(yīng)力，塑性材料取剪切屈服極限，脆性材料取強(qiáng)度極限。 3、許用切應(yīng)力與許用正應(yīng)力間關(guān)系： 塑性材料： 脆性材料：  [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] [ ] [ ] 6 第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 1、圓軸扭轉(zhuǎn)變形：扭轉(zhuǎn)角 φ Tl GI 其中： GI P 稱為

18、圓軸的抗扭剛度。 P 2、單位長度扭轉(zhuǎn)角 φ′： T l GI P 3、剛度條件： T 180 [ ] GI P 其中：[ ] 稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角 以上所有公式適用范圍：①因推導(dǎo)公式時(shí)用到了剪切胡克定律，故材料必須在比例極 限范圍內(nèi)；②只能用于圓截面軸，因?yàn)閯e的形狀剛性平面假設(shè)不成立。 第四章 彎曲內(nèi)力 第一節(jié) 彎曲的概念 1、平面彎曲的概念：梁的橫截面至少有一根對稱軸，外載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，桿 件發(fā)生彎曲變形后

19、， 軸線仍然在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)， 是一條平面曲線，此為平面彎曲（對稱彎曲）。 2、梁的三種基本形式：簡支梁、外伸梁和懸臂梁。 第二節(jié) 彎曲內(nèi)力 1、彎曲內(nèi)力：桿件彎曲時(shí)有兩個(gè)內(nèi)力，剪力 FS，彎矩 M 。 2、彎曲內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定： 剪力 FS：左上右下為正 ; 反之為負(fù)。 7 彎矩 M：左順右逆為正；使梁變成上凹下凸（可以裝水）的為正彎矩。 3、指定截面上彎曲內(nèi)力的求法： 剪力 =截面左側(cè)所有外力在 y 軸上投影代數(shù)之和，向上為正。 彎矩 =截面左側(cè)所有外力對該截面之矩的代數(shù)和，順時(shí)針為正。 也可以取

20、截面右側(cè)，正負(fù)號相反。 第三節(jié) 剪力圖和彎矩圖特征 1、在集中力作用的地方，剪力圖有突變，外力 F 向下，剪力圖向下變，變化值 =F 值；彎矩圖有折角。 2、在集中力偶作用的地方，剪力圖無突變；彎矩圖有突變， Me 順時(shí)針轉(zhuǎn)，彎矩圖向上 變（朝增加方向），變化值 =Me 值。 3、在均布力作用的梁段上，剪力圖為斜直線；彎矩圖為二次拋物線，均布力向下作用， 拋物線開口向下。拋物線的極值在剪力為零的截面上。 4、載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系： dFS( x) dM ( x) d2 M ( x) q( x ) q( x)

21、FS( x) dx 2 dx dx 5、剛架的內(nèi)力圖規(guī)定：剪力圖及軸力圖可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架 的外側(cè)），但須注明正、負(fù)號。彎矩圖通常（機(jī)械類）正值畫在剛架的外側(cè)，負(fù)值畫在剛架 的內(nèi)側(cè)，不注明正負(fù)號。 8 附錄 I 平面圖形的幾何性質(zhì) 1、靜矩： Sz ydA 或 Sz A y

22、 A 2、形心： y A ydA 或 y S z A A 、組合截面的靜矩與形心： Sz Ai yi Ai yi 3 y A 4、圖形有對稱軸時(shí)，形心在對稱軸上。 Sz 0 z軸過形心。 5、慣性矩： I z y2dA A 6、矩形： I z hb3 圓： I z d 4 空心圓： I z D 4 (1 4 ) 12 64 64 7、平行移軸定理： I z I z

23、a 2 A C 8、組合截面的慣性矩： I z I z i 9、形心主慣性軸和形心主慣性矩：使慣性積為零的坐標(biāo)軸稱為主慣性軸。圖形對主慣 性軸的慣性矩稱為主慣性矩。 主慣性軸過形心時(shí)， 稱其為形心主慣性軸。 圖形對形心主慣性 軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。 如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。 10、慣性半徑： I z iz2 A iz 稱為圖形對 z 軸的慣性半徑。

24、 第五章 彎曲應(yīng)力 第一節(jié) 彎曲正應(yīng)力 1、中性層和中性軸的概念：梁內(nèi)既不伸長也不縮短的一層纖維，此層纖維稱中性層。 中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸通過截面形心。 2、橫截面上彎曲正應(yīng)力：橫截面上彎曲正應(yīng)力沿截面高度直線變化，與該點(diǎn)到中性軸 的距離成正比，中性軸上為零。正應(yīng)力公式： 9 My I z 3、最大正應(yīng)力：最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的梁上緣（或下緣） 。 Mymax M M max I z 或 max I z / ymax W z 式中：

