信號與系統(tǒng)燕慶明第2章

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1、u線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 描 述u零 輸 入 響 應(yīng) 與 零 狀 態(tài) 響 應(yīng)u階 躍 響 應(yīng) 與 沖 激 響 應(yīng)u卷 積 及 其 應(yīng) 用u特 征 函 數(shù) 及 其 應(yīng) 用 l掌 握 典 型 連 續(xù) 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 的 模 型 建 立 方 法l掌 握 連 續(xù) 時 間 線 性 時 不 變 性 系 統(tǒng) 的 時 域 中 的 經(jīng) 典求 解 方 法l掌 握 系 統(tǒng) 的 0+狀 態(tài) 的 判 定 例 1： 如 圖 所 示 電 路 ， 寫 出 ： 以 為 響 應(yīng) 的 微 分 方 程 ； )(tuc連 續(xù) 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型激 勵 連 續(xù) 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型is(t) ic(t)C

2、uc(t) RuR(t) i(t)uL(t)+ - + + 例 2： 如 圖 所 示 電 路 ， 寫 出 ： 以 為 響 應(yīng) 的 微 分 方 程 ； 激 勵 ni mj jjii mmmmnnn tfbtya tfbtfbtfbtfb tyatyatyaty 0 0 )()( 0)1(1)1(1)( 0)1(1)1(1)( )()( )()()()( )()()()( 即 ： )()()( tytyty ph 0)()()()( 0)1(1)1(1)( tyatyatyaty nnn 0 0111 aaa nnn j2,1 )sin()cos( tDtCe t tCe tttrrtrr eCt

3、eCetCetC 012211 )cos( tAe t jDCAe j )cos()cos( )cos( 002 22111 teAt etAtetA tr trrrtrr iiii ADC , 1. ( ) ( )t mf t e Q t( ) mQ t t m其 中 是 的 次 多 項 式r( ) ( ) tp my t P t e則 r r( ) ( )cos ( )sin tp m my t e P t t Q t t 則 2. ( ) ( )cos ( )sin t s nf t e F t t G t t ( ) ( ) 0s nF t G t、 不 能 同 時 為 max m s

4、 、 n( ) Acos Bsin0,0, 0( ) cos sinpf t t tjr my t P t Q t 最 簡 情 況 ：若 或則 有 如 果 不 是 特 征 根那 么故 ： i如 果 微 分 方 程 的 特 征 根 均 為 實 單 根 ， 則 全 解 為 :)()()()( 1 tyeCtytyty pni tiph i 一 般 n階 微 分 方 程 ， 利 用 已 知 的 n個 初始 條 件 y(0) , y(1)(0) , y(2)(0) y(n1)(0) ,就 可 求 出 全 部 的 待 定系 數(shù) 。 設(shè) f (t)在 t=0時 接 入 ， 則 全 解 適 合 于 區(qū) 間

5、0+， ） 。 )(2)()(2)(3)( tftftytyty 0222)( 22 ttteety tt 1)0(,1)0(,)( 2 yyttf解 ： (1)求 齊 次 解 ， ： 2,1 21 tth eCeCty 221)( 0122)( PtPtPtyp 20122122 22)(2)2(32 ttPtPtPPtPP ttPPPtPPtP 22)232()62(2 22102122 22 2 P 262 21 PP 0232 210 PPP 12 P 21 P 20 P22)( 2 tttyp 22)()()( 2221 tteCeCtytyty ttph 12)0( 21 CCy

6、122)0( 21 CCy 11 C 22 C is(t) ic(t)C uc(t) RuR(t) i(t)uL(t)+ - + + ( ) ,i t若 以 為 響 應(yīng) 則 系 統(tǒng) 方 程 為1 1( ) ( ) ( )( ) sRL LC LCi t i t i ti t 3 , 0.5 , 1 , ( ) 4(0) 2, (0) 1, ( ) sR C F L H i t Ai i i t 如 果 已 知 求 全 響 應(yīng) 三 、 關(guān) 于 初 始 值 “ 0-” 和 “ 0+” ),0(),0( yy 確 切 的 應(yīng) 是 指 系 統(tǒng) 在 0t 時 刻 的 值 在 系 統(tǒng) 分 析 中 ， 我

7、們 從 系 統(tǒng) 中 直 接 獲 得 的 初 始 條 件往 往 是 : 0)0( yy 、 )0()0( )()( jj yy ),0(),0(),0( yyy它 們 提 供 了 以 往 歷 史 的 全部 信 息 而 與 激 勵 無 關(guān) ， 并且 容 易 得 到 。 ?)0()( jy )0()0( )()( jj yy )(6)(2)(3)( ttytyty ?)0()( jy )0()0( )()( jj yy( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )y t y t y t t t ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ), (0 ) 1, (0 ) 1y t y t y t t

