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1、 考點24 拋物線1.(20xx福建高考理科)以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為( )【命題立意】本題考查學生對拋物線焦點的識記以及圓方程的求解.【思路點撥】的焦點為,求解圓方程時,確定了圓心與半徑即可.【規(guī)范解答】選D.拋物線的焦點為,又圓過原點,所以r,圓的方程為.【一題多解】方法一:(設圓的標準方程)拋物線的焦點為,圓心為.設圓的方程為,又圓過原點,所求圓的方程為,即為.方法二:(設圓的一般方程)設圓的方程為,拋物線的焦點為,圓心為,又圓過原點,所求圓的方程為 .2.(2010陜西高考理科8)已知拋物線y2=2px(p0)的準線與圓x2+y26 x7=0相切,則p的值為( )
2、(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4【命題立意】本題考查拋物線、圓等的基本概念與性質,屬送分題.【思路點撥】y2=2px 準線 圓心到準線的距離等于半徑 求出p的值 【規(guī)范解答】選C.由y2=2px,得準線.圓x2+y26 x7=0可化為.由圓心到準線的距離等于半徑得:3.(20xx遼寧高考理科7)設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PAl,A為垂足如果直線AF的斜率為,那么|PF|=( ) (A) (B)8 (C) (D) 16【命題立意】本題考查拋物線的定義,考查拋物線的準線方程,考查兩點間的距離公式.【思路點撥】A點坐標P點坐標求|PA|PF|PA|【規(guī)范解答
3、】選B.由拋物線方程,可得準線l方程為:.設點A坐標為(-2,n),.P點縱坐標為4.由,P點坐標為(6,4),|PF|PA|6(2)|8,故選B.4.(20xx山東高考文科9)已知拋物線,過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于,兩點,若線段的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為() (A) (B) (C) (D)【命題立意】本題考查拋物線的性質及直線與拋物線的位置關系,考查了考生的分析問題、解決問題能力和運算求解能力.【思路點撥】利用點差法先求出的值,再求拋物線的準線方程.【規(guī)范解答】選B.設,則因為,兩點在拋物線上,得, , - 得 .又線段的中點的縱坐標為2,即,直線的斜率為1,故,因此
4、拋物線的準線方程為【方法技巧】弦中點問題1.對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解,在使用根與系數(shù)的關系時,要注意使用條件是2.在橢圓中,以為中點的弦所在直線的斜率.3.在雙曲線中,以為中點的弦所在直線的斜率.4.在拋物線中,以為中點的弦所在直線的斜率.5.(20xx湖南高考理科5) 設拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)12【命題立意】本題考查拋物線的定義.【規(guī)范解答】選B.點P到y(tǒng)軸的距離是4,延長使得和準線相交于點Q,則PQ等于點P到焦點的距離,從而PQ=6,故選B.6.(20xx安徽高考文科12)拋物線的焦
5、點坐標是 .【命題立意】本題主要考查拋物線方程及其焦點,考查考生對拋物線方程理解認知水平. 【思路點撥】方程為標準形式 確定焦距P 確定焦點坐標 .【規(guī)范解答】拋物線,焦點.【答案】7.(20xx浙江高考理科13)設拋物線的焦點為,點.若線段的中點在拋物線上,則到該拋物線準線的距離為_.【命題立意】本題考查拋物線的相關知識.【思路點撥】先求出拋物線的焦點F,計算出點B的坐標,代入到拋物線方程,解出,從而可求出拋物線的方程,點B的坐標及準線方程.【規(guī)范解答】拋物線的焦點坐標為F,F(xiàn)A中點在拋物線上,拋物線的準線方程為,點B到該拋物線準線的距離為.【答案】8(20xx湖南高考理科4)過拋物線的焦點
6、作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點,在軸上的正射影分別為若梯形的面積為,則 【命題立意】以拋物線為載體,考查直線和圓錐曲線的關系,本題還考查了學生的運算能力.【思路點撥】直線和圓錐曲線聯(lián)立得一元二次方程根與系數(shù)的關系【規(guī)范解答】設直線方程為y=x+,結合得到x2-2px-p2=0,而梯形的面積=,p=2.【答案】2【方法技巧】關于直線和圓錐曲線的問題,常有三條思路:一是利用定義;二是點差法;三是利用根與系數(shù)的關系.9.(20xx福建高考文科9)已知拋物線C:過點A (1 , -2).(1)求拋物線C 的方程,并求其準線方程.(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線L,使得直線L與拋物線C
7、有公共點,且直線OA與L的距離等于?若存在,求直線L的方程;若不存在,說明理由.【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結合思想、化歸轉化思想. 【思路點撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準線方程;第二步依題意假設直線l的方程為,聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用判別式限制參數(shù)t的范圍,再由直線OA與直線l的距離等于列出方程,求解出t的值,注意判別式對參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】(1)將代入,得,故所求的拋物線方程為,其準線方程為. (2)假設存在符合題意的直線,其方程為,由得.因為直線與拋物線C有公共點,所以22-41(-2t)=,解
8、得.另一方面,由直線OA與直線的距離等于可得.由于所以符合題意的直線存在,其方程為.【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關系中的相交弦問題時,我們一定要注意判別式的限制.因為拋物與直線有交點,注意應用0進行驗證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍.10.(20xx浙江高考文科22)已知m是非零實數(shù),拋物線(p0)的焦點F在直線上. (1)若m=2,求拋物線C的方程.(2)設直線與拋物線C交于A,B,A,的重心分別為G,H.求證:對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質,直線與拋物線、點與圓的位置關系等基礎知識,同時考查解析幾何
9、的基本思想方法和運算求解能力.【思路點撥】(1)寫出拋物線的焦點坐標代入到直線方程中可出求.(2)把點在圓外轉化為點到圓心的距離大于半徑.【規(guī)范解答】(1)因為焦點F(,0)在直線l上,得.又m=2,故.所以拋物線C的方程為.(2)設A(x1,y1) , B(x2,y2),由消去x,得y22m3ym40.由于m0,故(-2m3)2-41(-m4)4m64m40,且有y1y22m3,y1y2m4.設M1,M2分別為線段AA1,BB1的中點,由于可知G(),H(),所以所以GH的中點M為設R是以線段GH為直徑的圓的半徑,則4.設拋物線的準線與x軸交點N,則.故N在以線段GH為直徑的圓外.【方法技巧】(1)設而不求思想在解決圓錐曲線問題時較常用,一般設出后,通過聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關系,得到(或),再整體代入.(2)點與圓的位置關系問題,一是看點到圓心的距離;二是代入到圓的方程中驗證.