25、W z I z 稱為抗彎截面系數(shù) ymax 4、矩形： Wz hb2 圓： W z d 3 空心圓： W z D 3 (1 4 ) 6 32 32 5、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件： max [ ] 第二節(jié) 彎曲切應(yīng)力 1、矩形截面梁彎曲切應(yīng)力： FS S*z I z b 矩形截面梁彎曲切應(yīng)力沿截面高度按拋物線分布， 最大切應(yīng)力在中性軸上， 是平均值的 1.5 倍。 max F

26、S 1.5 A 2、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力：在腹板上切應(yīng)力也是沿截面高度按拋物線分布，中性 軸上最大，計(jì)算公式： FS S*z I zb 3、梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件： max F S max Sz* max [ ] I zb 第三節(jié) 提高彎曲強(qiáng)度的措施 1、合理安排梁的受力情況。 2、合理選取截面形狀。對于抗拉、壓能力不同的材料 ( 如鑄鐵、混凝土等脆性材料 ) ， 宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面形狀，充分利用材料抗拉能力差、抗壓能力好的特性。 3、等強(qiáng)度梁。

27、 10 第六章 彎曲變形 第一節(jié) 撓曲線近似微分方程 1、撓度和轉(zhuǎn)角：梁的橫截面形心沿豎直方向的位移 w 稱為撓度。變形后的軸線稱為撓 曲線。梁橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度 θ稱為轉(zhuǎn)角。在工程問題中，梁的轉(zhuǎn)角一般很小， 撓曲線是一條非常平坦的曲線，所以： dw dx 2、撓曲線近似微分方程： M ( x) w EI 其中： EI 稱為梁的抗彎剛度。公式的使用條件：小變形和材料線彈性。 第二節(jié) 積分法求梁的彎曲變形 1、求梁變形的積分公式： EI w

28、 M EI w M dx C EIw ( M dx)dx Cx D 其中： C、D 為積分常數(shù)，可根據(jù)位移邊界條件和連續(xù)光滑條件確定。 2、積分法解題步驟：①建立坐標(biāo)， x 軸原點(diǎn)在梁最左邊，取向右為正；②列彎矩方程； ③建立撓曲線近似微分方程； ④積兩次分； ⑤寫出位移邊界條件和連續(xù)光滑條件； ⑥確定積 分常數(shù)；⑦得撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。 3、位移邊界與連續(xù)光滑條件：①固定鉸支和可動(dòng)鉸支處，撓度為零；②固定端處，撓 度和轉(zhuǎn)角均為零； ③連續(xù)光滑條件：即分段處撓曲軸應(yīng)該滿足連續(xù)和光滑，即 w 左 = 右，

29、 w θ左=θ右。 第三節(jié) 疊加法求梁的彎曲變形 1、疊加原理 : 多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引 起的變形的代數(shù)和。疊加法的適用范圍：應(yīng)力不超過比例極限；小變形。 2、疊加法解題步驟：①分解載荷，畫出每個(gè)載荷單獨(dú)作用下的結(jié)構(gòu)受力圖；②畫出結(jié) 11 構(gòu)變形后撓曲線大致形狀； ③求出每個(gè)載荷單獨(dú)作用下結(jié)構(gòu)的位移； ④將所有位移代數(shù)相加。 第四節(jié) 簡單超靜定梁 1、比較變形法解簡單超靜定梁：解除多余約束，代之以多余約束力；分析相當(dāng)系統(tǒng)和原系統(tǒng)的變形，建立變

30、形協(xié)調(diào)方程。 2、解題步驟：①判斷超靜定次數(shù)；②解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；③列變形協(xié)調(diào)方程；④求變形；⑤求多余約束力。 第五節(jié) 梁的剛度條件 1、剛度條件： w max [w] max [ ] 第七章 應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論 第一節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)的概念 1、應(yīng)力狀態(tài)：構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)的受力狀態(tài)，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。 2、應(yīng)力狀態(tài)的表達(dá)方式： (a)應(yīng)力單元體； (b)應(yīng)力分量（ 9 個(gè)分量）。 3、主平面與主應(yīng)力：切應(yīng)力為零的面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一 般情況下，一點(diǎn)有三個(gè)

