四川省鄰水實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020?2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題理﹙含答案﹚

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1、四川省鄰水實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理 注意事項(xiàng)： 1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息 2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上 第I卷（選擇題） 一、單選題（60分） 1．已知集合,集合,則( ) A． B． C． D． 2．命題“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．曲線與直線圍成的圖形的面積為（ ） A． B．5 C．6 D． 4．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，且，則（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．函數(shù)的大致圖象為（ ） A． B． C． D． 6．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)、、

2、、四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品預(yù)測(cè)如下： 甲說(shuō)：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”； 乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”； 丙說(shuō)：“、兩件作品未獲得一等獎(jiǎng)”； 丁說(shuō)：“是作品獲得一等獎(jiǎng)”． 評(píng)獎(jiǎng)揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是（ ） A．作品A B．作品B C．作品C D．作品D 7．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（ ） A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

3、（ ） 正視圖 側(cè)視圖 8題圖 俯視圖 A． B． C． D． 9題圖 9．為了配平化學(xué)方程式 ，某人設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的程序框圖，則①②③處應(yīng)分別填入（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．已知一個(gè)球的半輕為3.則該球內(nèi)接正六棱錐的體積的最大值為（ ） A．10 B． C． D． 11．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

4、圍為（ ） A． B． C． D． 12．已知雙曲線，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，的傾斜角，且，雙曲線在點(diǎn)處的切線與平行，則的面積的最大值為（ ） A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 二、填空題（20分） 13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____． 14．在中，，則_____. 15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與此拋物線交于兩點(diǎn)，若，且，則___________． 16．已知定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，，；②當(dāng)時(shí)，；③．若對(duì)于任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是___________． 三、解答題（60分） 17．已知數(shù)列

5、為等比數(shù)列，，其中，，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18．如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，且底面，. （1）求證：； （2）若，求二面角的余弦值. 19．隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)效果日益顯著，某大型超市計(jì)劃在不同的線上銷(xiāo)售平臺(tái)開(kāi)設(shè)網(wǎng)店，為確定開(kāi)設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對(duì)網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)隽顺浞值恼{(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中表示開(kāi)設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，表示這個(gè)分店的年銷(xiāo)售額總和），現(xiàn)已知，求解下列問(wèn)題； （1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求解關(guān)于的回歸

6、方程； （2）按照經(jīng)驗(yàn)，超市每年在網(wǎng)上銷(xiāo)售獲得的總利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）滿足，請(qǐng)根據(jù)（1）中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開(kāi)設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大． 參考公式；線性回歸方程x+， 其中 20．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率滿足，求面積的最大值． 21．已知函數(shù)（ …是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． （1）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍； （2）時(shí)，討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)． 請(qǐng)考生在22、23兩題中

7、任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為． （1）求直線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo)； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的斜率． 23．（10分）【選修4-5：不等式選講】 已知函數(shù)． （1）解不等式； （2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 數(shù)學(xué)（理科）答案 1．C 【分析】 化簡(jiǎn)集合和,根據(jù)交集定義,即可求得. 【詳解】 化簡(jiǎn)可得 根據(jù)指數(shù)函數(shù)是減函數(shù) ,

8、即,故 故 故選:C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了集合的交集,在集合運(yùn)算比較復(fù)雜時(shí),可以使用數(shù)軸來(lái)輔助分析問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題. 2．C 【分析】 利用全稱命題的否定可得出結(jié)論. 【詳解】 命題“，”為全稱命題，該命題的否定為“，”. 故選：C. 3．A 【分析】 根據(jù)定積分計(jì)算曲線圍成圖形的面積即可. 【詳解】 由可得或， 故曲線與直線圍成的圖形的面積為. 故選：A 4．A 【分析】 作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線得最大值和最小值，從而得結(jié)論． 【詳解】 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中，，． 在直線中，，表示直線

9、的縱截距． 作出直線并平移，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且；當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且．所以. 故選：A． 5．D 【分析】 易知是偶函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性與極值點(diǎn)范圍即可得結(jié)果． 【詳解】 由可知是偶函數(shù)，排除A； 當(dāng)時(shí)，，則，可知在上單調(diào)遞增， 且，，則存在，使得， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 且是在上唯一極小值點(diǎn)， 故選：D． 6．B 【分析】 若A為一等獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意； 若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿足題意； 若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿

