湖南大學《隨機過程》課程習題集

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1、湖南大學本科課程隨機過程習題集主講教師：何松華 教授第一章：概述及概率論復習1.1 設一批產品共50個，其中45個合格，5個為次品，從這一批產品中任意抽取3個，求其中有次品的概率。1.2 設一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中任取一個零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。1.3 設一袋中有N個球，其中有M個紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個球，求乙取得紅球的概率(甲取出的球不放回)。1.4 設一批產品有N個，其中有M個次品，每次從其中任取一個來檢查，取出后再放回，求連續(xù)n次取得合格品的概率。1.5設隨機變量X的概率分布函數為連續(xù)的，且其中l(wèi)³0為常數，求常

2、數A、B的值。1.6設隨機變量X的分布函數為(1) 求系數A、B；(2)求隨機變量落在(-1,1)內的概率；(3)求其概率密度函數。1.7已知二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度分布函數為(1)求條件概率密度函數、；(2)問X、Y是否相互獨立？1.8已知隨機變量X的概率密度分布函數為隨機變量Y與X的關系為 Y=cX+b，其中c，b為常數。求Y的概率密度分布函數。1.9設X、Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分布函數分別為請預覽后下載！，求隨機變量Z=X+Y的概率密度分布函數。1.10設隨機變量Y與X的關系為對數關系，Y=ln(X)，隨機變量Y服從均值為mY、標準差為sY的正態(tài)分布，求X的概

3、率密度分布。1.11隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求隨機變量(n為正整數)的數學期望及方差。1.12隨機變量X服從均值為mX、標準差為sX的正態(tài)分布，X通過雙向平方率檢波器，Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。1.13設二維隨機變量的聯合概率密度分布函數為(1) 求系數A，(2)求數學期望EX、EY，方差DX、DY；(3)求X、Y的相關函數及相關系數。1.14設X為拉譜拉斯隨機變量，；求：(1)X的特征函數，(2)利用特征函數求X的均值與方差，(3)討論特征函數實部與虛部的奇偶性。第二章：隨機過程的基本概念2.1某公共汽車站停放著兩輛公共汽車A、B，從t=1s開始，每隔1s有一名乘客

4、到達車站。如果每名乘客以概率1/2登上A車，以概率1/2登上B車，各乘客登上哪輛車是相互獨立的，用Xj表示第j秒到達的乘客的登車狀態(tài)，即登上A車則Xj=1，登上B車則Xj=0；設t=n時A車上的乘客數為Yn。(1)求離散時間隨機過程Yn的一維概率分布率；(2)當公共汽車A上的乘客達到10個時，A即開車，求A車出發(fā)時刻n的概率分布。2.2一個正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數變化的影響，其輸出的正弦波可以看作一個隨機過程，其中A、W、j為相互獨立的隨機變量，且請預覽后下載！，求隨機過程X(t)的一維概率密度分布函數。2.3用一枚硬幣擲1次的試驗定義一個隨機過程設“出現正面”和“出現反面

5、”的概率各為1/2。(1) 確定X(t)的一維分布函數FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 確定X(t)的二維分布函數FX(x1, x2;1/2,1)；(3)畫出上述分布函數的圖形。2.4設隨機過程，其中w>0為常數，X、Y為相互獨立的隨機變量，概率密度分布函數分別為標準正態(tài)分布(即均值為0，標準差為1)。若將Z(t)寫成，(1)求隨機變量V、F的概率密度分布函數及聯合概率密度分布函數，問二者是否統(tǒng)計獨立？(2)求隨機過程的一維概率密度分布函數。2.5求4題所給出的隨機過程的均值及相關函數，并判斷該隨機過程是否為廣義平穩(wěn)隨機過程。2.6設某信號源每T(s)產生一個幅度為A的方波脈沖

6、，脈沖寬度X為均勻分布于0,T的隨機變量。這樣構成一個隨機過程Y(t)(0£t<¥)。設不同的脈沖是統(tǒng)計獨立的，求隨機過程Y(t)的一維概率密度分布函數。2.7設隨機過程X(t)=Ycos(t) (-¥<t<¥)，其中Y為均勻分布于0,1區(qū)間的隨機變量，求隨機過程X(t)的自相關函數及自協方差函數。2.8隨機過程，其中Ak服從分布N(0,sk2)，且相互獨立；qk為常數，j為虛數單位，求復隨機過程Z(t)的均值函數與方差函數。2.9隨機過程X(t)=X+Yt，；隨機矢量的協方差矩陣為，求隨機過程X(t)的協方差函數。2.10給定隨機變量

