專題測(cè)試練習(xí)題 數(shù)列通項(xiàng)與求和問題

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1、 專題19 數(shù)列通項(xiàng)與求和問題【自主熱身,歸納提煉】1、 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前項(xiàng)和為,已知,則 .【答案】【解析】由于,故,而,故,則 .2、對(duì)于數(shù)列an,定義數(shù)列bn滿足bnan1an(nN*),且bn1bn1(nN*),a31,a41,則a1_.【答案】 8【解析】：因?yàn)閎3a4a3112,所以b2a3a2b313,所以b1a2a1b214,三式相加可得a4a19,所以a1a498.3、設(shè)公比不為1的等比數(shù)列an滿足a1a2a3,且a2,a4,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列an的前4項(xiàng)和為_【答案】： 解后反思 本題主要考查等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用,體現(xiàn)了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的

2、計(jì)算問題中的方程思想,等比數(shù)列的求和要注意公比是否為1.:4、已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S22a23,S32a33,則公比q的值為_【答案】：. 2當(dāng)q1時(shí),顯然不滿足題意；當(dāng)q1時(shí), 整理得解得q2.5、 記公比為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a11,S45S20,則S5的值為_【答案】： 31【解析】：設(shè)公比為q,且q0,又a11,則anqn1.由S45S20,得(1q2)S25S2,所以q2,所以S531.解后反思 利用S4(1q2)S2,可加快計(jì)算速度,甚至可以心算6、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 【答案】： 7、 已知數(shù)列an滿足a11,a2a1,|an

3、1an|2n(nN*),若數(shù)列a2n1單調(diào)遞減,數(shù)列a2n單調(diào)遞增,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.【答案】【解析】：因?yàn)閨an1an|2n,所以當(dāng)n1時(shí),|a2a1|2.由a2a1,a11得a21.當(dāng)n2時(shí),|a3a2|4,得a33或a35.因?yàn)閍2n1單調(diào)遞減,所以a33.當(dāng)n3時(shí),|a4a3|8,得a45或a411.因?yàn)閍2n單調(diào)遞增,所以a45.同理得a511,a621.因?yàn)閍2n1單調(diào)遞減,a110,所以a2n10.所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)(n3),有anan12n1,an1an22n2.兩式相加得anan22n2.那么a3a12；a5a323；anan22n2.以上各式相加得ana1(223

4、252n2)所以ana1.同理,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an.所以an也可以寫成an.【問題探究,變式訓(xùn)練】例1、已知an是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,bn是等比數(shù)列,且a1b12,a4b421,S4b430.(1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2) 記cnanbn,nN*,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和【解析】： (1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12,得a423d,b42q3,S486d.(3分)由條件a4b421,S4b430,得方程組解得所以ann1,bn2n,nN*.(7分)(2) 由題意知cn(n1)2n.記Tnc1c2c3cn.則Tn22322423n2n1(n1)

5、2n,2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1,所以Tn22(22232n)(n1)2n1,(11分)即Tnn2n1,nN*.(14分)【變式1】、在數(shù)列中,已知,設(shè)為的前項(xiàng)和（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求 證明 （1）因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以,所以是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列（2）由（1）知,所以,所以,所以,兩式相減得,所以【變式2】、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且（）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解 （1）由,得兩式相減,得,所以,由又,得,所以數(shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為2,公比,所以（2）由（1）知由 (), 得 ()故,即 當(dāng)時(shí),所以【關(guān)聯(lián)1】、數(shù)

6、列an的前n項(xiàng)和為Sn,a12,Snan(rR,nN*)(1) 求r的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)bn(nN*),記bn的前n項(xiàng)和為Tn.當(dāng)nN*時(shí),T2nTn恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：存在關(guān)于n的整式g(n),使得(Ti1)Tng(n)1對(duì)一切n2,nN*都成立思路分析 (1) 利用關(guān)系式an將an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an1的關(guān)系,再利用累乘法求an的通項(xiàng)公式；(2) 利用數(shù)列T2nTn的單調(diào)性求T2nTn的最小值即可；利用條件得到Tn與Tn1的關(guān)系,通過變形,化簡(jiǎn)和式(Ti1),即可證得命題規(guī)范解答 (1) 當(dāng)n1時(shí),S1a1,所以r,(2分)所以Snan.當(dāng)n2時(shí),Sn1

7、an1,兩式相減,得ananan1,所以(n2)(4分)所以,即.所以ann(n1)(n2),又a12適合上式所以ann(n1)(nN*)(6分)(2) 因?yàn)閍nn(n1),所以bn,Tn.所以T2n,所以T2nTn.(8分)令BnT2nTn.則Bn1.所以Bn1Bn0,所以Bn1Bn,所以Bn單調(diào)遞增,(10分)(Bn)minB1,所以.(12分)因?yàn)門n.所以當(dāng)n2時(shí),Tn1,所以TnTn1,即(n1)TnnTn1Tn11.(14分)所以當(dāng)n2時(shí),(Ti1)(3T22T1)(4T33T2)(5T44T3)(n1)TnnTn1(n1)Tn2T1(n1)Tn1,所以存在關(guān)于n的整式g(n)n1

8、,使得(Ti1)Tng(n)1對(duì)一切n2,nN*都成立(16分)解后反思 本題以an與Sn的關(guān)系為背景,考查了數(shù)列的通項(xiàng)、求和、數(shù)列的單調(diào)性,考查學(xué)生利用數(shù)列知識(shí)解決數(shù)列與不等式的綜合問題的能力,以及代數(shù)變形與推理論證能力【關(guān)聯(lián)2】、已知各項(xiàng)是正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1) 若SnSn1(nN*,n2),且a12.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若Sn2n1對(duì)任意nN*恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍(2) 已知數(shù)列an是公比為q(q0,q1)的等比數(shù)列,且數(shù)列an的前n項(xiàng)積為10Tn.若存在正整數(shù)k,對(duì)任意nN*,使得為定值,求首項(xiàng)a1的值. (1) 利用anSnSn1(n2),得到an1與an的關(guān)系