10、足題意； 若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意； 綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)． 7．C 【分析】 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再由平移變換得到，然后逐項(xiàng)判斷. 【詳解】 因?yàn)椋鋱D象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象．所以的最小正周期為，故A正確； 當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確； 當(dāng)時(shí)，，所以在間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確． 故選：C 8．C 【分析】 先利用三視圖判斷對(duì)應(yīng)的直觀圖以及長(zhǎng)度關(guān)系，再利用空間幾何體的體積公式計(jì)算組合體的體積即可. 【詳解】 由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱與一個(gè)半圓錐的組合體，直三

11、棱柱的底面是底邊長(zhǎng)為8，底邊上的高為3的等腰三角形，高為3，圓錐的底面半徑為4，高為3，如圖， 所以其體積為． 故選：C. 9．D 【分析】 比較方程的兩邊，由元素守恒可得的數(shù)量關(guān)系． 【詳解】 結(jié)合元素守恒易知，，. 【點(diǎn)睛】 本題考查程序框圖，考查推理論證能力. 10．C 【分析】 如圖，設(shè)六棱錐球心為，底面中心為，設(shè)，則，令可得，利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值. 【詳解】 如圖，設(shè)六棱錐球心為，底面中心為，設(shè)， 則， ， 令， 則， ， 可得時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減， ， 故該球內(nèi)接正六校錐的體積的最大值為. 故選：C. 【點(diǎn)睛】

12、 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體的外接球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將體積用函數(shù)表示，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算. 11．B 【分析】 將不等式進(jìn)行恒等變形，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，據(jù)此求解a的取值范圍即可． 【詳解】 ， 所以在上恒成立， 等價(jià)于在上恒成立， 因?yàn)闀r(shí)，， 所以只需在上遞減， 即，恒成立， 即時(shí)，恒成立，即恒成立， 只需 所以， 故選：B 12．D 【分析】 設(shè)，求得，得到聯(lián)立方程組，求得，求得點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得，得到，利用基本不等式，即可求得面積的最大值. 【詳解】 由題意，不妨設(shè)在第一象限， 則雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即 又因?yàn)?，所?/p>

13、聯(lián)立可得， 所以點(diǎn)到直線的距離， 因?yàn)?，所以? 所以． 令，則，因?yàn)?，所以，所以? 可得， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值． 故選：D. 【點(diǎn)睛】 解答圓錐曲線的最值問(wèn)題的方法與策略： （1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決； （2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍. 13． 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線

14、的切線方程. 【詳解】 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．因?yàn)?，所以．又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． 故答案為： 14． 【分析】 在中，根據(jù)，利用正弦定理結(jié)合二倍角正弦公式求解. 【詳解】 在中，因?yàn)椋? 所以，即， 解得， 故答案為： 15．6 【分析】 設(shè)的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算得，故，根據(jù)求得，進(jìn)而求得，從而求得，利用列方程，解方程求得的值. 【詳解】 設(shè)的方程為， 則由得， ， ，又為銳角，． 不妨設(shè)，如圖，作軸，垂足為H，過(guò)M作直線軸， ，垂足為，則 ， ， ，故． 故答案為：6 【點(diǎn)睛】 直

15、線和圓錐曲線相交所得弦長(zhǎng)有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，要注意熟練應(yīng)用弦長(zhǎng)公式. 16． 【分析】 對(duì)，進(jìn)行靈活賦值，可得到，，利用單調(diào)性的定義確定的單調(diào)性，結(jié)合，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分離參數(shù)、換元、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可． 【詳解】 取，則，解得或， 若，則對(duì)任意的，，與條件②不符，故． 對(duì)任意的，， 若存在使得，則，與矛盾， 所以對(duì)任意的，． 假設(shè)對(duì)任意的，，且，，因?yàn)?，所以，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 又，所以， 從而，則， 令，則，， 設(shè)函數(shù) 所以 易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 從而，所以，則， 所以實(shí)數(shù)的最小值為， 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)

16、睛：求解本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性去“”，進(jìn)而分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解． 17．（1）；（2）. 【分析】 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，求出等比數(shù)列的即得解； （2）求出，，再利用裂項(xiàng)相消法求解. 【詳解】 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以? 因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以. 所以化簡(jiǎn)得，因?yàn)楣龋?，所? 所以. （2）因?yàn)椋裕? 所以. 即. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）分組求和法；（3）錯(cuò)位相減法；（4）裂項(xiàng)相消法；（5）倒序相加法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解. 18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

17、【分析】 (1)由底面是菱形，，可得為等邊三角形，再加上點(diǎn)是中點(diǎn)可證，進(jìn)而可得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，即可求證所求證； (2)由題意及(1)可以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法即可求解. 【詳解】 證明：在菱形中，，為等邊三角形. 又為的中點(diǎn)， . //， . 底面，平面， . ，平面， 平面. 是棱上的點(diǎn)， 平面. . （2）解：底面，， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則. ，，，，， . 由， 得. 設(shè)是平面的法向量， 由，得 令，則，則. 又平面的法向量為， .