7、X(ti)，xi為任一實數。定義另外一個隨機過程請預覽后下載！ 試證明Y(t)的均值和自相關函數分別為X(t)的一維和二維分布函數。2.11有一脈沖串，其中每個脈沖的寬度為1，脈沖可為正脈沖也可為負脈沖，即脈沖的幅度隨機地取1或-1(概率相等)，各脈沖的幅度取值相互獨立；脈沖串的起始時間均勻分布于單位時間內，脈沖間隔為0；求此脈沖隨機過程的相關函數。2.12設隨機過程X(t)=b+Nt，b為常量，N為正態(tài)隨機變量，均值為m，標準差為s，求隨機過程X(t)的一維概率密度及均值、方差。2.13質點在直線上作隨機游動，即質點在n=1,2,3,時刻可以在x軸上往右或往左作一個單位距離的隨機游動。往右、

8、左移動的概率分別為p、q(p+q=1)，PXn=1=p，PXn=-1=q，各次游動是相互獨立的，經過n次游動后，質點所在的相對位置為求：(1)離散時間隨機過程Y(n)的均值函數；(2) Y(n)的相關函數及自協方差函數。2.14設隨機過程X(t)=a+bt，a和b為相互獨立的隨機變量，其概率密度分布分別為、，求隨機過程X(t)的概率密度。2.15設隨機過程，其中A(t)³0，在同一時刻隨機過程A(t)和j(t)是相互獨立的，且j(t)在任意時刻的概率密度分布為-p,p上的均勻分布，包絡A(t)在任意時刻的概率密度分布為，求隨機過程X(t)的一維概率密度。2.16隨機初始相位正弦波隨機

9、過程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數，相位j為均勻分布于-p,p的隨機變量，求X(t)的一維概率密度分布函數。2.17設某通信系統(tǒng)的信號為脈沖信號，脈寬為T，脈沖信號的周期也為T，脈沖幅度是隨機的且服從高斯分布N(0,s2)，不同周期內的幅度xi是相互獨立的；第1個脈沖的起始時間與t=0時刻的時間差u是均勻分布于(0,T)的隨機變量，u與各xi相互獨立，求該隨機信號在任意兩個不同時刻的二維聯合概率密度分布函數。2.18設隨機過程X(t)的均值為mX(t)，協方差函數為KX(t1,t2)，j(t)為普通函數，試求隨機過程Y(t)=X(t)+ j(t)的均值和協方差函數。

10、2.19廣義平穩(wěn)隨機過程X(t)在四個不同時刻的四維隨機變量X=X(t1), X(t2), X(t3), 請預覽后下載！X(t4)T的自相關矩陣為求矩陣中未知元素的值。2.20設隨機過程，其中w為常數，A、B為相互獨立的隨機變量，概率密度分布函數為正態(tài)分布N(0,s2)。求X(t)的均值和自相關函數。2.21某平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數滿足RX(T)= RX(0) (T¹0)，證明RX(t)必為以T為周期的周期函數。2.22給定隨機過程X(t)和常數a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。試以X(t)的自相關函數來表示隨機過程Y(t)的自相關函數。若X(t)平穩(wěn)，均值為mX，求Y

11、(t)的均值；問Y(t)是否平穩(wěn)？是否與X(t)聯合平穩(wěn)？2.23(缺)2.24 X(t)=At，A為隨機變量，概率密度分布為N(0,1)，求X(t)的均值及自相關函數。2.25 X(t)=cos(Wt)，其中W為均勻分布于(w1,w2)的隨機變量，求X(t)的均值及自相關函數。2.26隨機初始相位正弦波隨機過程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數，相位j為均勻分布于-p,p的隨機變量，求該隨機過程的均值及相關函數，并判斷其平穩(wěn)性。2.27隨機過程X(t)僅由3個樣本函數組成查看教材中的原圖，而且每個樣本函數等概率發(fā)生。計算EX(2)、EX(6)、RX(2,6)、FX(x

12、,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分別畫出它們的圖形。2.28設從t=0開始，作每秒1次的擲硬幣試驗，如正面朝上，則X(t)在該秒內的取值為1，如反面朝上，則X(t)在該秒內的取值為0；求：(1)X(t)的均值函數，(2)計算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。2.29隨機初始相位正弦波隨機過程X(t)=Acos(wt+j)，其中振幅A、角頻率w取常數，相位j為均勻分布于0,2p的隨機變量，求其時間相關函數及集合自相關函數，二者是否相等？請預覽后下載！2.30根據擲色子實驗定義隨機過程，求X(1),X(2)的概率密度，問X(t)是否為平穩(wěn)隨機過程。2.31某隨

