高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案35

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1、 精品資料學(xué)案35合情推理與演繹推理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異自主梳理自我檢測1(2010·山東改編)觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)_.2(2010·珠海質(zhì)檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：“若a，bR，則ab0

2、ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab”；“若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類比推出“若a，b，c，dQ，則abcdac，bd”；“若a，bR，則ab>0a>b”類比推出“若a，bC，則ab>0a>b”其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是_3(2009·江蘇)在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_4(2010·陜西)觀察下列等式：132332,13233362,13233343102，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為_5(2010·蘇州統(tǒng)一測試)一切

3、奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為_.探究點一歸納推理例1在數(shù)列an中，a11，an1，nN*，猜想這個數(shù)列的通項公式，這個猜想正確嗎？請說明理由變式遷移1觀察：sin210°cos240°sin 10°cos 40°；sin26°cos236°sin 6°cos 36°.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想探究點二類比推理例2在平面內(nèi)，可以用面積法證明下面的結(jié)論：從三角形內(nèi)部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相

4、應(yīng)各邊上的高分別為ha，hb，hc，則有1.請你運用類比的方法將此結(jié)論推廣到四面體中并證明你的結(jié)論變式遷移2在RtABC中，若C90°，ACb，BCa，則ABC的外接圓半徑r，將此結(jié)論類比到空間有_.探究點三演繹推理例3在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D、E是垂足求證：AB的中點M到D、E的距離相等變式遷移3指出對結(jié)論“已知和是無理數(shù)，證明是無理數(shù)”的下述證明是否為“三段論”，證明有錯誤嗎？證明：無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)，而與都是無理數(shù)，也是無理數(shù)1合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，

5、合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向合情推理的過程概括為：.一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明2歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理它是一種由部分到整體，由個別到一般的推理(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理3從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，把這種推理稱為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論

6、是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結(jié)論 (滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·福建廈門華僑中學(xué)模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(A)、(B)所對應(yīng)的運算結(jié)果分別為_2(2010·廈門模擬)設(shè)f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2 011(x)_.3由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：“mnnm”類比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb&#

7、183;c”；“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是_4(2011·南通月考)有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含有一個數(shù)1，第二組含有兩個數(shù)3,5；第三組含有三個數(shù)：7,9,11；第四組含有四個數(shù)：13,15,17,19；試觀察每組內(nèi)各數(shù)

8、之和與組的編號數(shù)n的關(guān)系為_5已知整數(shù)的數(shù)對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，則第60個數(shù)對是_6已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是_.7(2010·廣東深圳高級中學(xué)一模)定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：(1)1.8(2011·陜西，13)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個等式為_二、解答題(共42分)9(14分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1，且Sn20(n

9、2)計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式10(14分)已知函數(shù)f(x) (a>0且a1)，(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值11(14分)如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M1，M2與點N1，N2，則·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點P1，P2，點Q1，Q2和點R1，R2，則類似的結(jié)論是什么？這個結(jié)論正確嗎？說明理由學(xué)案35合情推理與演繹推理答案自主梳理歸納推理一般性部分個別類比推理一般性原理特殊對象特殊對象一般特殊自我檢測1g(x)解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)

10、函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)22解析正確，錯誤因為兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小318解析兩個正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為18.4132333435363212解析由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次多1，等號的右邊是一個正整數(shù)的平方，后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4，因此，第五個等式為132333435363212.5一切奇數(shù)都不能被2整除大前提21001是奇數(shù)小前提所以21001不能

11、被2整除結(jié)論課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的，觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學(xué)研究的最基本的方法之一解在an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項公式為an.這個猜想是正確的，證明如下：因為a11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)×n，所以通項公式an.變式遷移1解猜想sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下：左邊sin2cos(30°

12、)cos(30°)sin sin2sin2cos2sin2右邊例2解題導(dǎo)引類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理類比推理應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比、歸納、提出猜想解類比：從四面體內(nèi)部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應(yīng)各面上的高分別為ha，hb，hc，hd，則有1.證明如下：，同理有，VPBCDVPCDAVPBDAVPABCVABCD，1.變式遷移2在三棱錐ABCD中，若AB

13、、AC、AD兩兩互相垂直，且ABa，ACb，ADc，則此三棱錐的外接球半徑R例3解題導(dǎo)引在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結(jié)論才是正確的，否則所得的結(jié)論可能就是錯誤的推理時，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關(guān)系證明(1)因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD中，ADBC，即ADB90°，小前提所以ADB是直角三角形結(jié)論(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，大前提而M是RtADB斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線，小前提所以DMAB.結(jié)論同理EMAB，所以DMEM.變式遷移3解證明是“三段論”模式，證明有錯誤證明中大前提使用的

14、論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原理的真實性仍無法斷定課后練習(xí)區(qū)1B*D，A*C解析由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示，C表示，D表示，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.2.解析計算f2(x)f，f3(x)f，f4(x)x，f5(x)f1(x)，歸納得f4ki(x)fi(x)，kN*，i1,2,3,4.f2 011(x)f3(x).32解析只有、對，其余錯誤4每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3解析113,3523,791133.猜想每組內(nèi)各數(shù)之和等于n3.5(5,7)解析觀察可知橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對有1個，和為3的數(shù)對有2個

15、，和為4的數(shù)對有3個，和為5的數(shù)對有4個，依次類推和為n1的數(shù)對有n個，多個數(shù)對的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來排的，由60n(n1)120，nZ，n10時，55(個)數(shù)對，還差5個數(shù)對，且這5個數(shù)對的橫、縱坐標(biāo)之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60個數(shù)對是(5,7)6空間正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的解析利用體積分割可證明7n解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*1218n(n1)(3n2)(2n1)2解析112,234932,345672552，第n個等式為n(n1)(3n2)(2n1)2.9解當(dāng)n1時，S1a1.

16、(2分)當(dāng)n2時，2S1，S2.(5分)當(dāng)n3時，2S2，S3.(8分)當(dāng)n4時，2S3，S4.(11分)猜想：Sn (nN*)(14分)10(1)證明函數(shù)f(x)的定義域為R，任取一點(x，y)，它關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為(1x，1y)(2分)由已知得y，則1y1，(4分)f(1x)，1yf(1x)即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點對稱(7分)(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.(10分)f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.(14分)11解類似的結(jié)論為：··.(4分)這個結(jié)論是正確的，證明如下：如圖，過R2作R2M2平面P2OQ2于M2，連結(jié)OM2.過R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，則R1M1平面P2OQ2.由VOP1Q1R1SP1OQ1·R1M1·OP1·OQ1·sinP1OQ1·R1M1OP1·OQ1·R1M1·sinP1OQ1，(8分)同理，VOP2Q2R2OP2·OQ2·R2M2·sinP2OQ2.所以.(10分)由平面幾何知識可得.(12分)所以.所以結(jié)論正確(14分)