江西省九江市2024屆高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、九江市2024年第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名班級(jí)準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試題卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某校開展“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國(guó)伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽，其中高三年級(jí)選派8名同學(xué)參賽，這8名同學(xué)的成績(jī)（總分10分）依次如下：，則這組數(shù)據(jù)的分

2、位數(shù)為（）A8B9C9.5D102在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）ABCD3已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（）ABCD4考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）A24B36C72D1445已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（）ABCD6已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（）ABCD7若，則（）ABCD8在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，

3、是線段的中點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)(非原點(diǎn))，且，則的離心率為（）ABC2D3二多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9已知二項(xiàng)式，則（）A展開式中的系數(shù)為45B展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)C展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1D展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)10已知虛數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）ABC的虛部為D11如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（）A三棱錐的體積為B線段的長(zhǎng)為C點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為D的最大值為三填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第1問2分，第2問3分.12

4、若集合，則 .13已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .14某兒童游樂場(chǎng)有一臺(tái)打地鼠游戲機(jī)，共有9個(gè)洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號(hào)洞冒出來.假設(shè)游戲過程中地鼠從上一個(gè)洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號(hào)洞冒出的概率是 .假設(shè)游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為 .四解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.15車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00

5、.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0(1)求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關(guān)系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）(2)根據(jù)我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當(dāng)凹槽深度低于時(shí)剎車距離增大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時(shí)將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請(qǐng)問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對(duì)輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關(guān)系數(shù)；對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.16如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，為等邊三角形.(1

6、)證明：；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值.17在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為是上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)是上不同兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點(diǎn).18已知函數(shù)，且.(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.19已知數(shù)列共有項(xiàng)，且，若滿足，則稱為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”的所有項(xiàng)的和為.(1)當(dāng)時(shí)，寫出所有滿足的“約束數(shù)列”；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)“約束數(shù)列”為等差數(shù)列.請(qǐng)判斷是的什么條件，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值.1C【分析】先對(duì)這8個(gè)數(shù)按從小到大排列，然后利用百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】

7、8名同學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)由小到大重新排列為：是整數(shù)，分位數(shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：C.2B【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，因?yàn)?，展開化簡(jiǎn)，又.故選:B.3A【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的定義得出；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，化簡(jiǎn)即可解答.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以.故選：A.4D【分析】利用捆綁法、全排列和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可解答.【詳解】第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得： 將

8、這組神秘?cái)?shù)字“”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.5A【分析】根據(jù)題意，由圓錐的側(cè)面積公式可得圓錐的高，再由圓錐的體積公式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.由題意得，解得，該圓錐的體積是.故選：A.6D【分析】根據(jù)題意得到，,設(shè)，其它邊全部用t表示,運(yùn)用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),又軸, 軸. 在中, ,設(shè),則的面積為,則C的方程為.故選：D.7C【分析】設(shè)，則原等式可化為，化簡(jiǎn)后求出即可.【詳解】令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.8B【分析】設(shè)，則由已知可得

9、，設(shè)直線的方程為，將直線方程代入雙曲線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再由，是線段的中點(diǎn)，可得，兩式結(jié)合化簡(jiǎn)可求出離心率.【詳解】設(shè)且，則，因?yàn)?，所以，得，設(shè)直線的方程為，由，得，由，得，所以，所以，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，由，得，所以，所以，所以離心率，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于較難題.9AD【分析】由展開式的通項(xiàng)公式即可判斷A，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷BD，令，代入計(jì)算即可判斷C【詳解】，當(dāng)時(shí)，系數(shù)為，故A正確；由組合數(shù)性質(zhì)可知，中間項(xiàng)系

10、數(shù)最大，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；令，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，當(dāng)或時(shí)，系數(shù)最大，正確.故選：AD.10ABD【分析】對(duì)于A，利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)結(jié)合已知條件分析判斷，對(duì)于B，給兩邊乘以化簡(jiǎn)后判斷，對(duì)于C，設(shè)，代入已知等式化簡(jiǎn)可求出，對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)C判斷.【詳解】對(duì)于A，由，得正確；對(duì)于B，由，得，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，解得，的虛部為或，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，又，D正確.故選：ABD.11ACD【分析】對(duì)于A，點(diǎn)到平面的距離為，再通過三棱錐的體積公式計(jì)算即可；對(duì)于B，設(shè)的中心為，則，通過勾股定理計(jì)算即可；對(duì)于C，如圖所示，

