高中數學北師大版必修四教學案：第一章 167;9 三角函數的簡單應用 Word版含答案

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1、2019 年北師大版精品數學資料 講一講 1某海濱浴場的海浪高度y(單位：m)是時間t(0t24，單位：h)的函數，下表是測得的某日各時的浪高數據： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經長期觀測，函數yf(t)的圖像可以近似地看成函數yAcos(t)b(A0，0)的圖像 (1)根據上表數據，求yAcos(t)b的解析式； (2)依據規(guī)定，當海浪高度高于 1 m 時才對沖浪者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內從上午到晚上(8：0020：00)，開放沖浪場所的具體時間段，有多長時間可供沖浪者進行活動？

2、嘗試解答 (1)由表中的數據，知最小正周期T12 小時，2T6，0， 故函數解析式為yAcos 6tb.由t0 時，y1.5 得Ab1.5， 由t3 時，y1.0 得b1，A0.5， 故函數解析式為y0.5cos 6t1. (2)由題意可知，當y1 時才對沖浪者開放， 即 0.5cos 6t11，cos 6t0， 則 2k26t2k2，kZ Z， 即 12k3t12k3(kZ Z)， 又8t20，k1，9t0，0) (1)若從 10 月 10 日 0：00 開始計算時間，選用一個三角函數來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數關系； (2)10 月 10 日 17：00 該港口水

3、深約為多少？(保留一位小數) (3)10 月 10 日這一天該港口共有多少時間水深低于 10.3 m? 解：(1)依題意知T212， 故6，h8.416212.2， A1612.23.8， 所以d3.8sin(6t)12.2； 又因為t4 時，d16，所以 sin(46)1， 所以6，所以d3.8sin(6t6)12.2. (2)t17 時，d3.8sin(1766)12.2 3.8sin2312.215.5(m) (3)令 3.8sin(6t6)12.210.3， 有 sin(6t6)12， 因此 2k766t62k116(kZ Z)， 所以 2k436t2k2，kZ Z， 所以 12k8t

4、12k12. 令k0，得t(8，12)；令k1，得t(20，24) 故這一天共有 8 小時水深低于 10.3 m. 講一講 2如圖所示的為一個觀覽車示意圖，該觀覽車的半徑為 4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m，60 s 轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面的距離為h. (1)求h與之間的函數關系式； (2)設從OA開始轉動，經過t秒到達OB，求h與t之間的函數關系式； (3)求纜車首次到達最高點所用的時間 嘗試解答 (1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則以Ox為始邊，OB為終邊的角為2， 故點B的坐標為 (4.8cos(2)

5、，4.8sin(2)， h5.64.8sin(2)5.64.8cos (0) (2)點A在圓上轉動的角速度是30 rad/s， 故t秒轉過的弧度數為30t， h5.64.8cos t30，t0，) (3)到達最高點時，h10.4 m. 由 cos 30t1，得30t，t30. 纜車首次到達最高點所用的時間為 30 s. 解答三角函數應用題的一般步驟： 練一練 2如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓環(huán)逆時針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為23 m， 圓環(huán)的圓心距離地面的高度為 1 m，螞蟻每分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點P0處 (1)試確定在時刻t(單位：s)時螞蟻距離地面的高度h(單位：m)；

6、(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內，有多長時間螞蟻距離地面超過23 m? 解： (1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設t s 時螞蟻到達點P，則螞蟻轉過的角的弧度數為260t30t， 于是點P的縱坐標y23sin(30t2)23cos 30t. h1y123cos 30t(t0) (2)由 123cos 30t23得 cos 30t12， 又由 0t60，得 030t2， 330t53，解得 10t15.9，得 sin2365x32373012， 62365x32373056， 365123234x0)，則A4，T0.8，2T20.852，將(0，4)代入函數解析式中，有 sin

7、1，得到2，故函數解析式為y4sin52t24cos 52t. 答案：y4cos 52t 6. 如果某地夏天從814時用電量變化曲線近似滿足函數yAsin(x)b.如圖所示 (1)求這一天的最大用電量及最小用電量； (2)寫出這段曲線的函數解析式 解：(1)最大用電量為 50 萬度，最小用電量為 30 萬度 (2)觀察題圖可知，從 814 時的圖像是yAsin(x)b的半個周期的圖像， A12(5030)10，b12(5030)40. 122148，6. y10sin6x40. 將x8，y30 代入上式，解得6， 所求解析式為y10sin6x640，x8，14 一、選擇題 1為了使函數ysin