31、互相垂直主平面，對應(yīng)三個(gè)主應(yīng)力，按代數(shù)排列， 1 2 3 4、應(yīng)力狀態(tài)分類：對應(yīng)主應(yīng)力不為零的個(gè)數(shù)，分別有單向應(yīng)力狀態(tài)，二向應(yīng)力狀態(tài)和 三向應(yīng)力狀態(tài)。 第二節(jié) 平面應(yīng)力狀態(tài)分析 1、斜截面上正應(yīng)力公式： x y x y 2 2  cos2 x sin2 其中，正應(yīng)力以拉為正，切應(yīng)力以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正， α以 x 軸為開始位置，逆 時(shí)針轉(zhuǎn)為正。 2、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力： 2 max x y x y 2 2 2 x min

32、 12 3、最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在的方位： tan2 0  2 xy x y 4、主應(yīng)力：最大和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力，另一個(gè)主應(yīng)力為零。 5、應(yīng)力圓：應(yīng)力單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)面對應(yīng)，轉(zhuǎn)向相同，轉(zhuǎn)角兩倍。 6、純剪切應(yīng)力狀態(tài)分析： 1 ， 1 0， 1 ， 主平面在 45方向。 第三節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài) 1、三向應(yīng)力圓：三組特殊的平面應(yīng)力對應(yīng)于三個(gè)應(yīng)力圓，可以由 σ1、σ2、 σ3 兩兩畫圓 得到。任意斜截面的應(yīng)力值位于陰影區(qū)內(nèi)。

33、 2、最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力： 1 3 max1 max 2 第四節(jié) 廣義胡克定律 1、廣義胡克定律：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。 x 1 [ E y 1 [ E z 1 [ E 2、主應(yīng)變 1 2 3  x y z 1 [ E 1 [ E 1 [ E  ( y z )] xy xy G ( z

34、x )] yz yz G ( x y )] zx zx G 1 ( 2 3 )] 2 ( 3 1 )] 3 ( 1 2 )] 第五節(jié) 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能 13 1、畸變能密度：體積不變、形狀改變而儲(chǔ)存的應(yīng)變能密度。 v 1 [( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] d 6E

35、 第六節(jié) 強(qiáng)度理論 1、強(qiáng)度理論的概念：強(qiáng)度理論是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效起因”的假說，利用簡單應(yīng) 力狀態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件。 2、兩類破壞形式：脆性斷裂和塑性屈服，因此有兩類強(qiáng)度理論，斷裂強(qiáng)度理論和屈服 強(qiáng)度理論。 3、四種常用強(qiáng)度理論： 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論） 4、強(qiáng)度理論的適用條件： 第一、二強(qiáng)度理論適用于脆性材料的脆性斷裂， 第三、四強(qiáng)度理論適用于塑性材料的塑 性屈服。 5、相當(dāng)應(yīng)力：

36、 r1 1 r 2 1 ( 2 3 ) r 3 1 3 r 4 1[( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 ] 2 6、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件： r [ ] 7、典型二向應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力： r 3 2 4 2 r 4 2 3 2 14 第八章 組合變形 第一節(jié) 拉伸（壓縮）與彎曲的組合 1、拉伸（壓縮）與彎曲組合時(shí)強(qiáng)度條件： ma

37、x FN M max [ ] A W 第二節(jié) 偏心壓縮與截面核心 1、偏心壓縮：偏心壓縮可以通過作用力平移后成為壓縮與彎曲的組合。 2、截面核心：當(dāng)壓力作用在環(huán)繞截面形心的一個(gè)封閉區(qū)域內(nèi)時(shí)，截面上只有壓應(yīng)力， 這個(gè)封閉區(qū)域稱為截面核心。 第三節(jié) 彎扭組合 1、彎扭組合時(shí)強(qiáng)度條件： 第三強(qiáng)度理論： M 2 T 2 [ ] W 第四強(qiáng)度理論： M 2 0.75T 2 [ ] W 其中 W 為抗彎截面系數(shù)。上式的分子稱為相當(dāng)彎矩。 2、合成彎矩：對于圓軸，可以將兩

38、個(gè)平面內(nèi)的彎矩按矢量合成得到合成彎矩 M。 M M 2y M z2 第九章 壓桿穩(wěn)定 第一節(jié) 細(xì)長壓桿的臨界壓力 1、穩(wěn)定性：構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。 15 2、臨界載荷：由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定平衡時(shí)所受軸向壓力的界限值， 稱為臨界壓力。 3、失穩(wěn)：壓桿喪失其直線形狀的平衡而過渡為曲線平衡，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)。 4、細(xì)長壓桿臨界壓力的歐拉公式： 2 EI Fcr ( l )2 其中： l 為相當(dāng)長度， 為長度因數(shù)。 5、壓桿的長度因數(shù)

