自動控制原理 胡壽松 第五版 第七章 非線性系統(tǒng)

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1、內(nèi) 容 提 要7.1 典 型 非 線 性 特 性 7.2 描 述 函 數(shù) 7.3 描 述 函 數(shù) 法 前 面 幾 章 討 論 的 都 是 線 性 系 統(tǒng) ， 實 際 上 所 有 的 實際 系 統(tǒng) 都 不 可 避 免 地 帶 有 某 種 程 度 的 非 線 性 ， 只 要 具有 一 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) ， 就 稱 作 ， 因 此 嚴 格 的說 所 有 系 統(tǒng) 都 是 非 線 性 系 統(tǒng) 。 在 控 制 系 統(tǒng) 中 ， 若 控 制 裝 置 或 元 件 其 輸 入 輸 出 間 的靜 特 性 曲 線 ， 不 是 一 條 直 線 ， 則 稱 為 。 如 果這 些 非 線 性 特 性 不 能 采 用

2、線 性 化 的 方 法 來 處 理 ， 稱 這 類非 線 性 為 。 為 簡 化 對 問 題 的 分 析 ， 通 常 將 這些 本 質(zhì) 非 線 性 特 性 用 簡 單 的 折 線 來 代 替 ， 稱 為。7.1.1 典 型 非 線 性 特 性 的 種 類 飽 和 特 性 的 靜 特 性 曲 線 如 圖 7-1所 示 ， 其 數(shù) 學 表 達式 為 式 中 ， a為 線 性 區(qū) 寬 度 ； k為 線 性 區(qū) 斜 率 。 飽 和特 性 的 是 ： 輸 入 信 號 超 過 某 一 范 圍 后 ， 輸 出 不再 隨 輸 入 的 變 化 而 變 化 ， 而 是 保 持 在 某 一 常 值 上 。飽 和 特

3、 性 在 控 制 系 統(tǒng) 中 是 普 遍 存 在 的 ， 常 見 的 調(diào) 節(jié)器 就 具 有 飽 和 特 性 。 y xk a-a 0圖 7-1 飽 和 特 性M -M ,| |,M x ay kx x aM x a 其 數(shù) 學 表 達 式 為0,| |( ),( ),x ay k x a x ak x a x a y xka-a 0圖 7-2 死 區(qū) 特 性 死 區(qū) 又 稱 不 靈 敏 區(qū) ， 在 死 區(qū) 內(nèi) 雖 有 輸 入 信 號 ， 但 其 輸出 為 零 ， 其 靜 持 性 關(guān) 系 如 圖 7-2所 示 。若 引 入 符 號 函 數(shù) 01 01 xxsignx , aaxxasignxxk

4、y )( 0 死 區(qū) 小 時 ， 可 忽 略 ； 大 時 ，需 考 慮 。 工 程 中 ， 為 抗 干 擾 ，有 時 故 意 引 入 。 比 如 操 舵 系統(tǒng) 。 3 滯 環(huán) 特 性 滯 環(huán) 特 性 表 現(xiàn) 為 正 向 與 反 向 特 性 不 是 重 疊 在 一 起 ， 而 是在 輸 入 -輸 出 曲 線 上 出 現(xiàn) 閉 合 環(huán) 路 。 其 靜 特 性 曲 線 如 圖 7-3所 示 。 其 數(shù) 學 表 達 式 為 ： 00 yybsignx xasignxky )( 這 類 特 性 ， 當 輸 入 信 號 小 于 間 隙 a時 ， 輸 出 不 變 。 當 xa時 ， 輸 出 線 性 變 化 ；

5、 輸 入 反 向 時 ， 輸 出 保 持 在 方 向 發(fā) 生 變化 時 的 輸 出 值 上 ， 直 到 變 化 2a后 ， 才 再 線 性 變 化 。 例 如 ： 鐵 磁 材 料 ， 齒 輪 的 齒 隙 ， 液 壓 傳 動 中 的 間 隙 等 。y x圖 7-3 滯 環(huán) 特 性0b -ba-a 繼 電 器 非 線 性 特 性 一 般 可 用 圖 7-4表 示 ， 不 僅 包 含 死區(qū) ， 而 且 還 具 有 滯 環(huán) 特 性 ， 其 數(shù) 學 表 達 式 為 ：y x圖 7-4 繼 電 器 特 性0 ama-a -mab -b 000000 xmaxa xaxma ax xmaxa xaxmabb