8、 x(0)在區(qū)間0，1上至少出現 50 次最大值，則的最小值是( ) A98 B.1972 C.1992 D100 解析：選 B 由 4914T1，得T4197，即24197，1972. 2. 如圖為一半徑為 3 m 的水輪，水輪圓心O距離水面 2 m，已知水輪每分鐘旋轉 4 圈，水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數關系yAsin(x)2，則有( ) A215，A3 B152，A3 C215，A5 D152，A5 解析：選 A 依題意A3，且水輪每 15 s 轉一圈，故周期T15，2T215. 3一簡諧運動的圖像如圖，則下列判斷正確的是( ) A該質點的振動周期為 0.7 s

9、 B該質點的振幅為 5 cm C該質點在 0.1 s 和 0.5 s 時速度最大 D該質點在 0.3 s 和 0.7 s 時加速度最大 解析：選 B 周期為 2(0.70.3)0.8 s，故 A 錯； 由題中圖像可知，振幅為 5 cm，故 B 正確； 在最高點時，速度為零，加速度最大，故 C，D 錯 4下表是某城市 2011 年月平均氣溫(單位：F). 月份 1 2 3 4 5 6 平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均氣溫 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 若用x表示月份，y表示平均氣溫，則下面

10、四個函數模型中最合適的是( ) Ay26cos 6x By26cos （x1）646 Cy26cos （x1）646 Dy26cos 6x46 解析：選 C 由數據得到，從 1 月到 7 月是上升的趨勢，只有 C 滿足要求 二、填空題 5 一根長l cm 的線， 一端固定， 另一端懸掛一個小球， 小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數關系式是s3cos(glt3)， 其中g是重力加速度， 當小球擺動的周期是 1 s 時，線長l等于_ 解析：因為周期T2gl，所以gl2T2， 則lg42. 答案：g42 6. 如圖是一彈簧振子做簡諧運動的圖像，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子

11、的位移，則這個振子的振動函數的一個解析式為_ 解析：設函數的解析式為yAsin(t)(t0) 由圖像知A2，T2(0.50.1)0.8(s)， 所以20.852，y2sin(52x) 又520.12，所以4. 所以函數解析式為y2sin(52t4)(t0) 答案：y2sin(52t4)(t0) 7 在兩個彈簧上各掛一個質量分別為M1和M2的小球， 做上下自由振動 已知它們在時間t(s)離開平衡位置的位移s1 cm 和s2 cm 分別由下列兩式確定：s15sin(2t6)；s210cos 2t.則在時間t23時，s1與s2的大小關系是_ 解析：當t23時，s15，s25， s1s2. 答案：s1

12、s2 8(江蘇高考)函數f(x)Asin(x)(A，為常數，A0，0)的部分圖像如圖所示，則f(0)的值是_ 解析：由圖可知：A 2，T471234，所以T，2T2，又函數圖像經過點(3，0)，所以 23，則3，故函數的解析式為(x) 2sin(2x3)，所以(0) 2sin362. 答案：62 三、解答題 9. 如圖，表示電流與時間t的關系式Asin(t)(A0，0)在一個周期內的圖像 (1)試根據圖像寫出 Asin(t)的解析式： (2)若函數Asin(t)在任意一段1100秒的時間內能同時取最大值A和最小值A， 那么正整數的最小值為多少？ 解：(1)由題圖可知A300，T160(1300

13、)150， 所以2T100.又因為(1150，0)在函數圖像上， 所以11501002k，kZ Z， 所以132k，kZ Z，所以300sin(100 x13)； (2)依題意有T1100，即21100.所以200， 又因為N N，所以的最小正整數為 629. 10海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋，下面是在某港口某季節(jié)每天的時間與水深關系表： 時刻 水深/米 時刻 水深/米 時刻 水深/米 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00

14、 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 (1)選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并求出函數的解析式； (2)一條貨船的吃水深(船底與水面的距離)為 5 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.25 米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時能進入港口？在港口能呆多久？ 解： (1)以時間為橫坐標， 水深為縱坐標， 通過畫草圖可知用函數yAsin(x)h(A0，0)來刻畫水深與時間之間的對應關系 由題意得Ah7.5，Ah2.5，T12， 解得A2.5，h5，6. 這個港口的水深與時間的關系可用 y52sin 6x5 近似描述 (2)貨船需要的安全水深為 51.256.25 米， 所以y6.25 時就可以進港，令 52sin 6x5254sin 6x12. 在區(qū)間0，12內，6x6或者6x6， 解得x1 或x5. 由周期性可得在12，24內x13 或x17， 貨船可以在 1 時進港，早晨 5 時出港；或在中午 13 時進港，下午 17 時出港，每次在港口停留 4 小時.