39、 ： 兩端鉸支 =1；一端自由一端固定 =2；一端固定一端鉸支 =0.7；兩端固定 =0.5 第二節(jié) 歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式 1、細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力（歐拉公式） ： 2E cr 2 2、柔度（長細(xì)比）： l i  (i I 慣性半徑 ) A 柔度 集中地反映了壓桿的長度、約束條件、橫截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的 影響。 3、臨界應(yīng)力總圖 4、歐拉公式的適用范圍：當(dāng)壓桿的柔

40、度 > 1 時(shí)，稱為細(xì)長桿（大柔度桿） ，使用歐拉 公式。 5、經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)壓桿的柔度 2> > 1 時(shí)，稱為中柔度桿，使用經(jīng)驗(yàn)公式 cr a b 6、小柔度桿（粗短桿）：當(dāng)壓桿的柔度 < 2 時(shí)，稱為小柔度桿（粗短桿） ，按強(qiáng)度計(jì)算 其臨界應(yīng)力。塑性材料 cr s 16 第三節(jié) 壓桿的穩(wěn)定校核 1、壓桿的工作安全因數(shù) n： n Fcr F 2、壓桿的穩(wěn)定性條件： n nst 第十章 自由落體沖擊 1、自由落體沖擊的動(dòng)

41、荷系數(shù)： Kd 1 1 2h st 2、動(dòng)響應(yīng)與靜響應(yīng)的關(guān)系： d Kd st d K d st 第十一章 交變應(yīng)力 1、 1、影響構(gòu)件疲勞極限的主要因素：構(gòu)件外形、構(gòu)件截面尺寸、表面加工質(zhì)量。 17 循環(huán)應(yīng)力作用下，構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象，稱為疲勞破壞，簡稱疲勞循環(huán)應(yīng)力及其類型

42、 在一個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，應(yīng)力的極大值與極小值，分別稱為最大應(yīng)力和最小應(yīng)力，最大應(yīng)力 max 和最小應(yīng)力 min 的平均值稱為平均應(yīng)力， max min m 2 最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的代數(shù)差之半，稱為應(yīng)力幅， maxmin s 2 應(yīng)力變化的特點(diǎn)可用最小應(yīng)力與最大應(yīng)力的比值 r 表示，稱為應(yīng)力比或循環(huán)特征， r  min max r 1 ，稱為對稱循環(huán)應(yīng)力； r 0 ，稱為脈動(dòng)循環(huán)應(yīng)力 S N 曲線與材料的疲勞

43、極限 疲勞實(shí)驗(yàn)中，由計(jì)數(shù)器記下試樣斷裂時(shí)所旋轉(zhuǎn)的總?cè)?shù)獲所經(jīng)歷的循環(huán)應(yīng)力循環(huán)數(shù) N ，即試樣的疲勞壽 命 以最大應(yīng)力 為縱坐標(biāo)， 疲勞壽命的對數(shù)值 lg N 為橫坐標(biāo)， 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所繪制的最大應(yīng)力與疲勞壽命 關(guān)系的曲線，稱為 S N 曲線 作用應(yīng)力越大，疲勞壽命越短，對于壽命N 104 （或 105 ）的疲勞問題，一般稱為低周疲勞，反之，稱 為高周疲勞 S N 曲線中漸近線的縱坐標(biāo)所對應(yīng)的應(yīng)力，稱為材料的持久極限，用 r 表示 對于不存在水平漸近線的材料， 常根據(jù)構(gòu)件的使

44、用要求， 指定某一壽命 N 0 對應(yīng)的應(yīng)力作為極限應(yīng)力， 并 稱為材料的疲勞極限或條件疲勞極限 影響構(gòu)件疲勞極限的主要因素 合理設(shè)計(jì)構(gòu)件外形 合理選擇構(gòu)件截面尺寸，大試樣疲勞極限更低 提高表面加工質(zhì)量 疲勞破壞：在交變應(yīng)力的作用下，構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象 應(yīng)力集中與材料疲勞 疲勞破壞：在交變應(yīng)力的作用下，構(gòu)件產(chǎn)生可見裂紋或完全斷裂的現(xiàn)象 18 19