13、機過程由3個不同的樣本函數組成，各樣本函數等概率出現。(1)求該隨機過程的均值與自相關函數，(2)該過程是否平穩(wěn)？2.32隨機過程X(t)=Acos(wt+q)，其中角頻率w取常數，相位q為均勻分布于0,2p的隨機變量，振幅A為瑞利分布隨機變量，與q相互獨立，問該過程是否平穩(wěn)？2.33兩個隨機過程X(t),Y(t)均不是平穩(wěn)隨機過程，且，式中A(t)、B(t)是相互獨立的零均值平穩(wěn)隨機過程，并有相同的相關函數，證明：Z(t)=X(t)+Y(t)是廣義平穩(wěn)的。2.34已知兩個平穩(wěn)隨機過程的相關函數為，試分別求其相關時間。2.35設隨機過程，其中w為常數，X(t)、Y(t)為平穩(wěn)隨機過程、且聯合平

14、穩(wěn)，求：(1)Z(t)的自相關函數；(2)如，求Z(t)的自相關函數。2.36兩個統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)，均值都是0，自相關函數分別為、；試求：(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關函數，(2)W(t)=X(t)-Y(t)的自相關函數，(3)互相關函數RZW(t)。2.37設X(t)是雷達發(fā)射信號，遇到目標后返回接收機的微弱信號為，其中，是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴隨有噪聲N(t)，于是接收到的信號為：；(1)若X(t)與Y(t)是聯合平穩(wěn)隨機過程，求二者的互相關函數；(2) 在(1)的條件下，假設N(t)為零均值，且與X(t)統(tǒng)計獨立，求X(t)和Y(t)的互

15、相關函數。請預覽后下載！2.38已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度函數為求X(t)的均方值。2.39平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數為求其功率譜密度函數。2.40如圖所示系統(tǒng)，若X(t)為平穩(wěn)隨機過程，證明Y(t)的功率譜密度函數為2.41已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度函數為求X(t)的自相關函數。2.42設X(t)和Y(t)為兩個統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，均值分別為mX、mY，且X(t)的功率譜密度函數為GX(w)，定義Z(t)=X(t)+Y(t)，試計算GXY(w)、GXZ(w)。2.43設隨機過程Y(t)=X(t)cos(w0t+q)，其中w0為常量，X(t)為與q無關的隨機過程，

16、q為均勻分布于(0,2p)的隨機變量，求Y(t)的自相關函數及功率譜密度。2.44設隨機過程X(t)=acos(Wt+q)，其中a為常量，W為與q無關的隨機變量，q為均勻分布于(0,2p)的隨機變量，W的一維概率密度分布函數為偶函數，求證X(t)的功率譜密度為。2.45設廣義平穩(wěn)隨機過程X(t)的相關函數如下圖所示，求其功率譜密度函數。請預覽后下載！1RX(t)tT/2-T/22.46設隨機過程X(t)=cos(wt+q)，其中w為常量， q為隨機變量，其特征函數為Fq(u)=Eejuq，證明：當且僅當Fq(1)= Fq(2)=0時，隨機過程X(t)廣義平穩(wěn)。2.47下列函數是否可能為平穩(wěn)隨機

17、過程的相關函數？第三章：隨機過程的線性變換3.1設有隨機變量序列X(n)|n=1,2,3,以及隨機變量X，且有，求證：3.2設隨機過程X(t)是平穩(wěn)且可微的，導數過程為。證明：對于任一給定的時刻t，隨機變量X(t)和是正交的和互不相關的。3.3設隨機過程X(t)及隨機變量Y和Z，并且有，證明Y=Z(相當于：若極限存在，則唯一)。3.4設隨機過程X(t)是平穩(wěn)且可微的，導數過程為；設X(t)的物理功率譜密度為FX(w) (w³0)，試求X(t)與的互功率譜密度以及的功率譜密度。3.5設有復隨機變量序列X(n)|n=1,2,3,以及復隨機變量Y，且有，求證：X(n)依均方收斂于隨機變量Y