8、t y y 例 ： l掌 握 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 概 念l掌 握 沖 激 響 應(yīng) 與 階 躍 響 應(yīng) 的 概 念 以 及 二 者 之 間 的 關(guān)系l掌 握 沖 激 響 應(yīng) 的 轉(zhuǎn) 移 算 子 法 求 解l掌 握 利 用 沖 激 響 應(yīng) 求 解 階 躍 響 應(yīng)l掌 握 信 號 運 算 中 的 卷 積 運 算 的 定 義l掌 握 卷 積 運 算 的 一 些 性 質(zhì) ， 利 用 卷 積 的 性 質(zhì) 簡 化 卷積 運 算 LTI 系 統(tǒng) 的 完 全 響 應(yīng) =零 輸 入 響 應(yīng) +零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 零 輸 入 響 應(yīng) 是 指 激 勵 為 零 ， 僅 由 系 統(tǒng) 的

9、 初 始 狀 態(tài) 所 引 起的 響 應(yīng) ， 用 表 示 。 ( )ziy t零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 是 指 初 始 狀 態(tài) 為 零 ， 僅 由 激 勵 所 引 起 的 響 應(yīng) ，用 表 示 。 ( )zsy t ( ) ( ) ( )zi zsy t y t y t 即 ： l 零 輸 入 響 應(yīng) 的 形 式 與 齊 次 解 一 樣 ， 特 征 根 為 單 根 時1( ) in tzi iiy t Cei 為 特 征 根 iC 由 零 輸 入 初 始 值 確 定l 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 求 法 與 求 非 齊 次 方 程 一 樣 1( ) ( )jn tzs j pjy t C e y t 齊

10、次 解 特 解 j 為 特 征 根 jC 由 零 狀 態(tài) 初 始 值 確 定 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h p zi zsy t y t y t y t y t 1 1 1( ) ( )j jn n np zij zsj pi j ji t tti y t y tce c e c e 1 1 1 j jn n nzij zsji j ji t ttice c e c e 其 中 ： ( )(0 )jy 由 確 定 ( )(0 )jziy 由 確 定 ( )(0 )jzsy 由 確 定 線 性 非 時變 系 統(tǒng) (t) s(t)y( 0 ) = 0 s (t )0 t0 t (t)

11、)( )1()( 01 taeCtg ni ti i S(t)且 系 統(tǒng) 特 征 根 均 為 不 為 0的 單 根 ， 則 其 階 躍 響 應(yīng) 為 ： 若 n階 微 分 方 程 的 等 號 右 端 只 含 激 勵 f(t),即 ： )()()()( 0)1(1)( tftyatyaty nnn )(t )(th0 t (t 線 性 非 時變 系 統(tǒng) (t h (ty( 0 ) = 0 h (t )0 t) ) ) （ t） 特 點 ：t=0時 刻 出 現(xiàn) 又 瞬 間 衰 減 的 信 號 ， 相 當(dāng) 于 在 t=0時 刻 賦予 系 統(tǒng) 若 干 能 量 后 又 即 刻 消 失 。h（ t） 特 點

12、 ：t0后 ， 由 沖 激 在 t=0時 刻 賦 予 系 統(tǒng) 的 儲 能 所 引 起 的 響 應(yīng) 。類 似 于 零 輸 入 響 應(yīng) ， 故 形 式 必 與 該 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 類似 ,但 常 數(shù) 確 定 不 相 同 。 且 系 統(tǒng) 特 征 根 均 為 單 根 ， 則 其 沖 激 響 應(yīng) 為 ：由 初 始 值 確 定 。ini ti CteCth i )( )()( 1 )()()()( 0)1(1)( tftyatyaty nnn 若 n階 微 分 方 程 的 等 號 右 端 只 含 激 勵 f(t),即 ： “h(n) (0+)” 求 沖 激 響 應(yīng) 可 分 兩 步 :（ 1

13、） 選 新 變 量 ， 使 它 滿 足 的 微 分 方 程 為 左 端 與 上 式 相 同 ，而 右 端 只 含 f(t) ,即 滿 足 方 程 :)(1 ty )()()( )()()( 0)1(1)( 0)1(1)( tfbtfbtfb tyatyaty mmmm nnn )()()()( 10)1(11)(1 tftyatyaty nnn )()()()( 10)1(11)(1 thbthbthbth mmmm （ 2） 設(shè) 該 狀 況 下 的 沖 激 響 為 ,根 據(jù) 系 統(tǒng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 線性 性 質(zhì) 和 微 分 性 質(zhì) ， 可 得 沖 激 響 應(yīng) : th1 ： t dx