6、bsignxy , (1)若 a 0， 稱 這 種 特 性 為， 如 圖 7-5 （ a） 所 示 .(2)若 m=1， 其 靜 特 性 如 圖 7-5(b)所 示 ， 則 稱 為 .(3)若 m -1， 則 稱 為 ， 如 圖 7-5(c)所 示 。 圖 7-5 三 種 繼 電 器 特 性（ a） 理 想 繼 電 器 特 性 （ b） 死 區(qū) 繼 電 器 特 性 （ c） 滯 環(huán) 繼 電 器 特 性y x0b -b(a) y x圖 7-4 繼 電 器 特 性0 ama-a -mab -by xa-a 0-bb (b) y xa-a 0-bb(c) 非 線 性 系 統(tǒng) 與 線 性 系 統(tǒng) 最

7、本 質(zhì) 的 區(qū) 別 為 ： 由 非線 性 微 分 方 程 描 述 ， ， 故 在 非 線性 系 統(tǒng) 中 將 出 現(xiàn) 一 些 線 性 系 統(tǒng) 見 不 到 的 現(xiàn) 象 ， 兩者 之 間 有 著 不 同 的 運 動 規(guī) 律 。 上 述 介 紹 的 是 一 些 典 型 特 性 。 實 際 中 的 非 線 性 還有 好 多 復(fù) 雜 的 情 況 ， 有 些 是 它 們 的 組 合 ； 還 有 一些 很 難 用 一 般 的 函 數(shù) 來 描 述 ， 可 以 稱 為 不 規(guī) 則 非線 性 。 （ 1） 時 域 響 應(yīng) 曲 線 形 狀 與 輸 入 信 號 的 大 小 和 系 統(tǒng) 初 始 條 件 有 關(guān) 。而 線

8、性 系 統(tǒng) 與 之 無 關(guān) 。（ 2） 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 也 與 輸 入 信 號 的 大 小 和 系 統(tǒng) 初 始 條 件 有 關(guān) ， 如小 偏 差 時 是 穩(wěn) 定 的 ， 大 偏 差 時 是 不 穩(wěn) 定 的 。 而 線 性 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 僅取 決 于 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 和 參 數(shù) 。（ 3） 頻 率 響 應(yīng) 與 線 性 系 統(tǒng) 不 同 。 對 于 線 性 系 統(tǒng) ， 輸 入 是 正 弦 函 數(shù)時 ， 其 穩(wěn) 態(tài) 輸 出 也 是 同 頻 率 的 正 弦 函 數(shù) ， 可 以 用 頻 率 特 性 來 描 述 ；而 非 線 性 系 統(tǒng) 輸 出 是 非 正 弦 周 期 函 數(shù) 。 7.

9、1.3 非 線 性 系 統(tǒng) 的 分 析 方 法 非 線 性 的 數(shù) 學 模 型 為 非 線 性 微 分 方 程 ， 大 多 數(shù) 尚無 法 直 接 求 解 。 到 目 前 為 止 ， 非 線 性 系 統(tǒng) 的 研 究 還 不 成熟 ， 結(jié) 論 不 能 像 線 性 系 統(tǒng) 那 樣 具 有 普 遍 意 義 ， 一 般 要 針對 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) ， 輸 入 及 初 始 條 件 等 具 體 情 況 進 行 分 析 。工 程 上 常 用 的 方 法 有 以 下 幾 種 ：（ 1） 描 述 函 數(shù) 法 （ 本 質(zhì) 非 線 性 ） ： 是 一 種 頻 域 分 析 法 ，實 質(zhì) 上 是 應(yīng) 用 的 方 法 ，

10、 將 非 線 性 特 性 線 性 化 ，然 后 用 頻 域 法 的 結(jié) 論 來 研 究 非 線 性 系 統(tǒng) ， 它 是 線 性 理 論中 的 頻 率 法 在 非 線 性 系 統(tǒng) 中 的 推 廣 ， 不 受 系 統(tǒng) 階 次 的 限制 。 （ 2） 相 平 面 法 （ 本 質(zhì) 非 線 性 ） ： 圖 解 法 。 通 過 在 相 平面 上 繪 制 相 軌 跡 ， 可 以 求 出 微 分 方 程 在 任 何 初 始 條 件 下的 解 。 是 一 種 時 域 分 析 法 ， 僅 適 用 于 一 階 和 二 階 系 統(tǒng) 。（ 3） 計 算 機 求 解 法 ： 用 計 算 機 直 接 求 解 非 線 性 微

11、 分 方程 ， 對 于 分 析 和 設(shè) 計 復(fù) 雜 的 非 線 性 系 統(tǒng) 是 非 常 有 效 的 。 7.2 描 述 函 數(shù) 1.描 述 函 數(shù) 的 應(yīng) 用 條 件（ 1） 非 線 性 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 圖 可 簡 化 成 非 線 性 環(huán) 節(jié) N和一 個 線 性 部 分 G(s)串 聯(lián) 的 閉 環(huán) 結(jié) 構(gòu) ， 如 圖 7-6所 示 。是 非 線 性 系 統(tǒng) 的 一 種 近 似 分 析 方 法 。 首 先 利 用 描述 函 數(shù) 將 非 線 性 元 件 線 性 化 ， 然 后 利 用 線 性 系 統(tǒng) 的 頻 率 法 對 系 統(tǒng)進 行 分 析 。 它 是 線 性 理 論 中 的 頻 率 法 在