18、的充要條件是請預覽后下載！3.6設有隨機變量序列X(n)|n=1,2,3,，X(n)的相關函數為若有普通序列an|n=1,2,3,并定義,求Y(n)均方收斂的充要條件。3.7設有隨機過程，已知X(t)為零均值平穩(wěn)隨機過程，功率譜密度為GX(w)，(1)證明Y(t)為平穩(wěn)隨機過程，(2)求Y(t)的功率譜密度(不考慮w=0處)。3.8 (非平穩(wěn)隨機過程的連續(xù)性) 證明：若X(t)的自相關函數在處二元連續(xù)，則X(t)在處連續(xù)。3.9對于平穩(wěn)隨機過程X(t)，均方連續(xù)的充要條件是其自相關函數RX(t)在t=0處連續(xù)。3.10設X(t)是平穩(wěn)隨機過程，EX(t)=1，求隨機變量的均值及方差。3.11設

19、X(t)的自相關函數為，系統(tǒng)的沖激響應為，A、B、a均為正的常數，設X(t)的均值非負，試求輸出Y(t)的均值。3.12在圖示積分電路的輸入端加入一平穩(wěn)隨機過程X(t)，EX(t)=0，電路的初始條件為Y(0-)=0，試分析輸出過程Y(t)的統(tǒng)計特性(瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài))。3.13 (1) 12題中若X(t)的相關函數為，求輸出過程的自相關函數；(2)若輸入從t=-¥已經開始(不限制t=0-處的初始條件)，求輸出過程的自相關函數。3.14如圖所示的RL電路，輸入為零均值平穩(wěn)隨機過程，相關函數為，求輸出過程的自相關函數RY (t)。請預覽后下載！3.15設線性因果時不變系統(tǒng)的沖激響應為，輸入平

20、穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數為，求輸入輸出之間的互相關函數。3.16設系統(tǒng)的輸出為輸入的延遲，延遲時間為a，試用輸入隨機過程的相關函數RX(t)來表示輸出隨機過程的相關函數以及輸入與輸出之間的互相關函數。3.17設線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數為，輸入平穩(wěn)隨機過程的X(t)的自相關函數為，試求輸入輸出隨機過程之間的互相關函數。3.18設輸入隨機過程的自相關函數為，理想窄帶放大器的頻率特性為()，求該放大器輸出信號的總平均功率。3.19如圖所示的RL電路，輸入X(t)是物理功率譜密度為N0的隨機過程，試用頻域法求Y(t)的自相關函數RY(t)。請預覽后下載！3.20如圖所示系統(tǒng)，輸入隨機過程的功率譜

21、密度函數為常數，試用頻譜法求輸出隨機過程Z(t)的均方值。3.21零均值平穩(wěn)隨機過程X(t)加到一個線性濾波器，濾波器的沖激響應是指數函數的一段，即試用GX(w)來表示輸出隨機過程Y(t)的功率譜密度。3.22設積分電路輸入輸出之間滿足如下關系，其中T為常數，且X(t)、Y(t)均為平穩(wěn)隨機過程，求二者功率譜密度之間的關系。3.23線性時不變系統(tǒng)的輸入X(t)、輸出Y(t)為平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)傳遞函數為H(jw)，求證：、3.24對于圖示單輸入、多輸出線性時不變系統(tǒng)，求證：輸出Y1(t)、Y2(t)的互功率譜密度為。X(t)H1(jw)H2(jw)Y1(t)Y2(t)3.25設具有功率譜密度函

22、數的某平穩(wěn)隨機過程通過某線性系統(tǒng)后，輸出隨機過程的功率譜密度函數為，求該系統(tǒng)的傳遞函數。3.26已知平穩(wěn)隨機過程的相關函數為：(1) ；請預覽后下載！(2) ；。分別求其等效通能帶。(注：此題應放在第4章)3.27給定實數x，定義理想門限系統(tǒng)的輸入輸出關系為，證明：(1) ;(2) 。 第四章：白色噪聲與正態(tài)隨機過程4.1 X1、X2、X3、X4是四元聯合高斯分布隨機變量，且，求證：。4.2 X、Y是零均值高斯隨機變量，方差分別為、，若X、Y服從聯合高斯分布，且相關系數為r，求Z=X/Y的概率密度分布函數。4.3 (接上題)證明以下關系成立：4.4設線性系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，輸入為平穩(wěn)高斯

