基本不等式練習(xí)題及答案（完整版）

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1、雙基自測 1 1 ?(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)y=x+ x(x>0)的值域?yàn)? ). 入 A. 2] U [2,+x) B. (0,+x) C. [2,+x) D. (2,+x) 2. F列不等式：①a2 + 1> 2a； ^a+ b 小 ②質(zhì)2 ③X2+ X2++1> 1,其中正確的個(gè)數(shù)是 (). C. 2 D. 3 3. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,則ab的最大值為( ). 1 B. 1 C. 2 D. 4 1 4. (2011重慶)若函數(shù)f(x) = x+ (x>2)在x

2、= a處取最小值，則a=( ). X — 2 A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 3 D. 4 t2 — 4t+ 1 5. 已知t>0,則函數(shù)y= 1 的最小值為 . 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,則-+ -的最小值為 ; x y 2x ⑵當(dāng)x>0時(shí)，貝u f(x)=x^+T!的最大值為 1 【訓(xùn)練1】(1)已知x> 1,則f(x) = x+—-的最小值為 . x— 1 2 2 (2)已知0v xv 5,貝U y= 2x— 5x2的最大值為 . ⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—

3、xy= 0,貝U x+ y的最小值為 . 考向二 利用基本不等式證明不等式 【例2】？已知a>0, b>0, c>o,求證:爭+罕+警a+ b+ c. 【訓(xùn)練2】 已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1. 1 1 1 求證：一+【訓(xùn)練3】(2011宿州模擬)已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m— 2恒成立， 則實(shí)數(shù)m的最大值是 . 考向三利用基本不等式解實(shí)際問題 【例3】？某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位 置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m.房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房 屋側(cè)面的造價(jià)為150元/

4、m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為 5 800元，如果墻高 為3m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用?當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ 【訓(xùn)練3】(2011廣東六校第二次聯(lián)考)東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件， 每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80元.從今年起，工廠投入100 萬元科技成本.并計(jì)劃以后每年比上一年多投入 100萬元科技成本.預(yù)計(jì)產(chǎn)量每 年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是 80 g(n)= ，.若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第 n次投入后的年利潤為f(n)萬元. W+1 求出f(n)的表達(dá)式； + 9. a b c 考向

5、三 利用基本不等式解決恒成立問題 x 【例3】?(2010 山東)若對(duì)任意x>0, 2+ 3 + 1 < a恒成立，則a的取值范圍是 X十3X十I 4. 解析 當(dāng) x>2 時(shí)，x— 2>0, f(x)= (x — 2) + 七 + 2>2、(x— 2)x土+ 2 1 二4,當(dāng)且僅當(dāng)x — 2二x—2(x>2),即x= 3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x x— 2 =3,即a = 3.答案 C 2 5.解析 —2,當(dāng)且僅當(dāng)t= 1時(shí)取等 ??? t>0,A y=1+1 二 t+1 — 4>2 —4二 號(hào).答案 —2 【例 1】解析(1) : x>0, y>0,且

6、 2x+y= 1, ...x+y=寧+竽=3+y+&3+2d且僅當(dāng)土沁取等號(hào). 2x 2 2 1 ⑵??? x> 0, 即x= 1時(shí)取等號(hào). ??? f(x) = x2^^ —w2二 1 當(dāng)且僅當(dāng) x=-, x+x 案(1)3+ 2 ,2 (2)1 1 【訓(xùn)練1】.解析 ⑴??? x> 1,. f(x)= (x— 1) + — + 1>2+ 1 = 3 當(dāng)且僅當(dāng)x x— 1 2 1 2 =2 時(shí)取等號(hào).(2)y = 2x— 5x = x(2 — 5x) = 5 5x (2 — 5x), v 00,. 5x(2 — 5x) w ^x+ 2