9、,并特別注意式中的n2.對(duì)于n1的情況必須單獨(dú)處理由3(S2S1)a2及a12,得3(4a2)a2,即a3a2100.結(jié)合a20,解得a25,滿足a2a13.(3分)所以對(duì)nN*,均有an1an3,即數(shù)列an是首項(xiàng)為a12,公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1.(5分)由知,Sn,所以對(duì)nN*恒成立(6分)記f(n),nN*.考慮f(n1)f(n).(8分)當(dāng)n3時(shí),f(n1)f(n),且f(1),f(2),f(3).所以f(n)maxf(3),從而.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(11分)Tnnb1dn2n,記A0,Bb1,則TnAn2Bn.所以.因?yàn)閷?duì)任意nN*,為定值,所以也為定值

10、設(shè),則A(k1)AknBB0對(duì)nN*恒成立所以由得,代入得B0.(15分)即b1d,即lga1lgq,得a1.(16分)【關(guān)聯(lián)3】、已知數(shù)列滿足,數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的值；（2）若 求證：數(shù)列為等差數(shù)列； 求滿足的所有數(shù)對(duì)【思路分析】（1）直接令得到關(guān)系式,兩式相減,求出的值（2） 分別賦值,得到關(guān)系式,兩式相減,得到,結(jié)合,計(jì)算出,從而求,代入關(guān)系式,得出,利用定義法證明為等差數(shù)列（3） 求和得到,代入關(guān)系式整理得,需要轉(zhuǎn)化兩個(gè)因數(shù)相乘的形式,變形處理,利用平方差公式得到,因?yàn)榍揖鶠檎麛?shù),則兩個(gè)因數(shù)只能為27和1,從而求出的值.規(guī)范解答 （1）由條件,得,-得 3分（2）證明：因?yàn)?所以

11、,-得, 6分于是,所以,從而 8分所以,所以,將其代入式,得,所以（常數(shù)）,所以數(shù)列為等差數(shù)列 10分注意到所以, 12分由知 所以,即,又,所以且均為正整數(shù),所以,解得,所以所求數(shù)對(duì)為 16分例2、 正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足: （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有.解 （1）由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng).（2）證明 由于,則. 所以 .【變式1】、數(shù)列的前項(xiàng)和為,.（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),記的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：存在關(guān)于的整式,使得對(duì)一切都成立.（2）因?yàn)?所以,所以.所以,所以

12、.令,則.所以.所以,所以單調(diào)遞增.所以的最小值為,所以.因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),所以即當(dāng)時(shí)所以存在關(guān)于的整式使得對(duì)一切都成立【變式2】、已知數(shù)列an滿足a110,an10an1an10(nN*)(1) 若an是等差數(shù)列,Sna1a2an,且Sn10Sn1Sn10(nN*),求公差d的取值集合；(2) 若b1,b2,bk成等比數(shù)列,公比q是大于1的整數(shù),b110,b220,且b1b2bk2017,求正整數(shù)k的最小值；(3) 若a1,a2,ak成等差數(shù)列,且a1a2ak100,求正整數(shù)k的最小值以及k取最小值時(shí)公差d的值(3) a1a2ak10kd100,所以d.(11分)由題意|d|an1an|10,

13、所以10.(13分)所以k2k202kk2k,所以k4,所以kmin4.(15分)此時(shí)d10.(16分)解后反思 本題第(2)問在原題上有所改動(dòng),原題如下：(2) 若a1,a2, ,ak成等比數(shù)列,公比q是大于1的整數(shù),且a1a2ak2017,求正整數(shù)k的最小值原題的漏洞在于an102n1以指數(shù)級(jí)上升,條件中的an1an【變式3】、已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a13,且2Snan13(nN*)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 對(duì)于正整數(shù)i,j,k(ijk),已知aj,6ai,ak成等差數(shù)列,求正整數(shù),的值；(3) 設(shè)數(shù)列bn前n項(xiàng)和是Tn,且滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有等式a1bna2b

14、n1a3bn2anb13n13n3成立. 求滿足等式的所有正整數(shù)n. (1) 當(dāng)n2時(shí),SnSn1an,得到an1與an的關(guān)系式；(2) 在等式3j3k123i兩邊同除以3i或3j；(3) 先求出bn2n1,Tnn2.再試算的前幾項(xiàng),猜出【答案】,并證明結(jié)論規(guī)范解答 (1) 2Snan13,2Sn1an3(n2),兩式相減,得2anan1an.即當(dāng)n2時(shí),an13an.(2分) 由a1S13,得6a23,即a29,滿足a23a1.所以對(duì)nN*,都有an13an,即3.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,通項(xiàng)公式an3n.(4分)(2) 由(1),得3j3k123i,即3kj.因?yàn)檎麛?shù)i,j,k滿足ij3都有,(n1)2n2(n1)23n2(2n22n1),當(dāng)n3時(shí),2n22n1(1n2)n(2n)0,即3都有0得12n24n2n0,所以2n30,即P2P1,(13分)n2時(shí),因?yàn)?n4,33,即12n24n2n0.此時(shí)Pn1P3P4,(14分)所以Pn的最大值為P2,(15分)若存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意正整數(shù)n,Pnk恒成立,則kPmax,所以正整數(shù)k的最小值為4.(16分)