2021高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓：69 離散型隨機變量及其分布列 Word版含解析

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1、 離散型隨機變量及其分布列 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0　　 B．　　 　 C．　　 D． C　[由已知得X的所有可能取值為0,1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)， 由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.] 2．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c的值為(　　) A.或 B． C. D．1 C　[根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知 解得c＝.] 3．若隨機變量X的分布列為

2、X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) C　[由隨機變量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，則當P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1,2]．] 4．袋中裝有10個紅球、5個黑球．每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數(shù)為ξ，則表示“放回5個紅球”事件的是

3、(　　) A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5 C　[ “放回5個紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.] 5．從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是(　　) A. B． C. D． C　[如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝＝.] 二、填空題 6．設隨機變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝________. 　[由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝

4、＋＝.] 7．(2019洛陽模擬)袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________. 　[P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝＋＝.] 8．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)．若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________． －1,0,1,2,3　[X＝－1，甲搶到一題但答錯了． X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題

5、，但答時一對一錯． X＝1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題， 且1錯2對． X＝2時，甲搶到2題均答對． X＝3時，甲搶到3題均答對．] 三、解答題 9．某射手射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： X 7 8 9 10 P 0.1 0.4 0.3 0.2 現(xiàn)該射手進行兩次射擊，以兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為ξ. (1)求ξ＞7的概率； (2)求ξ的分布列． [解]　(1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.10.1＝0.99. (2)ξ的可能取值為7,8,9,10. P(ξ＝7)＝0.12＝0.01， P(ξ＝8)＝20.10.4＋0.42＝

6、0.24， P(ξ＝9)＝20.10.3＋20.40.3＋0.32＝0.39， P(ξ＝10)＝20.10.2＋20.40.2＋20.30.2＋0.22＝0.36. ∴ξ的分布列為 X 7 8 9 10 P 0.01 0.24 0.39 0.36 10.PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標．從某自然保護區(qū)2019年全年每天的PM2.5監(jiān)測

7、數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示： PM2.5日均值 (微克/立方米) [25， 35) [35， 45) [45， 55) [55， 65) [65， 75) [75， 85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列． [解]　(1)記“從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A， 則P(A)＝

8、＝. (2)由條件知，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1．設隨機變量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)等于(　　) A. B． C. D． D　[由分布列的性質(zhì)， 得a＋＋＝1，所以a＝. 而x∈[1,2)

9、， 所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.] 2．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，下列概率等于的是(　　) A．P(X＝3) B．P(X≥2) C．P(X≤3) D．P(X＝2) D　[由超幾何分布知P(X＝2)＝.] 3．(2019山東濱州月考)如圖所示，A，B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)通過的最大信息總量為X，則P(X≥8)＝________. 　[法一：(直接法)由已知得，X的取值為7,8,9,10， ∵P(X＝7)＝＝，P(X＝

10、8)＝＝， P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝， ∴X的概率分布列為 X 7 8 9 10 P ∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10) ＝＋＋＝. 法二：(間接法)由已知得，X的取值為7,8,9,10， 故P(X≥8)與P(X＝7)是對立事件， 所以P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－＝.] 4．某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學校運動會，它們獲得冠軍的概率分別為，，. (1)求該高中獲得冠軍個數(shù)X的分布列； (2)若球隊獲得冠軍，則給其所在學校加5分，否則加2分，求該高中得分Y的分布列． [解]　(1)

11、由題意知X的可能取值為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＋＝， P(X＝2)＝＋＋＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)因為得分Y＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，而X的可能取值為0,1,2,3，所以Y的可能取值為6,9,12,15，則 P(Y＝6)＝P(X＝0)＝，P(Y＝9)＝P(X＝1)＝， P(Y＝12)＝P(X＝2)＝，P(Y＝15)＝P(X＝3)＝. 所以Y的分布列為 Y 6 9 12 15 P 1．有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入坐編

12、號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法． (1) n的值為________； (2) P(X＝3)＝________. (1)4　(2)　[(1)因為當X＝2時，有C種坐法， 所以C＝6，即＝6， n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4. (2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，則 P(X＝3)＝＝＝.] 2．設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為________． ξ 0 1 P 　[ξ的可能取值為0,1，. P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝)＝＝. P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝. 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 P ]