23、過程X(t)，系統(tǒng)的輸出過程為Y(t)，證明X(t)與Y(t)為聯合正態(tài)分布隨機過程。4.5設n維高斯分布隨機矢量的各個分量的均值為零，協方差矩陣為(其他未注明的元素根據對稱性確定)求X的一維與二維概率密度分布函數。請預覽后下載！4.6功率譜密度函數為N0/2的高斯白色噪聲通過一個濾波器，其傳輸函數為求輸出隨機過程Y(t)在任意時刻的概率密度分布函數。4.7白噪聲的均值為0，功率譜密度為非零的常數N0，求其相關函數。4.8理想白噪聲通過截止頻率為fc的理想低通濾波器(幅頻特性為常數1)，求輸出過程的自相關函數。4.9設X、Y是相互統(tǒng)計獨立的高斯隨機變量，且它們具有相同的該密度N(m,s2)；求

24、隨機變量U=aX+bY和V=aX-bY的互相關系數以及U、V的二維聯合概率密度。4.10并聯諧振電路如圖所示，iN代表噪聲電流，它是白噪聲，其功率譜密度為N0，且為零均值，若t=0時電路開始工作，初始條件為iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t時刻電流iL和iR的統(tǒng)計特性。4.11設X、Y為聯合高斯分布的隨機變量，均值分別為mX、mY，根方差分別為sX、sY，互相關系數為r，已現知X=x，求Y的合理估計值。4.12一個高斯隨機過程的均值函數為、協方差函數為，寫出t1=0,t2=1/2時刻的二維概率密度。4.13一個平穩(wěn)高斯隨機過程的均值函數為、自相關函數為，寫出t1=0,t2=1/2、t3=

25、1時刻的三維概率密度。4.14設隨機過程，其中A、w0為常量，n(t)為零均值平穩(wěn)高斯過程，相關函數為RN(t)，寫出Z(t)的一維、二維概率密度分布函數。4.15考慮兩個隨機變量的去相關處理。設Y1、Y2為相關的零均值隨機變量，方差分別為，互相關系數為，考察下列變換求使得變換后的變量不相關的條件。4.16圖示RC低通濾波器的輸入為白色噪聲，物理功率譜密度為FX(w)=N0(0£w<¥)，求輸出隨機過程的物理功率譜密度及相關函數，并證明對于任意的t3>t2>t1，有請預覽后下載！4.17 (與第3章第26題重復)。4.18設有二維隨機矢量X1,X2，其概率

26、密度為在橢圓上概率密度為常數，稱該橢圓為等概率橢圓，求隨機矢量落在等概率橢圓內的概率。4.19設n維隨機矢量X=X1,X2,Xn服從聯合高斯分布，各個分量相互獨立，且均值為0，隨機矢量的協方差矩陣為求其N維特征函數4.20 (接上題)若各個分量的之間的協方差為設另一隨機變量Y為，求Y的特征函數4.21設3維高斯隨機矢量X=X1,X2,X3各個分量的均值為0，其協方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=s2；求(1) ，(2) ，(3) 4.22設3維高斯隨機矢量X=X1,X2,X3的概率密度為請預覽后下載！(1) 證明經過線性變換得到的隨機矢量Y=Y1,Y2,

27、Y3，則Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計獨立的隨機變量；(2)求C的值。4.23設X1、X2是相互獨立的零均值、單位方差高斯隨機變量，定義二維隨機矢量Y證明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是聯合高斯分布的。4.24設某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應為 (a>0)輸入N(t)為零均值白色噪聲，功率譜密度為N0/2，輸出為X(t)；，假設輸入從-¥開始，求Y(t)的一維概率密度函數。4.25設隨機變量X、Y是聯合高斯隨機變量，且具有邊緣概率密度、，；證明：4.26設零均值高斯隨機過程X(t)的相關函數為，對其進行量化處理，得到時間連續(xù)但取值離散的隨機過程Y(t)，即(1)求Y(t)

28、的均值函數；(2)求Y(t)的一維概率密度函數。4.27設線性系統(tǒng)的輸入過程X(t)為零均值高斯隨機過程，相關函數為(a>0)，系統(tǒng)的沖激響應為 (b>0,b¹a)請預覽后下載！X(t)是在t=-¥接入系統(tǒng)的，(1)求在t=0時輸出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T時，X(-T)=0，求條件概率(T>0)；(3) 如果在t=T時，觀察到X(T)=0，求條件概率(T>0)。4.28 設有平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)，其均值為0，功率譜密度函數為求：(1)該過程在單位時間內取得極大值的平均次數；(2)極大值的概率密度分布；(3)該過程在單位時間內正穿