12、非 線 性 系 統(tǒng) 中 的 推 廣 ， 不受 系 統(tǒng) 階 次 的 限 制 。 x yN G(s)r(t)=0 c(t)圖 7-6 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + - （ 2） 非 線 性 環(huán) 節(jié) 的 輸 入 輸 出 靜 特 性 曲 線 是 奇 對 稱 的 ， 即y(x)=-y(-x)， 以 保 證 非 線 性 元 件 在 正 弦 信 號 作 用 下 的 輸 出 不 包含 直 流 分 量 。（ 3） 系 統(tǒng) 的 線 性 部 分 具 有 良 好 的 低 通 濾 波 特 性 。 能 較 好 的 濾除 非 線 性 環(huán) 節(jié) 在 正 弦 輸 入 下 輸 出 中 的 高 次 諧 波 ， 于 是

13、可 以 認為 在 閉 環(huán) 通 道 中 只 有 基 波 分 量 在 流 通 ， 此 時 應(yīng) 用 描 述 函 數(shù) 法所 得 的 分 析 結(jié) 果 才 是 比 較 準 確 的 。 對 于 圖 7-6所 示 的 非 線 性 系 統(tǒng) ， 設(shè) 系 統(tǒng) 的 非 線 性 環(huán) 節(jié) 輸 入信 號 是 正 弦 信 號 ： 則 其 輸 出 一 般 為 周 期 性 的 非 正 弦 信 號 ， 可 以 展 成 傅 氏 級 數(shù) ：( ) sinx t A t 若 系 統(tǒng) 滿 足 上 述 第 二 個 條 件 ， 則 有 A0=0 由 于 在 傅 氏 級 數(shù) 中 n越 大 ,諧 波 分 量 的 頻 率 越 高 ， An， Bn越

14、 小 。 此 時 若 系 統(tǒng) 又 滿 足 第 三 個 條 件 ， 則 高 次 諧 波 分 量 又進 一 步 被 充 分 衰 減 ， 故 可 認 為 非 線 性 環(huán) 節(jié) 的 穩(wěn) 態(tài) 輸 出 只 含基 波 分 量 ， 即 0 1( ) ( cos sin )n nny t A A n t B n t 20201 ( ) cos1 ( ) sinnnA y t n td tB y t n td t 類 似 于 線 性 系 統(tǒng) 中 頻 率 特 性 的 定 義 ， 我 們 把 非 線 性 元 件穩(wěn) 態(tài) 輸 出 的 基 波 分 量 與 輸 入 正 弦 信 號 的 相 量 比 定 義 為 非 線性 環(huán) 節(jié)

15、的 描 述 函 數(shù) ， 用 來 表 示 ， 即 1 1 1 1 121 021 02 21 1 111 1( ) ( ) cos sin sin( )1 ( )cos1 ( )sinY A Barctany t y t A t B t Y tA y t td tB y t td tAB 式 中 由 非 線 性 環(huán) 節(jié) 描 述 函 數(shù) 的 定 義 可 以 看 出 ： (1) 描 述 函 數(shù) 線 性 系 統(tǒng) 中 的 頻 率 特 性 ， 利 用 描 述 函 數(shù) 的 概 念便 可 以 把 一 個 非 線 性 元 件 近 似 地 看 作 一 個 線 性 元 件 ， 因 此 又 叫 做。 線 性 系 統(tǒng)

16、頻 率 法 的 推 廣 。（ 2） 描 述 函 數(shù) 表 達 了 非 線 性 元 件 對 基 波 正 弦 量 的 傳 遞 能 力 。 一 般來 說 ， 它 應(yīng) 該 是 輸 入 信 號 的 函 數(shù) ， 但 對 于 絕 大 多 數(shù) 的實 際 非 線 性 元 件 ， 由 于 不 包 括 儲 能 元 件 ， 它 們 的 輸 出 僅 是 幅 值 的函 數(shù) ， 與 頻 率 無 關(guān) ， 故 常 用 表 示 。7.2.2 描 述 函 數(shù) 的 求 法 描 述 函 數(shù) 可 以 從 定 義 式 (7-15)出 發(fā) 求 得 ， 一 般 步 驟是 ： 1 2 21 11 11A B( ) arctanjY AN A eA

