型曲面積分課件

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1、型曲面積分3 Gauss)公式與 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式一、高一、高 斯斯 公公 式式二、斯托克斯二、斯托克斯(Stokes)公式公式型曲面積分 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面圍成由分片光滑的閉曲面圍成, ,函數(shù)函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或1. 1. 定理定理22.322.3型曲面積分這這里里 是是 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外

2、外側(cè)側(cè)， cos,cos,cos是是 上上點點),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域 在在面面xoy上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分組成三部分組成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD型曲面積分根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取

3、取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3 取取外外側(cè)側(cè)) )型曲面積分,),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是. 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR型曲面積分,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：型曲面積分GaussGauss公式的實質(zhì)公式的實質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積

4、分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知型曲面積分例例1 1 計算曲面積分計算曲面積分xdydzzydxdyyx)()( 其中為柱面其中為柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所圍成的空間閉所圍成的空間閉區(qū)域區(qū)域 的整個邊界曲面的外側(cè)的整個邊界曲面的外側(cè). .xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP 2. 2. 簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用: :型曲面積分, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 (利用柱面坐標(biāo)

5、得利用柱面坐標(biāo)得)xozy113 301020)(sinrdzzrdrd型曲面積分使用使用Guass公式時應(yīng)注意公式時應(yīng)注意:1 1. .RQP,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù); ;2 2. .是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;3.3.是取閉曲面的外側(cè)是取閉曲面的外側(cè). .型曲面積分xyzo例例 2 2 計算曲面積分計算曲面積分dszyx)coscoscos(222 , ,其中為其中為錐面錐面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0( hhz之間的部分的下側(cè)之間的部分的下側(cè), , cos,cos,cos是在是在),(zyx處處的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦

6、. .h 型曲面積分xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域為面上的投影域為xoyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)補(bǔ)充充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取取上上側(cè)側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 型曲面積分 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .

7、214h 型曲面積分 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 型曲面積分例例 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxu和和),(zyxv在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上具上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu 其中是閉區(qū)域其中是閉區(qū)域 的整個邊界曲面，的整個邊界曲面，nv 為函數(shù)為函數(shù)),(zyxv沿的外法線方向的方向?qū)?shù)沿的外法線方向的方向?qū)?shù). . 型曲面積分證證,coscoscos zv

8、yvxvnv dSnvu dSzvyvxvu)coscoscos( dSzvuyvuxvucos)(cos)(cos)( 利用高斯公式，即得利用高斯公式，即得 dSnvu ,)()()(dxdydzzvuzyvuyxvux型曲面積分符號符號222222zyx ，稱為拉普拉斯，稱為拉普拉斯(Laplace)(Laplace)算子，這個公式叫做格林第一公式算子，這個公式叫做格林第一公式 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu型曲面積分沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件的邊界曲線？

9、的邊界曲線？無關(guān)而只取決于無關(guān)而只取決于與曲面與曲面，曲面積分，曲面積分問題：在怎樣的條件下問題：在怎樣的條件下 RdxdyQdzdxPdydz為為零零？任任意意閉閉曲曲面面的的曲曲面面積積分分即即在在怎怎樣樣的的條條件件下下，沿沿型曲面積分內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立在在是等式是等式件件分為零）的充分必要條分為零）的充分必要條內(nèi)任一閉曲面的曲面積內(nèi)任一閉曲面的曲面積的邊界曲線（或沿的邊界曲線（或沿?zé)o關(guān)而只取決于無關(guān)而只取決于取曲面取曲面內(nèi)與所內(nèi)與所在在則曲面積分則曲面積分，內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在、，是空間二維單連通區(qū)域是空間二維單連通區(qū)域設(shè)設(shè)定理定理GzRyQxPGGRdxdyQd

10、zdxPdydzGzyxRzyxQzyxPG0),(),(),(2 我們有以下結(jié)論：我們有以下結(jié)論：型曲面積分設(shè)有向量場設(shè)有向量場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 沿場中某一有向曲面的第二類曲面積分為沿場中某一有向曲面的第二類曲面積分為(1). (1). 通量的定義通量的定義: : RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0稱稱為為向向量量場場),(zyxA向向正正側(cè)側(cè)穿穿過過曲曲面面的的通通量量. .3. 3. 物理意義物理意義: :型曲面積分設(shè)設(shè)有有向向量量場場),(zyxA, ,在在場場內(nèi)內(nèi)作作包包圍圍點點M的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域