11、點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成并計(jì)算即可；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間的距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B，如圖所示，設(shè)的中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖所示，由知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的一半故C正確；對(duì)于D，為在方向上的投影，由圖可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故D正確.故選：ACD.12【分析】先求出A,再求出,最后求出即可.【詳解】.又或，故.故答案為：1

12、3【分析】令，然后由的范圍求出的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的取值范圍【詳解】令，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，解得.故答案為：14 【分析】根據(jù)全概率公式，第二次必須分析從1號(hào)洞冒出和沒有從1號(hào)洞冒出，就能得到第三次從1號(hào)洞冒出的概率；地鼠一共冒出次，繼而推出，則可求出地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為.【詳解】令表示地鼠第次從1號(hào)洞冒出的概率，則.當(dāng)?shù)厥蟮?次從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為；當(dāng)?shù)厥蟮?次沒有從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為.同理可得：，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，也適合；游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為.故答案為

13、：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握全概率公式；馬爾科夫鏈，第次的情況必定和第次的情況有關(guān)系.15(1)，具有很強(qiáng)的線性關(guān)系(2)6.4萬公里【分析】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的公式代入計(jì)算，即可判斷；（2）根據(jù)題意，由最小二乘法公式代入計(jì)算，分別求得，即可得到線性回歸方程，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）計(jì)算得，由公式知，二者之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系.（2）設(shè)輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則=線性回歸方程為令，得即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對(duì)輪胎再次更換.16(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用等腰三角形性質(zhì)，線面垂直的判定性質(zhì)推理即得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間

14、直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，由，得，設(shè)平面的法向量為，取，得，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.17(1)(2)證明見解析【分析】（1）過點(diǎn)A作軸的垂線，準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線的定義可得，即可得和方程；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，代入拋物線方程可得，即可得結(jié)果.【

15、詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作軸的垂線，垂足為，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，可得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，則，即，代入中得，整理得，則直線：，所以直線過定點(diǎn).18(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）法一：，令，則，可得遞增，且，進(jìn)而得到單調(diào)性.法二：，根據(jù)的正負(fù)，討論的正負(fù)，得到單調(diào)性.（2）法一：，令，則，又為偶函數(shù)，分離參數(shù)即可.法二：令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，得或分離參數(shù)即可.【詳解】（1）解法一：令，則在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，

16、即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.解法二：當(dāng)時(shí)，由得，由得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：由，得，易得令，則又為偶函數(shù)，由（1）知在上單調(diào)遞增，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，由，得由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故解得或，故的取值范圍是解法二：由得，易得令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，得或兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，得或，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解下同解法一.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo)，判單調(diào)性、判正負(fù)、提公因式，如果行不通，求二導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)同構(gòu)是

17、近幾年的熱點(diǎn)，注意函數(shù)的單調(diào)性.19(1)；(2)是的充分不必要條件，理由見解析(3)【分析】（1）由“約束數(shù)列”的定義，可得所求.（2）由“約束數(shù)列”和充分必要條件的定義，結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)，可得結(jié)論.（3）由，要使最大，推出，討論等差數(shù)列的公差，用求和公式可解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所有滿足的“約束數(shù)列”有：；（2）是的充分不必要條件.理由：當(dāng)時(shí)，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，“約束數(shù)列”是公差為1的等差數(shù)列當(dāng)“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時(shí)，由，得，或，或，若，則的公差為；若，則的公差為；若，則的公差為，即當(dāng)“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時(shí)，或或2024.由，得是的充分不必要條件.（3）要使得取最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí)，取最大值.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，抓住和進(jìn)行分類討論可求解第二問；第三問關(guān)鍵在于根據(jù)分析取得最大值的條件，然后分段求和可得.