7、—5x 1,. y<,當(dāng)且僅當(dāng) 5x = 2— 5x, 1 1 2 8 即 x=5時(shí)，ymax= 5.(3)由 2x+ 8y— xy= 0,得 2x+ 8y=xy,._ + _= 1, ■-x+ y=(x+ y) x+ y = 10+ 8y+ ,10 + 2^+ A10+ 2X 2X ?y= 18, 當(dāng)且僅當(dāng) 4^= x，即 x= 2y 時(shí)取等號(hào)，又 2x+ 8y — xy= 0,. x= 12, y= 6, x y ???當(dāng)x= 12, y= 6時(shí)，x+ y取最小值18. 答案(1)3 ⑵ 1 (3)18 be ca 小 be ca 小 be ab 【例 2】證明 v a>

8、0, b>0, c>0,? ； + >2 a(b = 2c； 7 +； >2 ,bC驚2b;外黔2 - ab = 2a.以上三式相加得：2嚴(yán)+罕+詈“ 2(a + b+ ，即 虹+ ca+ ab> a+ b+ c. a b c 【訓(xùn)練2】 證明：a>0, b>0, c>0,且 a+ b+ c= 1,a 丄 + 二吐也 + 蟲也+ a b c a b a+^ = 3 + a + a+ a + b+ a+ b = 3+ c a a b b c c 1 > 3+ 2+ 2+ 2= 9,當(dāng)且僅當(dāng)a= b= c=3時(shí)，取等號(hào). x x 解析 若對(duì)任意x>0, x2+ 3x+ [ w

9、 a恒成立，只需求得y= x》+ 3x+〔的最大值即 x 1 1 1 可，因?yàn)閤>0,所以y = x2 + 3x+ 1 =「 w 1 = 5,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí) x+1+ 3 2 魯 取等號(hào)，所以a的取值范圍是,+*：答案 ，+*) 【訓(xùn)練 3】解析 由 x>0,y>0,xy= x+ 2y> 2 .2xy,得 xy> 8,于是由 m— 2w xy 恒成立，得m— 2w8, mW 10,故m的最大值為10.答案 10 5 一 12 ,■ 【例3.解 由題意可得，造價(jià) y= 3(2xX 150+x x 400)+ 5 800= 900 x+ xX 16+ 5 800= 13

10、000(元), 800(0v xw 5),貝U y= 900 x+ 乎 + 5 800>900X 2 當(dāng)且僅當(dāng) x= 即x=4時(shí)取等號(hào).故當(dāng)側(cè)面的長度為 4米時(shí)，總造價(jià)最低. 【訓(xùn)練3】 解(1)第 n次投入后，產(chǎn)量為(10+ n)萬件，銷售價(jià)格為100元，固 定成本為鋼元，科技成本投入為 100n萬元.所以，年利潤為 f(n) = (10+ n) :cc 80 、 * 100— n+ 1 - 100n(n€ N ).⑵由(1)知 f(n) = (10+ n) 100— 80 ,n+ 1 —100n =1 000- 80 + W 520(萬元).

11、9 即n = 8時(shí)，利潤最高，最高利潤為520萬元.所以，從今年算起第8年利潤最 高，最高利潤為520萬元. 【示例】.正解 Ta>0, b>0,且a+ b= 1, 1 2 1+ 2= 1 2 a+2(a+ b)=1+2+ b+2a> 3+2 a2a=3+22. a+b=* 1, 當(dāng)且僅當(dāng)b 2a a 即』 二2—?時(shí)，a+2的最小值為3+2亞 【試一試】嘗試解答 ab)= 07—b且ab= ab，即a = 2b時(shí)，等號(hào)成立.答案D + ++ = a2 — ab+ ab + 2+ = a(a— b)+ —+

12、 ab+ 2 a a— b ab ab a(a— b) ab qa— b) (2) 求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？ 2 1 1 【試一試】(2010四川)設(shè)a>b>0,則a2+品+訂—？的最小值是( )? A. 1 B . 2 C. 3 D . 4 雙基自測 D. (2,+x) 答案 C 2 1 2 1 2. 解析 ①②不正確，③正確，X2 + x^+^ = (x2 + 1) + x2+1 — 1>2—1 = 1.答案 B 1 3. 解析 v a>0, b>0, a + 2b = 2,二 a + 2b= 2>2.2ab，即 ab