17、 A B (1) 首 先 由 非 線 性 靜 特 性 曲 線 ， 畫 出 正 弦 信 號 輸 入 下 的 輸出 波 形 y(t) ， 并 寫 出 輸 出 波 形 y(t)的 數(shù) 學 表 達 式 。(2) 利 用 傅 氏 級 數(shù) 求 出 y(t)的 基 波 分 量 。(3) 將 求 得 的 基 波 分 量 代 入 定 義 式 (7-15)， 即 得 N(A).下 面 計 算 幾 種 典 型 非 線 性 特 性 的 描 述 函 數(shù) 。 當 輸 入 為 x(t) Asint時 ， 理 想 繼 電 器 特 性 的 輸 出 波形 如 圖 7-7所 示 ： 1 2 21 11 11A B( ) arcta

18、njY AN A eA A B y x0M 圖 7-7 理 想 繼 電 器 特 性 的 輸 出 波 形t0 x2 0y M x 0y M x t y0 2M- -M 由 于 輸 出 周 期 方 波 信 號 是 奇 函 數(shù) ， 則 傅 氏 級 數(shù)中 的 直 流 分 量 與 基 波 偶 函 數(shù) 分 量 的 系 數(shù) 為 零 A0 A1=0 而 基 波 奇 函 數(shù) 分 量 的 系 數(shù) 為 ： 21 0 0 01 2( )sin ( )sin2 4sin ( )B y t td t y t td tMM td t ty0 2M 故 理 想 繼 電 器 特 性 的 描 述 函 數(shù) 為 即 N(A)的 相

19、位 角 為 零 度 ,幅 值 是 輸 入 正 弦 信 號 A的 函 數(shù) . 1 1 4( ) Y MN A A A 當 輸 入 為 x(t) Asint， ， 飽和 特 性 的 輸 出 波 形 如 圖 7-8所 示 。1 4( ) sinMy t t y yxx0 00 22M 圖 7-8 飽 和 特 性 的 輸 出 波 形ak1 tt ,| |,M x ay kx x aM x a 1 AaaA arcsinsin 11 式 中 1=arcsin(a/A)由 式 （ 7-15） 可 得 飽 和 特 性 的 描 述 函 數(shù) 為 21 2( ) arcsin 1 ( )B k a a aN A

20、A A A A 220 2 0201 12 44 21 11 )(arcsin )(sin)(sin )(sin)()(sin)( AaAaAakA ttdkattdkA ttdtyttdtyB 顯 然 其 輸 出 信 號 也 是 奇 函 數(shù) ， 因 此 A0=A1=0， 而y0 2 t1tBty sin)( 11 由 上 式 可 見 ， 飽 和 特 性 的 N(A)也 是 輸 入 正 弦 信 號 幅 值 A的 函數(shù) 。 這 說 明 飽 和 特 性 等 效 于 一 個 變 系 數(shù) 的 比 例 環(huán) 節(jié) ， 當 Aa時 ，比 例 系 數(shù) 總 小 于 k. P291表 7-1列 出 了 常 見 的

21、非 線 性 系 統(tǒng) 的 描 述 函 數(shù) N(A)以 及 相 應(yīng)的 負 倒 特 性 曲 線 -1/N(A)， 供 分 析 時 參 考 。 理 想 繼 電 特 性 ， 死 區(qū) 繼電 特 性 ， 飽 和 特 性 ， 死 區(qū) 特 性 ！7.2.3 組 合 非 線 性 特 性 的 描 述 函 數(shù) 以 上 介 紹 了 描 述 函 數(shù) 的 基 本 求 法 ， 對 于 復(fù) 雜 的 非 線 性 特 性 ，完 全 可 以 利 用 這 種 方 法 求 出 其 描 述 函 數(shù) ， 但 計 算 也 復(fù) 雜 得 多 。 此時 也 可 以 將 復(fù) 雜 的 非 線 件 特 性 分 解 為 若 干 個 簡 單 非 線 性 特

22、性 的 組合 ， 即 ， 再 由 已 知 的 這 些 簡 單 非 線 性 特 性 的 描 述 函 數(shù) 求 出復(fù) 雜 非 線 件 特 件 的 描 述 函 數(shù) 。 21 2( ) arcsin 1 ( )B k a a aN A A A A A 設(shè) 有 兩 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 并 聯(lián) ， 且 其 非 線 性 特 性 都 是， 即 它 們 的 描 述 函 數(shù) 都 是 ， 如 圖 7-9所 示 。N1N2 +x(t) y 12(t) y1(t) 圖 7-9 兩 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 并 聯(lián) y11(t) 當 輸 入 為 x( t) Asint時 ， 則 兩 個 環(huán) 節(jié) 輸 出 的 分 別 為 輸

