高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;9 三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 Word版含答案

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1、2019 年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 講一講 1某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(單位：m)是時(shí)間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，下表是測(cè)得的某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，函數(shù)yf(t)的圖像可以近似地看成函數(shù)yAcos(t)b(A0，0)的圖像 (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求yAcos(t)b的解析式； (2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于 1 m 時(shí)才對(duì)沖浪者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)從上午到晚上(8：0020：00)，開(kāi)放沖浪場(chǎng)所的具體時(shí)間段，有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？

2、嘗試解答 (1)由表中的數(shù)據(jù)，知最小正周期T12 小時(shí)，2T6，0， 故函數(shù)解析式為yAcos 6tb.由t0 時(shí)，y1.5 得Ab1.5， 由t3 時(shí)，y1.0 得b1，A0.5， 故函數(shù)解析式為y0.5cos 6t1. (2)由題意可知，當(dāng)y1 時(shí)才對(duì)沖浪者開(kāi)放， 即 0.5cos 6t11，cos 6t0， 則 2k26t2k2，kZ Z， 即 12k3t12k3(kZ Z)， 又8t20，k1，9t0，0) (1)若從 10 月 10 日 0：00 開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述該港口的水深d(m)和時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系； (2)10 月 10 日 17：00 該港口水

3、深約為多少？(保留一位小數(shù)) (3)10 月 10 日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于 10.3 m? 解：(1)依題意知T212， 故6，h8.416212.2， A1612.23.8， 所以d3.8sin(6t)12.2； 又因?yàn)閠4 時(shí)，d16，所以 sin(46)1， 所以6，所以d3.8sin(6t6)12.2. (2)t17 時(shí)，d3.8sin(1766)12.2 3.8sin2312.215.5(m) (3)令 3.8sin(6t6)12.210.3， 有 sin(6t6)12， 因此 2k766t62k116(kZ Z)， 所以 2k436t2k2，kZ Z， 所以 12k8t

4、12k12. 令k0，得t(8，12)；令k1，得t(20，24) 故這一天共有 8 小時(shí)水深低于 10.3 m. 講一講 2如圖所示的為一個(gè)觀覽車示意圖，該觀覽車的半徑為 4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8 m，60 s 轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面的距離為h. (1)求h與之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)求纜車首次到達(dá)最高點(diǎn)所用的時(shí)間 嘗試解答 (1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為2， 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (4.8cos(2)

5、，4.8sin(2)， h5.64.8sin(2)5.64.8cos (0) (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是30 rad/s， 故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為30t， h5.64.8cos t30，t0，) (3)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h10.4 m. 由 cos 30t1，得30t，t30. 纜車首次到達(dá)最高點(diǎn)所用的時(shí)間為 30 s. 解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟： 練一練 2如圖，一只螞蟻繞一個(gè)豎直放置的圓環(huán)逆時(shí)針勻速爬行，已知圓環(huán)的半徑為23 m， 圓環(huán)的圓心距離地面的高度為 1 m，螞蟻每分鐘爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點(diǎn)P0處 (1)試確定在時(shí)刻t(單位：s)時(shí)螞蟻距離地面的高度h(單位：m)；

6、(2)在螞蟻繞圓環(huán)爬行的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間螞蟻距離地面超過(guò)23 m? 解： (1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)t s 時(shí)螞蟻到達(dá)點(diǎn)P，則螞蟻轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為260t30t， 于是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y23sin(30t2)23cos 30t. h1y123cos 30t(t0) (2)由 123cos 30t23得 cos 30t12， 又由 0t60，得 030t2， 330t53，解得 10t15.9，得 sin2365x32373012， 62365x32373056， 365123234x0)，則A4，T0.8，2T20.852，將(0，4)代入函數(shù)解析式中，有 sin

7、1，得到2，故函數(shù)解析式為y4sin52t24cos 52t. 答案：y4cos 52t 6. 如果某地夏天從814時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.如圖所示 (1)求這一天的最大用電量及最小用電量； (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式 解：(1)最大用電量為 50 萬(wàn)度，最小用電量為 30 萬(wàn)度 (2)觀察題圖可知，從 814 時(shí)的圖像是yAsin(x)b的半個(gè)周期的圖像， A12(5030)10，b12(5030)40. 122148，6. y10sin6x40. 將x8，y30 代入上式，解得6， 所求解析式為y10sin6x640，x8，14 一、選擇題 1為了使函數(shù)ysin