14、xt dttdt )()( )()( th ( )ts線 性 ( )( ) ( )( ) tds tdtt h dh ts 1.微 分 算 子 定 義dtdp t dp )(1dtdxpx nnn dtxdxp t xdtxp1對 于 算 子 方 程 ： xpypp )3()52( 2 xdtdxydtdydtyd 352 22 其 含 義 是 ： xxpDpD )(1)( )()()(1 txxpDpD xxpp 1 xCxpxp 1 ( ) ( ) ( ) ( )D p y t N p f t ( ) ( )( ) ( ) ( )y t N pH p f t D p ( ) ( ) ( )

15、y t H p f t )(pH( )f t ( )y t0)( pD ( ) ( )th t Ke t ( ) ( )Kh t tp ( ) ( ) ( )y t y t Kf t ( )( ) ( )N p KH p D p p 0111 )()( )()( apapap pNpD pNpH nnn )()( )( 21 nppp pN nnpKpKpK 2211 tntt neKeKeKth 21 21)( )( )()()( 11 pD pNpHpH ( )( ) ii i pk H p p 2( ) ( )( ) ( ) ( )N p N pH p D p p 1 22( )K Kp

16、 p 2 (1) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) t tt t tt t kh t tp kp h t tpp h t ke th t h t ke te h t e h t k th t e k th t e kt th t kte t 21 ( )( ) pk H p p 2 (1)2 ( )( ) pk H p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t d f t t 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f f t d f t

17、f t (t) (t)=y(t)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t ( 1) ( 1) ( 1)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t ( 1) ( 1)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t l 含 有 沖 激 函 數(shù) 的 卷 積w (t)(t)=(t)， (t)(t-t0)=(t-t0)w (t)(t)=(t), (t)(t)=(t), l 時 移 性 質(zhì)w 若 (t) (t)=y(t)w 則 有 (t-t ) (t)=y(t-t1

18、)， (t-t ) (t-t )=y(t-t1-t2)l 與 階 躍 函 數(shù) 的 卷 積w 即 ： dfttf t )()()( t0 )( 1tt 1t1t )( 1tt t0 T T2T t0 )(tf t0 )(t t0 )(tft0 )( 1tt 1t t0 )()( 1tttf 1t t0 1t1tt0 )(tT TT T2 t0 )(tf t0 )(tf t0 )(tf t01 )(1 tf 1 t021 )(2 tf 1 32t01 )()1(1 tf 1 t0 )(2 tf 1 32)(21 t0 ( 1)1 2( ) ( ) ( )y t f t f t 121 2 3 4(

19、 1) ( 1)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f f t d t01 )(1 tf 1 t021 )(2 tf 1 32 021 )(2 f13 2 021 )(2 tft1t3 )()( 22 ff 反 折 得將 圖 形 向 右 移 動圖 形 向 左 移 動,0 ;,0tt01 )(1 f 1 01 )(1 f 1 021 )(2 f 1 32 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f f t d 和 沒 有 公 共

20、的 重 疊 部 分 ，故 卷 積 01 t 1t)(2 tf )(1 f 0)()()( 21 tftftft1t3 t1t3 01 )(1 f 1)(2 tf 01 )(1 f 1)(2 tf t021 ( )y t 1 32 4110 t 21 t 1 11 20 0 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1)2 2t ty t f f t d d t t 11 32 t1 11 20 0 1 1( ) ( ) ( ) 1 2 2y t f f t d d 03 tt1t3 01 )(1 f 1)(2 tf t1t3 當(dāng) 即 時 ： 和 沒 有 公 共 的 重 疊 部 分 ，故 卷 積 1

21、3 t 4t)(2 tf )(1 f 1 2( ) ( ) ( ) 0y t f t f t 01 )(1 f 1)(2 tf 當(dāng) 即 時 ：130 t 43 t1 11 23 3 1 1( ) ( ) ( ) 1 (4 )2 2t ty t f f t d d t 即 為 重 疊 部 分 的 面 積 。 t021 ( )y t 1 32 4t1t3 01 )(1 f 1)(2 tf 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f f t d )(t )(th)( t )()( tf )() thf( ) ( ) ( ) ( ) ( )zsy t f h t d