23、入 信 號 乘 以 各 自 的 描 述 函 數(shù) ， 即 21 211 212 111 NNN tANNty tANty tANty sin)()( sin)( sin)( 例 7.1 下 圖 為 一 個 具 有 死 區(qū) 的 非 線 性 環(huán) 節(jié) ， 求 描 述 函 數(shù)N(A). 具 有 死 區(qū) 的 非 線 性 特 性 的 并 聯(lián) 分 解00M kx y+ x k0M y 解 ： 可 見 ， 該 死 區(qū) 非 線 性 特 性 可 分 解 為 一 個 死 區(qū) 繼 電 器特 性 和 一 個 典 型 死 區(qū) 特 性 的 并 聯(lián) ， 描 述 函 數(shù) 為 若 兩 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 串 聯(lián) ， 如 下 圖

24、 所 示 ， 其 總 的 描 述 函數(shù) 兩 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 描 述 函 數(shù) 的 乘 積 。 )(arcsin )(arcsin)( AAA kMAkk AAAkAAMAN 2 22 1242 12214 N 1 N2x y N yxz 21 NNN 必 須 首 先 求 出 這 兩 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 串 聯(lián) 后 等 效 的 非 線 性特 性 ， 然 后 根 據(jù) 等 效 的 非 線 性 特 性 求 出 總 的 描 述 函 數(shù) 。例 7-2 求 圖 7-12所 示 兩 個 非 線 性 特 性 串 聯(lián) 后 總 的 描 述 函 數(shù)N(A)。 y z02 1k2=2 xy 10 k=222-

25、2 -1 10 k=2 x22-1 10 k=2 x22-2 yy10 k1=1 xz 2 解 ； 這 是 一 個 死 區(qū) 特 性 和 一 個 飽 和 特 性 相 串 聯(lián) 。 根 據(jù) 各 串 聯(lián) 環(huán) 節(jié) 輸 入 輸 出 之 間 的 關(guān) 系 ， 可 以 等 效 為一 個 的 非 線 性 特 性 。 為 求 得 這 個 等 效 非 線 性 特 性 的 描 述 函 數(shù) ， 又 可 將 其分 解 為 兩 個 具 有 完 全 相 同 線 性 區(qū) 斜 率 k=2和 不 同 死 區(qū) 寬度 死 區(qū) 特 性 的 并 聯(lián) 相 減 ， 故 總 的 描 述 函 數(shù) 為 ： )()()(arcsinarcsin )(a

26、rcsin )(arcsin)( 1111212124 122 122 222222 2111 AAAAAAA AAAk AAAkAN 習 題 ： 求 圖 示 3個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 串 聯(lián) 后 等 效 的 非 線 性 特 性 ， 并 求 其 描 述 函 數(shù) ， 其 中 Mh。 l描 述 函 數(shù) 的 定 義l描 述 函 數(shù) 的 求 法l組 合 非 線 性 特 性 的 描 述 函 數(shù) 7.3 描 述 函 數(shù) 法 前 面 介 紹 了 描 述 函 數(shù) 的 定 義 及 其 求 法 。 通過 描 述 函 數(shù) ， 一 個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 就 可 看 作 一 個 線性 環(huán) 節(jié) ， 而 非 線 性 系

27、統(tǒng) 就 近 似 成 了 線 性 系 統(tǒng) ，于 是 就 可 進 一 步 應(yīng) 用 線 性 系 統(tǒng) 的 頻 率 法 進 行 分析 。 這 種 方 法 只 能 用 于 分 析系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 和 自 振 蕩 。 7.3.1 非 線 性 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性 分 析 假 設(shè) 非 線 性 元 件 和 系 統(tǒng) 滿 足 7.2節(jié) 所 要 求 的描 述 函 數(shù) 法 的 應(yīng) 用 條 件 ， 則 非 線 性 環(huán) 節(jié) 可 以 用描 述 函 數(shù) N(A)來 表 示 ， 而 線 性 部 分 可 用 傳 遞 函G(s)或 頻 率 特 性 G(j)表 示 ， 如 圖 7-13所 示 。 x(t) y(t)N(A) G

28、(s)r(t)=0 c(t)圖 7-13 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + - ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( )1 ( ) ( ) 01( ) ( )C j N A G jj R j N A G jN A G jG j N A 由 結(jié) 構(gòu) 圖 可 以 得 到 線 性 化 后 的 閉 環(huán) 系 統(tǒng)的 頻 率 特 性 為而 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為或 x(t) y(t)N(A) G(s)r(t)=0 c(t) 圖 7-13 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + - 通 過 對 比 會 發(fā) 現(xiàn) :在 線 性 系 統(tǒng) 分 析 中 當 應(yīng) 用 奈 氏 判