18、 由題知，二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為. 【點(diǎn)睛】 本題考查線線垂直的證明及空間向量法求二面角，考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力及方程思想，屬于中檔題. 19．（1）；（2）開(kāi)設(shè)8或9個(gè)分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大． 【分析】 （1）先求得，再根據(jù)提供的數(shù)據(jù)求得，，寫(xiě)出回歸直線方程； （2）由（1）結(jié)合，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解. 【詳解】 （1）由題意得， 所以． （2）由（1）知，， 所以當(dāng)或時(shí)能獲得總利潤(rùn)最大． 20．（1）；（2）． 【分析】 （1）根據(jù)橢圓且經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的周長(zhǎng)為，用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)直線的

19、方程為，用“設(shè)而不求法”表示出，找到k、m的關(guān)系，從而把面積表示成m的函數(shù)，利用均值不等式求最值. 【詳解】 （1）∵的周長(zhǎng)為， ∴，∴． 將代入，得，解得． ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是． （2）由題意知直線的斜率存在且不為0， 設(shè)直線的方程為，，， 將與聯(lián)立并消去，整理得， 則，． ∵， ∴， ∴， 化簡(jiǎn)得， ∴或（舍去）． 當(dāng)時(shí)，，則，得． ， 原點(diǎn)到直線的距離， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意． ∴面積的最大值是． 【點(diǎn)睛】 （1）待定系數(shù)法求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二

20、次曲線相交的問(wèn)題； （3）方法技巧：圓錐曲線中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，主要有兩種解題方法：一是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式的知識(shí)等進(jìn)行求解，如本題第（2）問(wèn)將的面積用含的式子表示，并利用基本不等式求面積的最大值． 21．（1）；（2）答案見(jiàn)解析. 【分析】 （1）若在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在內(nèi)有兩個(gè)不相等的變號(hào)根，等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根．令，分類討論有兩個(gè)變號(hào)根時(shí)的范圍；（2）化簡(jiǎn)原式可得：，分別討論和時(shí)的單調(diào)性，可得的最小值，分類討論最小值與0

21、的關(guān)系，結(jié)合的單調(diào)性可以得到零點(diǎn)個(gè)數(shù). 【詳解】 （1）由題意可求得， 因?yàn)樵趦?nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有兩個(gè)不相等的變號(hào)根， 即在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根． 設(shè)，則， ①當(dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增，不符合條件． ②當(dāng)時(shí)，令得， 當(dāng)，即時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞減，不符合條件； 當(dāng)，即時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞增，不符合條件； 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增， 若要在上有兩個(gè)不相等的變號(hào)根，則，解得． 綜上所述，． （2）設(shè)， 令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （?。┊?dāng)時(shí)，，則，所以． 因?yàn)?，所以，因此在上單調(diào)遞增． （ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則，所以

22、． 因?yàn)榧矗?所以，因此在上單調(diào)遞減． 綜合（?。áⅲ┛芍?dāng)時(shí)，， 當(dāng)，即時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為0， 當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為1， 當(dāng)，即時(shí)， ①當(dāng)時(shí)，，要使，可令，即； ②當(dāng)時(shí)，，要使， 可令，即， 所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為2， 綜上所述：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為0， 當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為1， 當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)為2． 【點(diǎn)睛】 本題考查已知極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)，以及分類討論求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于難題. 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分類討論求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，（1）先從函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)得到參

23、數(shù)的一個(gè)范圍；（2）函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，再判斷函數(shù)零點(diǎn)是否在給定區(qū)間內(nèi)，得到參數(shù)下一步的范圍. 22．【答案】（1）直線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為，；（2）． 【解析】（1）曲線的普通方程為， 直線的普通方程為， 聯(lián)立方程，解得或， 所以，直線與曲線公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為，． （2）依題意，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為傾斜角，為參數(shù)）， 代入，整理得． 因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，則． 所以，即．直線的斜率為． 已知a＞0，b＞0，函數(shù)f(x)＝|2x＋a|＋2|x－|＋1的最小值為2. 23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），可化為， 即或或， 解得或或；不等式的解集為． （2）在恒成立， ， 由題意得，，所以．