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1、*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,1,第一節(jié)最小二乘原理,最小二乘原理,等精度測量線性參數(shù)的最小二乘原理,不等精度測量線性參數(shù)的最小二乘原理,第二節(jié)正規(guī)方程,線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程,非線性參數(shù)的最小二乘處理的正規(guī)方程,最小二乘原理和算術平均值原理的關系,第三節(jié)精度估計,測量數(shù)據(jù)的精度估計,最小二乘估計量的精度估計,第四節(jié)組合測量的最小二乘法處理,第5章 線性參數(shù)的最小二乘處理,參數(shù)的最可信賴估計、組合測量的數(shù)據(jù)處理、用實驗方法來擬定經(jīng)驗公式以及回歸分析,2,最小二乘法原理是一種在多學科領域中獲得廣泛應用的數(shù)據(jù)處理方法。這種
2、方法可以妥善解決,參數(shù)的最可信賴估計,、,組合測量的數(shù)據(jù)處理、用實驗方法來擬定經(jīng)驗公式以及回歸分析,等一系列數(shù)據(jù)處理問題。,在物理實驗中，經(jīng)常遇到已知變量間有密切的關系，但其 具體的函數(shù)形式及公式中所用參數(shù)的具體數(shù)值，則要通過實際測量來確定的情況。,如,已知某種電阻其阻值與溫度有關,，則需要測出一系列不同溫度下的阻值，然后對這一組數(shù)據(jù)用最小二乘法進行相應的處理，,得出函數(shù)關系中參數(shù)的最佳估計值,。,3,第一節(jié)最小二乘原理,一、引入,待測量（難以直接測量）：,直接測量量：,問題：,如何根據(jù)和測量方程解得待測,量,X,的估計值？,4,直接求得。,有利于減小隨機誤差，方程組,有冗余，采用最小二乘原理
3、求,。,討論：,最小二乘原理：,最可信賴值應使殘余誤差平方和最小。,5,二、最小二乘原理,設直接測量量 的估計值為 ，,則有,由此得測量數(shù)據(jù) 的殘余誤差,殘差方程式,6,若 不存在系統(tǒng)誤差，相互獨立并服從正態(tài)分布，標準差分別為 ，則 分別出現(xiàn)在相應真值附近 區(qū)域內(nèi)的概率為,由,概率乘法定理,可知，各測量數(shù)據(jù),同時出現(xiàn),在相應區(qū)域的概率為,7,測量值 已經(jīng)出現(xiàn)，有理由認為這,n,個測量值,出現(xiàn)于相應區(qū)間的概率,P,為最大。要使,P,最大，應有,最小,由于結果只是接近真值的估計值，因此上述條件應表,示為,最小,8,等精度測量的最小二乘原理：,最小,不等精度測量的最小二乘原理：,最小,最小二乘原理,
4、（其他分布也適用）,：,測量結果的最可信賴值應使殘余誤差平方和（或加權殘余誤差平方和）最小。,最小,9,三、等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理,線性參數(shù)的測量方程和相應的估計量為：,殘差方程為,10,令,則殘差方程的矩陣表達式為,殘差方程為,11,令,則殘差方程的矩陣表達式為,等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：,最小,12,不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：,思路一：,權矩陣,四、不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理,等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：,13,思路二：不等精度等精度,則有：,思路一：,14,第二節(jié)正規(guī)方程,正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉化得到的,有確定解的代數(shù)方程組,一、等
5、精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程,15,16,用,高斯符號,表示有：,則可得：,同理有：,17,上式中各二階偏導數(shù)恒為正，即：,所以，上式求得的極值是極小值，滿足最小二乘條件。,等精度測量的線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程,t,元線性方程組,，,當其系數(shù)行列式不為零時，有唯一確定的解,，由此可解得待求的估計量。,因而,估計量方程可最終寫成,18,對于線性參數(shù)的正規(guī)方程，利用矩陣處理比較方便。,現(xiàn)將正規(guī)方程組中第,r,個方程展開：,19,正規(guī)方程組可寫成：,寫為矩陣形式為：,即：,這就是等精度測量情況下以矩陣形式表示的正規(guī)方程。,20,將代入到中，得,（待測量的無偏估計）,21,若,A,的
6、秩等于,t,，那么 必定有唯一的解：,所解得 的數(shù)學期望為：,由此可見，是 的,無偏估計,。,是變量 的真值向量,是被估計參數(shù)的真值向量,其中假定：,無系統(tǒng)誤差存在,逆矩陣存在,22,例,5.1,：,已知銅棒的長度和溫度之間具有線性關系：,，為獲得,時銅棒的長度,和銅的線膨脹系數(shù)，現(xiàn)測得不同溫度下銅,棒的長度，如下表，求，的最可信賴值。,10,20,30,40,50,60,2000.36,2000.72,2000.8,2001.07,2001.48,2000.60,解：,1,）列出誤差方程,令 為兩個待估參量，則誤差方程為,23,按照最小二乘的矩陣形式計算,則有：,那么：,24,二、不等精度測
7、量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī),方程,由此可得不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的,正規(guī)方程：,25,整理得：,26,即,不等精度的正規(guī)方程,將代入上式，得,（待測量的無偏估計）,27,例,5.2,某測量過程有誤差方程式及相應的標準差：,試求 的最可信賴值。,解：首先確定各式的權,28,令,29,三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程,針對非線性函數(shù),其測量誤差方程為,令 ，現(xiàn)將函數(shù)在,處展開，則有,30,將上述展開式代入誤差方程，令,則誤差方程轉化為線性方程組,于是可解得 ，進而可得 。,近似值,31,為獲得函數(shù)的展開式，必須首先確定,1,）直接測量,2,）通過部分方程式進行計算：從誤差方程中選取,最簡單的,t,個方程式，如令 ，由此可解得,。,32,按照最小二乘原理可求得,結論：最小二乘原理與算術平均值原理是一致的，,算術平均值原理是最小二乘原理的特例。,四、最小二乘原理與算術平均值原理的關系,為確定一個被測量,X,的估計值,x,，對它進行,n,次直,接測量，得,n,個數(shù)據(jù) ，相應的權分別為,，則測量的誤差方程為,
08 第五章 線性參數(shù)的最小二乘 1