11、為為V, ,記記體體積積為為V. .若若當(dāng)當(dāng)V收收縮縮成成點點M時時, ,極極限限VSdAMV lim存存在在, ,則稱此極限值為則稱此極限值為A在點在點M處的處的散度散度, , 記為記為Adiv. .(2). (2). 散度的定義散度的定義: :型曲面積分散度在直角坐標(biāo)系下的形式散度在直角坐標(biāo)系下的形式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim積分中值定理積分中值定理,兩邊取極限兩邊取極限,zRyQxPAdiv 型曲面積分高斯公式可寫成高斯公式可寫成 dSAdvAdivn)coscoscos(0

12、RQPnAAn 的的邊邊界界曲曲面面，是是空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域其其中中 .的的外外側(cè)側(cè)法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量量 AAn型曲面積分二、斯托克斯二、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx - 斯托克斯公式斯托克斯公式1. 1. 定理定理22.422.4(2)型曲面積分證明思路證明思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz 便于記憶形式便于記憶形式 RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos 或或.cos,

13、cos,cos n其其中中型曲面積分Stokes 公式的公式的實質(zhì)實質(zhì): :表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系的曲線積分之間的關(guān)系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形.1 , 0 , 0cos,cos,cos n此此時時，型曲面積分證 先證 =（3） =型曲面積分=因為 =yzzPyP所以 xyDdxdyyxzyxPy,dxdyyzzPyPS=由于 coscosyz，從而 dxdyyzzPyPS=dxdyzPyPScoscos型曲面積分coscoscosdxdyzPyPS=dSzPyPScoscosdx

14、dyyPdzdxzPS=綜合上述結(jié)果，便得所要證明的（3）式dydzzQdxdyxQSLQdy（4） =dzdxxRdydzyRSLRdz=（5） 將（3），（4），（5）三式相加即得（2）式型曲面積分解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有zdxxdyydz dxdydzdxdydz弦弦都都為為正正，的的法法向向量量的的三三個個方方向向余余由由于于 oxyz n1111. 1. 簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用: :型曲面積分再由對稱性知：3xyDdxyo1xyD1zdxxdyydz dxdydzdxdydz.23 oxyz n111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有 dxdydzdxdydz

15、弦弦都都為為正正，的的法法向向量量的的三三個個方方向向余余由由于于 zdxxdyydz 型曲面積分解解則單位法向量則單位法向量.1 , 1 , 131 noxyz111型曲面積分解解則單位法向量則單位法向量.1 , 1 , 131 noxyz111即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131由由斯托克斯公式斯托克斯公式型曲面積分 dSzyx)(3443323xyDdxdy 9.2 即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131由由斯托克斯公式斯托克斯公式oxy212123 yx21 yx; 3 dxdydS ;, xyD得得

16、投影投影 三代：三代：二換：二換：一投：一投：.23 zyx8121 xyDS.43 型曲面積分空空間間曲曲線線積積分分與與路路線線的的無無關(guān)關(guān)性性型曲面積分例例3 驗證曲線積分 與路線無關(guān),并求被求表達(dá)式的原函數(shù) 解 由于 1PQQRRPyxzyxz所以曲線積分與路線無關(guān)現(xiàn)求 型曲面積分=+= 000000zzyxyyxzxxzy000000zyzxyxyzzxxy=型曲面積分三、小結(jié) dSAdvAdivn3、應(yīng)用的條件、應(yīng)用的條件4、物理意義、物理意義2、高斯公式的實質(zhì)、高斯公式的實質(zhì)1、高斯公式、高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(型曲面積分6, 斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式成立的條件5, 斯托克斯公式斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzdsRQPzyx coscoscos 型曲面積分思考題解答思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的曲面應(yīng)是分片光滑的閉閉曲面曲面.思考題思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？型曲面積分