29、據(jù) 時 ， 若滿 足 G(j) -1+j0， 系 統(tǒng) 是 臨 界 穩(wěn) 定 的 ， 即 系 統(tǒng) 是 等 幅 振 蕩 狀 態(tài) 。 顯 然 ， 式 (7-22)中 的 -1/N(A)相 當 于 線 性 系 統(tǒng) 中 的 (-1， j0)點 。區(qū) 別 在 于 ， 線 性 系 統(tǒng) 的 臨 界 狀 態(tài) 是 一 個 點 （ -1， j0)。 而 非 線 性系 統(tǒng) 的 臨 界 狀 態(tài) 是 -1/N(A)曲 線 。 通 常 又 將 -1/N(A)曲 線 稱 為 負 倒特 性 曲 線 。 綜 上 所 述 ， 利 用 奈 氏 判 據(jù) ， 可 以 得 到 非 線 性 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定 性判 別 方 法 ： (1)若

30、G(s)曲 線 不 包 圍 -1 N(A)曲 線 ， 如 圖 7-14(a)所 示 ，則 非 線 性 系 統(tǒng) 是 穩(wěn) 定 的 。 (2)若 G(s)曲 線 包 圍 -1 N(A)曲 線 ， 如 圖 7-14(b)所 示 ，則 非 線 性 系 統(tǒng) 是 不 穩(wěn) 定 的 。 (3)若 G(s)曲 線 與 -1 N(A)曲 線 相 交 ， 如 圖 7-14(c)所 示 ，則 在 理 論 上 將 產(chǎn) 生 等 幅 振 蕩 或 稱 為 。 0ImG(jw)-1/N(A) Re 0 ReImG(jw) -1/N(A) Im 0G(jw)-1/N(A) M1M2 Re圖 7-14 非 線 性 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 定

31、 性 分 析 (a),(b),(c) 7.3.2 自 振 蕩 的 分 析 與 計 算 前 已 述 及 ， 若 G (j)曲 線 與 -1 N(A)曲 線 相 交 ，則 系 統(tǒng) 將 產(chǎn) 生 自 振 蕩 。 下 面 從 信 號 的 角 度 進 一 步 分 析 自 振 蕩 產(chǎn) 生 的條 件 。 x(t) y(t)N(A) G(s)r(t)=0 c(t)圖 7-13 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + - 在 圖 7-13所 示 非 線 性 系 統(tǒng) 中 ， 若 產(chǎn) 生 自 振 蕩 ， 則 意 味著 系 統(tǒng) 中 有 一 個 正 弦 信 號 在 流 通 ， 不 妨 設(shè) 非 線 性 環(huán) 節(jié) 的 輸入

32、 信 號 為 x(t)=Asint 則 非 線 性 環(huán) 節(jié) 輸 出 信 號 基 波 分 量 為 1( ) | ( )| sin( ( )y t N A A t N A ( ) | ( ) ( )| sin( ( ) ( )c t G j N A A t G j N A ( ) 0( ) ( )sin| ( ) ( )| sin( ( ) ( )| ( ) ( )| 1( ) ( ) r tx t c tA tG j N A A t G j N AG j N AG j N A 根 據(jù) 系 統(tǒng) 存 在 自 振 蕩 的 假 設(shè) , 故即所 以 x(t) y(t)N(A) G(s)r(t)=0 c(t

33、)圖 7-13 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + - 0ImG(jw)-1/N(A) ReM2 M1 自 振 蕩 也 存 在 一 個 問 題 ， 因 此 必 須 進 一 步 研 究自 振 蕩 的 穩(wěn) 定 性 。 若 系 統(tǒng) 受 到 擾 動 偏 離 了 原 來 周 期 運 動 狀態(tài) ， 當 擾 動 消 失 后 ， 系 統(tǒng) 能 夠 重 新 收 斂 于 原 來 的 等 幅 振 蕩狀 態(tài) ， 稱 為 ， 反 之 ， 稱 為 不 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 。判 斷 自 振 蕩 的 穩(wěn) 定 性 可 以 從 上 述 定 義 出 發(fā) ， 采 用 擾 動 分 析的 方 法 。 以 上 圖 為 例 ， G

34、 (j)與 -1/N(A)曲 線 有 兩 個 交 點 ， 說 明 存在 兩 個 自 振 蕩 點 。 對 于 M1點 ， 若 受 到 干 擾 使 振 幅 A增 大 ，則 工 作 點 將 由 點 M 1移 至 a點 。 由 于 此 時 a點 不 被 曲 線 G(j)包 圍 。 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 ， 振 蕩 衰 減 ， 振 幅 A自 動 減 小 ， 工 作 點將 沿 -1/N(A)曲 線 回 到 M1點 。 反 之 亦 然 ， 所 以 M1點 是 穩(wěn)定 的 自 振 蕩 。 同 樣 的 方 法 可 以 分 析 點 M2是 不 穩(wěn) 定 的 振 蕩點 。 0 ImG(jw)-1/N(A) ad b c Re