22、 f t h t dtftf )()()( ( ( ) ( )zsy t f h t d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zsy t f s t d f t s t ( ) ( )s t s ( ) ( ) ( )f t f t d t )()( teth t( ) 2 ( )f t t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )tzsy t h t f t e t t 00( ) 2 2 2(1 ) ( )t t tzsy t e d e e t 0 )(h 0 ( )f 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )zsy t f t h t h t f t ( ) 2 ( )e t d

23、 0 2 ( )te d t 02 ( )2(1 ) ( )tte te t t02 ( )f t 2 0 )(h( ) ( ) ( ) ( )f t h t f t h t設(shè) 信 號 和 如 圖 所 示 ， 試 求( ) ( ) ( ) ( ) ( )zsy t f t h t h t f t ( ) 2 ( ) ( 2)te t t t ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2)t te t t e t t 22(1 ) ( ) 2(1 ) ( 2)t te t e t ( 2)2(1 ) 0 22( ), 2tt te te e t ， + + tf ty f th1 th2 tf ty

24、f thth th 21 )()( )()()()()( 3121321 tftftftftftftf )( )()()()()()( 2121 ththtfthtfthtf )()()()()()( 321321 tftftftftftf )(1 th )(2 th)(2 th )(1 th)(tf )(tf tyf tyf )()()()()()( 2121 ththtfththtf )(tf ththth 21)( tyfzszszs h1(t) h2(t)f(t) y(t)1 2( ) ( 1), ( ) ( ) ( )h t t h t t h t 已 知 ， 試 求 整 個 系 統(tǒng)

25、 的 l 卷 積 的 微 分 與 積 分 性 質(zhì)w 微 分 性 質(zhì) ： 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t ( 1) ( 1) ( 1)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t w 積 分 性 質(zhì) ： ( 1) ( 1)1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t f t f t f t f t w 微 積 分 性 質(zhì) ：l 時 移 性 質(zhì)w 若 1(t)2(t)=y(t) 則 有 1(t-t1)2(t)=y(t-t1)， 1(t-t1)2(t-t2)=y(t-t1-t2)l

26、 含 有 沖 激 函 數(shù) 的 卷 積w (t)(t)=(t)， 則 ： (t)(t-t0)=(t-t0)， (t)(t)=(t), (t)(t)=(t), l 與 階 躍 函 數(shù) 的 卷 積 則 ： dfttf t )()()( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D p y t N p f t x t N p f t 已 知 任 意 階 系 統(tǒng) 的 算 子 方 程 為 ， 設(shè)( ) ( ) ( )y t ay t x t 一 階 系 統(tǒng) 方 程 可 寫 為 ： 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )ty t x t e t x t g t 那 么 ： 1 1( ) ( )

27、 ( )( ) ( ) ( ),( )p a pp a y t x ty t x t x t a 即 ： 1( ) ( )tg t e t 稱 為 一 階 系 統(tǒng) 的 特 征 函 數(shù) 1 21 1( ) ( )p py t x t 二 階 系 統(tǒng) 的 算 子 方 程 可 寫 為 ：2 21 11 ( ) ( ), ( ) ( ) y ( )t tp x t e t x t e t t 設(shè) 11y ( ) ( )tt e t 2 12( ) ( ) ( )( ) ( )t tx t e t e tx t g t 1 22( ) ( ) ( )t tg t e t e t 稱 為 二 階 系 統(tǒng)

28、的 特 征 函 數(shù) 1 2( ) ( ) ( ) ( )t t nn tng t e t e t e t 階 的 系 統(tǒng) 特 征 函 數(shù) ： 1 11( ) ( )py t y t則 ： 1 22( ) ( ) ( )t tg t e t e t 對 于 二 階 特 征 函 數(shù) ：1 2 ( )( ) ( )te e t d 1 2 ( )0 ( )t te e d t 12 1 2 1 21 21 2( ) ( ),( ),( ) t t tt e ete tg t 故 ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( )( ) 3 ( )ty t y t y t f tf t e t 已 知 系 統(tǒng) 方 程 為 ：求 輸 入 信 號 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。2 5 6 0 系 統(tǒng) 特 征 方 程 為 ：1 22, 3 得 特 征 根 ： 1 22 2 31 21( ) ( ) ( )( ) ( )t tt tg t e e te e t 則 ： = ( ) 3 ( ) tf t e t又 ： ( ) 3 ( ) 3 ( )tx t t e t 得 ： 2( ) ( ) ( )y t x t g t 2 33 ( ) 3 ( ) ( )( )t t tt e e te t 2 3( 1.5 6 4.5 ) ( )t t te e te