高考數(shù)學復習：第八章 ：第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關系 【考綱下載】[來源:] 1．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系． 2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題． 3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．[來源:] 1．直線與圓的位置關系 (1)三種位置關系：相交、相切、相離． (2)兩種研究方法： 2．圓與圓的位置關系 設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)， 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 　 　方法 　位置關系　　　 幾何法：圓心距

2、d與r1，r2的關系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2[來源:] 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 兩組不同的實數(shù)解 內切[來源:] d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內含 0≤d<|r1－r2| (r1≠r2) 無解 1．兩圓不同的位置關系與對應公切線的條數(shù)有何關系？ 提示：當兩圓外離時，有4條公切線； 當兩圓外切時，有3條公切線； 當兩圓相交時，有2條公切線； 當兩圓內切時，有1條公切線； 當兩圓內含時，沒有公切線． 2．若兩圓相

3、交時，公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系？ 提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程． 1．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關系是(　　)[來源:] A．相切 B．直線過圓心 C．直線不過圓心，但與圓相交 D．相離 解析：選B　依題意圓心(－1,0)，到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝0，所以直線過圓心． 2．(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為(　　) A．內切 B．相交 C．外切 D．相離 解析

4、：選B　兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，之和為5，而1<<5，所以兩圓相交． 3．(2012·重慶高考)設A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析：選D　因為直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，所以所得弦長|AB|＝2. 4．若圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是____________． 解析：依題意知>1，解得－<k<. 答案：(－，) 5．已知直線5x＋12y＋m＝0與圓x2－

5、2x＋y2＝0相切，則m＝________. 解析：由圓x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，則圓心為(1,0)，半徑為r＝1.由于直線和圓相切，則＝1，得m＝8或－18. 答案：8或－18 前沿熱點(十一) 直線與圓的綜合應用問題 1．直線與圓的綜合應用問題是高考中一類重要問題，常常以解答題的形式出現(xiàn)，并且常常是將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問題． 2．對于這類問題的求解，首先要注意理解直線和圓等基礎知識及它們之間的深入聯(lián)系；其次要對問題的條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關系及隱含

6、條件的挖掘，再次要掌握解決問題常用的思想方法，如數(shù)形結合、轉化與化歸、待定系數(shù)及分類討論等思想方法． [典例]　(2011·新課標全國卷)在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值． [解題指導]　(1)曲線與坐標共有三個交點，由這三點即可求出圓的方程；(2)設交點坐標A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及⊥即可求出a的值． [解]　(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2

7、，0)，(3－2，0)． 故可設圓C的圓心為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 則圓C的半徑為＝3. 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， 其坐標滿足方程組： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1

8、＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1. [名師點評]　解答本題的關鍵有以下幾點： (1)正確找到確定圓的三個條件． (2)注意到OA⊥OB?·＝0. (3)a的值必須滿足圓C與直線x－y＋a＝0相交． 1．已知直線ax＋by＝1(其中a，b是實數(shù))與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB是直角三角形，則點P(a，b)與點M(0,1)之間的距離的最大值為(　　) A.＋1 B．2 C. D.－1 解析：選A　直線ax＋by＝1(其中a，b是實數(shù))與圓x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則依題意可知，△AOB是等腰直角三角形，坐標原點O到直線ax＋by＝1的距離d＝＝，即2a2＋b2＝2， ∴a2＝(－≤b≤)， 則|PM|＝＝ ＝， ∴當b＝－時，|PM|max＝＝＋1. 2．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________． 解析：因為圓的半徑為2，且圓上有且僅有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，等價于圓心到直線的距離小于1，即<1，解得－13<c<13. 答案：(－13,13)