35、M2 M1 按 照 下 述 準 則 來 判 斷 自 振 蕩 的 穩(wěn) 定 性 是 極 為 簡 便 的 ： 0ImG(jw)-1/N(A) ad b c ReM2 M1 值 得 注 意 的 是 ， 由 前 面 推 導(dǎo) 自 振 蕩 產(chǎn) 生 的 條 件 時 可知 ， 對 于 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 ， 計 算 所 得 到 的 是 圖 7-13中 非 線 性 環(huán) 節(jié) 的 輸 入 信 號 x(t) Asint的 振 幅 和 頻 率 ， 而不 是 系 統(tǒng) 的 輸 出 信 號 c(t)。 x(t) y(t)N（ A） G(s)r(t)=0 c(t)圖 7-13 非 線 性 系 統(tǒng) 典 型 結(jié) 構(gòu) 圖 + -

36、對 于 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 ， 振 幅 和 頻 率 是 確 定 的 ， 并 可 測 量 得到 。 計 算 時 ， 振 幅 可 由 曲 線 的 自 變 量 的 大 小來 確 定 ， 而 振 蕩 頻 率 由 曲 線 的 自 變 量 來 確 定 。 對 于 不 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 ， 由 于 實 際 系 統(tǒng) 不 可 避 免 地 存在 擾 動 ， 因 此 這 種 自 振 蕩 是 不 可 能 持 續(xù) 的 ， 僅 是 理 論 上的 臨 界 周 期 運 動 ， 在 實 際 系 統(tǒng) 中 是 測 量 不 到 的 。 例 7.3 具 有 理 想 繼 電 器 特 性 非 線 性 系 統(tǒng) 如 圖 7-15所

37、示 ，試 確 定 其 自 振 蕩 的 幅 值 和 頻 率 。 解 ： 理 想 繼 電 器 特 性 的 描 述 函 數(shù) 為01 -1 10( 1)( 2)s s s c(t)+_r(t) 24 2 4 2 4 4( )1( ) 40 1/ ( ) 0,1/ ( ) 1/ ( )( ) 10 30 10(2 )( ) (1 )(2 ) 5 4 ( 5 4) MN A A AAN AA N A AN A N AG s G j jj j j 當 時 ， - 當 時， 因 此 - 曲 線就 是 整 個 負 實 軸 。 又 由 線 性 部 分 的 傳 函可 得 0 ImG(j)-1/N(A) Re-1 2

38、 ( )( ) -1/ ( )Im ( ) 0 2 /s( )Re ( ) 1.661 1.66( ) 4 G jb G j N AG jG jG j AN A 由 上 式 可 以 畫 出 曲 線 ， 如 圖7-15（ ） 所 示 。 由 圖 知 ， 兩 曲 線有 一 個 交 點 ， 且 對 應(yīng) 于 該 點 的 自振 蕩 是 穩(wěn) 定 的 。 求 與的 交 點 ， 令 得 （ rad ）將 其 代 入 的 實 部 得所 以 0ImG(j)-1/N(A) Re-1由 此 求 得 ： A=2.1， =1.414rad/s (M) (h)013r(t) c(t)2( 1)(0.5 1)ss s +_例

39、 7-4 設(shè) 控 制 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 圖 如 圖 7-16(a)所 示 ， 圖 中 死 區(qū) 繼電 器 特 性 的 參 數(shù) 為 a=1,b=3.(1)計 算 自 振 蕩 的 振 幅 和 頻 率 .(2)為 消 除 自 振 蕩 ， 繼 電 器 特 性 參 數(shù) 應(yīng) 如 何 調(diào) 整 .解 ： (1) 死 區(qū) 繼 電 器 特 性 的 負 倒 描 述 函 數(shù) 為111121 2 AAAAN )( 214 AhAMAN )( 當 A=1時 ， -1/N(A)=-， 當 A= 時 ， -1/N(A)=-。 其 極值 發(fā) 生 在 處 ， 此 時 0ImG (j)-1/N(A) Re-/6 （ b）M1M22

40、11121 AAAN )( 621 MhAN )( 2A 因 此 ， -1/N(A)是 從 負 實 軸 上 -/6至-這 一 段 ， 為 清 楚 起 見 ， 用 兩 條 直線 來 表 示 ， 如 圖 所 示 。 由 線 性 部 分 的 傳 遞 函 數(shù) 得 ).( ).(.)(.()( 1251250 50121251250 31501 2 24 224 jjjjjG 令 ImG (j)=0， 得 G (j)曲 線 與 負 實 軸 的 交 點 處 的 頻 率為 =1.414。 將 =1.414代 入 實 部 ， 得 該 交 點 為 負 實 軸 上 -0.66。 令 6601112 2 . AA

