高考數(shù)學(xué)試題匯編：第3章 數(shù)列第4節(jié) 數(shù)列綜合應(yīng)用

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1、 第三章 數(shù)列 四 數(shù)列綜合應(yīng)用 【考點(diǎn)闡述】 數(shù)列綜合應(yīng)用 【考試要求】 （4）運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列及求和知識解決數(shù)列綜合問題。 【考題分類】 （一）選擇題（共2題） 1.（湖北卷文7）已知等比數(shù)列{}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則 A. B. C. D 【答案】C 2.（江西卷理5）等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，則（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和

2、方法。考慮到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。 （二）填空題（共1題） 1.（遼寧卷理16）已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. - 1 - / 19 （三）解答題（共14題） 1.（安徽卷文21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列. (Ⅰ)證明：為等比數(shù)列； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力. 【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得

3、，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后用錯位相減法求和. 【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)與之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時，通常是利用前n項(xiàng)和乘以公比，然后錯位相減解決. 2.（福建卷文17）數(shù)列{} 中＝，前n項(xiàng)和滿足-＝ （n）. ( I ) 求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；

4、 （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值。 3.（湖北卷文19）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除。當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房。 （Ⅰ）分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式： （Ⅱ）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計算時取1.15=1.6） 4.（湖南卷文20）給出下面的數(shù)表序列： 其中表n（n=1,2,3

5、 ）有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。 （I）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）； （II）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和： 5.（江蘇卷19）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）； （2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識，

6、考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 （1）由題意知：， ， 化簡，得： ， 當(dāng)時，，適合情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值為。 （方法二）由及，得，。 于是，對滿足題設(shè)的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。 于是，只要，即當(dāng)時，。 所以滿足條件的，從而。 因此的最大值為。 6.（江西卷理22）證明以下命題： 對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

7、學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。 證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。 結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮。 證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則， 分解得： 選取關(guān)于n的一個多項(xiàng)式，做兩種途徑的分解 對比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立， 考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。 下證互不相似。 任取正整數(shù)m，n，若△m，△相似：則三邊對應(yīng)成比例， 由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值

8、矛盾，故互不相似。 7.（江西卷文22）正實(shí)數(shù)數(shù)列中,,且成等差數(shù)列. (1) 證明數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)； (2)當(dāng)為何值時，為整數(shù)，并求出使的所有整數(shù)項(xiàng)的和. 證明：（1）由已知有：，從而， 方法一：取，則（） 用反證法證明這些都是無理數(shù). 假設(shè)為有理數(shù)，則必為正整數(shù)，且， 故.,與矛盾， 所以（）都是無理數(shù)，即數(shù)列中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù); 方法二：因?yàn)椋?dāng)?shù)哪┪粩?shù)字是時，的末位數(shù)字是 和，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時不是有理數(shù)，因這種有無窮多，故這種無理項(xiàng)也有無窮多． (2) 要使為整數(shù)，由可知： 同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以

9、有或 當(dāng)時，有（） 又必為偶數(shù)，所以（）滿足 即（）時，為整數(shù)； 同理有（） 也滿足，即（）時，為整數(shù)； 顯然和（）是數(shù)列中的不同項(xiàng)； 所以當(dāng)（）和（）時，為整數(shù)； 由（）有， 由（）有. 設(shè)中滿足的所有整數(shù)項(xiàng)的和為，則 8.（全國Ⅰ新卷理17）設(shè)數(shù)列滿足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 解： （Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時， 。 而 所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為。 （Ⅱ）由知 ① 從而 ② ①-②得 。 即 9. （上海卷理20）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， （1）證明

10、：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時，取得最小值，并說明理由。 解析：(1) 當(dāng)n=1時，a1=-14；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列； (2) 由(1)知：，得，從而(nN*)；解不等式Sn

11、 當(dāng)n=1時，a1=-14；當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以 ， 又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列； (2) 由(1)知：，得，從而(nN*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整數(shù)n=15． 11. （四川卷理21）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5； （Ⅱ）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和

12、Sn. 12. （天津卷理22）在數(shù)列中，，且對任意，成等差數(shù)列，其公差為。 (Ⅰ)若=2k，證明成等比數(shù)列（）； (Ⅱ)若對任意，成等比數(shù)列，其公比為. （i）設(shè)1.證明是等差數(shù)列； (ii)若，證明 【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。 【解析】（Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比數(shù)列。 （Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得

13、 當(dāng)≠1時，可知≠1，k 從而 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m() 若m=1,則. 若m≥2，則 + 所以 (2)當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1（） 所以從而 綜合（1）（2）可知，對任意,,有 證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得 所以 由可知?？傻茫? 所以是等差數(shù)列，公差為1。 （ii）證明：因?yàn)樗浴? 所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ，故。 從而。 所以

14、，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同證法一。 13. （天津卷文22）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k. （Ⅰ）證明成等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）記，證明. 【命題意圖】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。 【解析】（I）證明：由題設(shè)可知，，，，， 。 從而，所以，，成等比數(shù)列。 （II）解：由題設(shè)可得 所以 . 由，得 ，從而. 所以數(shù)列的

15、通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，? （III）證明：由（II）可知，， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m 若，則， 若，則 . 所以，從而 當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)。 所以，從而 綜合（1）和（2）可知，對任意有 14. （上海春卷23）已知首項(xiàng)為的數(shù)列滿足（為常數(shù)）。 （1）若對于任意的，有對于任意的都成立，求的值； （2）當(dāng)時，若，數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請說明理由； （3）當(dāng)確定后，數(shù)列由其首項(xiàng)確定，當(dāng)時，通過對數(shù)列的探究，寫出“是有窮數(shù)列”的一個真命題（不必證明）。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！