8、 x(0)在區(qū)間0，1上至少出現(xiàn) 50 次最大值，則的最小值是( ) A98 B.1972 C.1992 D100 解析：選 B 由 4914T1，得T4197，即24197，1972. 2. 如圖為一半徑為 3 m 的水輪，水輪圓心O距離水面 2 m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn) 4 圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y(m)與時(shí)間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系yAsin(x)2，則有( ) A215，A3 B152，A3 C215，A5 D152，A5 解析：選 A 依題意A3，且水輪每 15 s 轉(zhuǎn)一圈，故周期T15，2T215. 3一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像如圖，則下列判斷正確的是( ) A該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為 0.7 s

9、 B該質(zhì)點(diǎn)的振幅為 5 cm C該質(zhì)點(diǎn)在 0.1 s 和 0.5 s 時(shí)速度最大 D該質(zhì)點(diǎn)在 0.3 s 和 0.7 s 時(shí)加速度最大 解析：選 B 周期為 2(0.70.3)0.8 s，故 A 錯(cuò)； 由題中圖像可知，振幅為 5 cm，故 B 正確； 在最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，加速度最大，故 C，D 錯(cuò) 4下表是某城市 2011 年月平均氣溫(單位：F). 月份 1 2 3 4 5 6 平均氣溫 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均氣溫 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 若用x表示月份，y表示平均氣溫，則下面

10、四個(gè)函數(shù)模型中最合適的是( ) Ay26cos 6x By26cos （x1）646 Cy26cos （x1）646 Dy26cos 6x46 解析：選 C 由數(shù)據(jù)得到，從 1 月到 7 月是上升的趨勢(shì)，只有 C 滿足要求 二、填空題 5 一根長(zhǎng)l cm 的線， 一端固定， 另一端懸掛一個(gè)小球， 小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式是s3cos(glt3)， 其中g(shù)是重力加速度， 當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是 1 s 時(shí)，線長(zhǎng)l等于_ 解析：因?yàn)橹芷赥2gl，所以gl2T2， 則lg42. 答案：g42 6. 如圖是一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振子

11、的位移，則這個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)的一個(gè)解析式為_(kāi) 解析：設(shè)函數(shù)的解析式為yAsin(t)(t0) 由圖像知A2，T2(0.50.1)0.8(s)， 所以20.852，y2sin(52x) 又520.12，所以4. 所以函數(shù)解析式為y2sin(52t4)(t0) 答案：y2sin(52t4)(t0) 7 在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別為M1和M2的小球， 做上下自由振動(dòng) 已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)離開(kāi)平衡位置的位移s1 cm 和s2 cm 分別由下列兩式確定：s15sin(2t6)；s210cos 2t.則在時(shí)間t23時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系是_ 解析：當(dāng)t23時(shí)，s15，s25， s1s2. 答案：s1

12、s2 8(江蘇高考)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的部分圖像如圖所示，則f(0)的值是_ 解析：由圖可知：A 2，T471234，所以T，2T2，又函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，0)，所以 23，則3，故函數(shù)的解析式為(x) 2sin(2x3)，所以(0) 2sin362. 答案：62 三、解答題 9. 如圖，表示電流與時(shí)間t的關(guān)系式Asin(t)(A0，0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像 (1)試根據(jù)圖像寫出 Asin(t)的解析式： (2)若函數(shù)Asin(t)在任意一段1100秒的時(shí)間內(nèi)能同時(shí)取最大值A(chǔ)和最小值A(chǔ)， 那么正整數(shù)的最小值為多少？ 解：(1)由題圖可知A300，T160(1300

13、)150， 所以2T100.又因?yàn)?1150，0)在函數(shù)圖像上， 所以11501002k，kZ Z， 所以132k，kZ Z，所以300sin(100 x13)； (2)依題意有T1100，即21100.所以200， 又因?yàn)镹 N，所以的最小正整數(shù)為 629. 10海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋，下面是在某港口某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表： 時(shí)刻 水深/米 時(shí)刻 水深/米 時(shí)刻 水深/米 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00

14、 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 (1)選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)的解析式； (2)一條貨船的吃水深(船底與水面的距離)為 5 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.25 米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ 解： (1)以時(shí)間為橫坐標(biāo)， 水深為縱坐標(biāo)， 通過(guò)畫草圖可知用函數(shù)yAsin(x)h(A0，0)來(lái)刻畫水深與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 由題意得Ah7.5，Ah2.5，T12， 解得A2.5，h5，6. 這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用 y52sin 6x5 近似描述 (2)貨船需要的安全水深為 51.256.25 米， 所以y6.25 時(shí)就可以進(jìn)港，令 52sin 6x5254sin 6x12. 在區(qū)間0，12內(nèi)，6x6或者6x6， 解得x1 或x5. 由周期性可得在12，24內(nèi)x13 或x17， 貨船可以在 1 時(shí)進(jìn)港，早晨 5 時(shí)出港；或在中午 13 時(shí)進(jìn)港，下午 17 時(shí)出港，每次在港口停留 4 小時(shí).