41、解 得 A1=1.11， A2=2.3。 不 難 看 出 ， A2=2.3為 穩(wěn) 定 自 振 蕩的 幅 值 。 因 此 ， 系 統(tǒng) 實 際 存 在 的 自 振 蕩 的 幅 值 是 A=2.3， =1.414rad/s。 0ImG (j)-1/N(A) Re-/6 （ b）M1M2 (2) 為 使 系 統(tǒng) 不 產(chǎn) 生 自 振 蕩 ， 可 通 過 調(diào) 整 繼 電 器 特 性 的 死區(qū) 參 數(shù) 來 實 現(xiàn) 。 此 時 ， 應(yīng) 使 -1/N(A)的 極 值 小 于 G(j)曲 線與 負 實 軸 的 交 點 坐 標 ， 即 若 取 =2， 即 調(diào) 整 為 a=1.5， 則-1 N(A)極 值 為 -/4

42、 -0.785。 顯 然 ，這 時 兩 條 曲 線 不 相 交 。 從 而 保 證 系 統(tǒng)不 產(chǎn) 生 自 振 蕩 。 同 樣 道 理 ， 也 可 以 在 不 改 變 繼 電 器 特 性 參 數(shù) 的 情 況 下 。通 過 減 小 G(j)的 傳 遞 系 數(shù) ， 使 G(j) 曲 線 與 負 實 軸 的 交 點右 移 ， 使 系 統(tǒng) 減 小 或 消 除 自 振 蕩 。 )(66.022 hMabMh 0Im G (j)-1/N(A) Re-/6 （ b）M1M2 小 結(jié)1 基 本 知 識 點 本 質(zhì) 非 線 性 用 折 線 代 替 ； 飽 和 、 死 區(qū) 、 滯 環(huán) 、 繼 電 特 性 特 征 ：

43、 1 時 域 響 應(yīng) 的 形 狀 與 輸 入 的 大 小 和 初 始 值 有 關(guān) ； 2 穩(wěn) 定 性 3 頻 率 響 應(yīng) 與 線 性 系 統(tǒng) 不 同 ， 為 周 期 非 正 弦 函 數(shù) ； 4 自 振 蕩 方 法 ： 1 描 述 函 數(shù) 法 2 相 平 面 法 3 計 算 機 求 解 法 近 似 方 法 （ 諧 波 線 性 化 ） ； 條 件 ： 1 化 簡 后 的 結(jié) 構(gòu) 2 奇 函 數(shù) 3 線 性 部 分 具 有 低 通 特 性 ， 高 頻 段 越 陡 ， 精 度 越 高 。 步 驟 ： 1 畫 出 非 線 性 的 靜 態(tài) 特 性 、 x=f(t)、 y(t)的 波 形 ； 2 利 用 傅

44、 氏 級 數(shù) 求 y(t)的 基 波 分 量 ； 3 求 出 N(A)。 物 理 意 義 ： 描 述 了 非 線 性 元 件 對 基 波 分 量 的 傳 遞 能 力 1 求 出 N(A)； 2 畫 出 G (jw)和 -1/N(A)的 曲 線 3 用 奈 氏 穩(wěn) 定 判 據(jù) 判 斷 穩(wěn) 定 性 和 自 振 蕩 ， 若 存 在 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 ， 進 一 步 求 出 自 振 蕩 的 頻 率 和 振 幅 。 2 有 關(guān) 例 題一 設(shè) 某 非 線 性 系 統(tǒng) 如 圖 所 示 ， 試 確 定 其 自 振 蕩 的 振 幅 和 頻 率 。解 ： 根 據(jù) 線 性 部 分 的 傳 遞 函 數(shù) ， 得

45、其 幅 頻 及 相 頻 特 性 分 別 為 其 中 M=1， 解 出 自 振 蕩 振 幅 為 22 5011 5 ).()( jG 180 5090 00 ).()( arctgarctgjG srad /20 350 )( jG 3541 00 MAAN )(12223200 . A 習 題 ： 設(shè) 非 線 性 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 如 圖 所 示 。求 ： 1) K =10時 系 統(tǒng) 是 否 產(chǎn) 生 穩(wěn) 定 的 自 振 蕩 ， 參 數(shù) 是 多 少 ？ 2) 欲 使 系 統(tǒng) 穩(wěn) 定 工 作 ， 不 出 現(xiàn) 自 振 蕩 ， K 的 臨 界 穩(wěn) 定 值 是多 少 ？r(t) c(t)012 21)( ss K012+ -課 本 313 例 題 7-14 習 題 ： 求 圖 示 2個 非 線 性 環(huán) 節(jié) 串 聯(lián) 后 等 效 的 非 線 性 特 性 。0M -M0 a b