29、越X=a(從水平線X=a的下方向上穿過)的次數。4.29設有平穩(wěn)實高斯過程X(t)，均值為0，相關函數為RX(t)，該過程依均方意義可導，其導數過程為，求在t1,t2兩個時刻,的四維概率密度。4.30設X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證：，4.31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。4.32設離散系統(tǒng)的單位脈沖響應為，輸入為自相關函數為的白噪聲，求系統(tǒng)

30、輸出Y(n)的自相關函數和功率譜密度。4.33序列X(n)和Y(n)滿足差分方程其中a為整常數，試用X(n)的相關函數表示Y(n)的相關函數。4.34實值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程其中a1為常數，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開始，。(1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當n足夠大時，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關函數的平穩(wěn)解。請預覽后下載！4.35考察如下的二階自回歸過程X(n)(1)若已知隨機過程的相關函數值、，試寫出用于計算系數a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yu

31、le-Walker方程；(2)反過來，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、的值；(3)求相關函數的通解。4.36察如下的二階自回歸過程X(n)零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據Wold分解求X(n)的自相關函數；(3)求Yule-Walker方程4.37考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關函數和功率譜密度。4.38考察如下的ARMA模型其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關函數。第五章：窄帶隨機過程5.1證明：偶函數的希爾伯特變換為奇函數，奇函數的希爾伯特變換為偶函數。5.2設一個線性系統(tǒng)的輸入為

32、時，相應的輸出為，證明：若該系統(tǒng)的輸入為的希爾伯特，則其輸出為的希爾伯特。5.3設功率譜密度為的零均值高斯白噪聲通過一個理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為，帶寬為（），濾波器輸出為，求的自相關函數以及其同相分量與正交分量的自相關函數。5.4設與為低頻信號，即當時，其頻譜值為0，請預覽后下載！，證明5.5證明廣義平穩(wěn)隨機過程與其希爾伯特的相關函數存在如下關系，為奇函數5.6設的解釋信號(復信號表示)為，證明：并用的功率譜密度函數來表示的功率譜密度函數。5.7在復隨機過程中，如果其均值為復常數，且其自相關函數為僅與有關的復函數，則稱為復平穩(wěn)隨機過程，設是個實隨機變量，是個實數。試問：以

33、及之間應滿足什么條件，才能使是一個復平穩(wěn)隨機過程。5.8考慮窄帶高斯過程，假定其物理功率譜密度對稱于載頻，求概率密度。5.9設復隨機過程為，其中、為相互獨立的零均值實隨機變量，對于任意的，、以及、相互正交，求該復隨機過程的自相關函數。5.10設窄帶信號的物理帶寬為()，證明其復包絡模平方的物理帶寬為()。5.11設窄帶平穩(wěn)隨機過程，證明：請預覽后下載！5.12對于調頻信號，設，即為窄帶信號，求該信號的復包絡與包絡的表示式。5.13設窄帶平穩(wěn)隨機過程，證明其自相關函數為5.14設窄帶平穩(wěn)隨機過程，若滿足：證明的功率譜密度為5.15將相關函數為的窄帶平穩(wěn)隨機過程表示為試在(1) ，(2) 的條件下

34、，分別求出相關函數、以及。5.16考慮隨機相位正弦波與窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程之和其中、為常數，為窄帶實平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的中心頻率，為上均勻分布的隨機變量，、，并假設、相互獨立；(1)對每一個固定的值，求的均值和相關函數，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程；(2)當為上均勻分布的隨機變量時，求的均值和相關函數，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程。5.17考慮圖示RLC帶通濾波器，設其品質因素，輸入是功率譜密度為的零均值高斯白噪聲，求濾波器輸出端的窄帶過程及其同相分量、正交分量的功率譜密度、，并以圖示之。請預覽后下載！5.18設為窄帶平穩(wěn)高斯平穩(wěn)隨機過程的包絡，試證：、其中為該窄帶隨機過程的方差。

35、5.19設窄帶信號，其中為高斯過程，為上均勻分布隨機變量，且證明的包絡平方的相關函數為5.20變量為卡方分布變量的的平方根，證明n個自由度的變量的概率密度為5.21證明n個自由度的卡方分布變量的m階原點矩為第六章：隨機過程的非線性變換6.1給定實數和一個平穩(wěn)隨機過程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為試證：(1) ；(2) 請預覽后下載！6.2設平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機過程，其概率密度函數為在檢波器后聯接一個理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當時結果有何變化。6.3設對稱限幅器的特性為(1)已知輸入隨機過程的一維概率密度，求輸出隨機過程的一維概率

36、密度。(2)當輸入隨機過程為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關函數為時，求輸出過程的相關函數。6.4設有理想限幅器假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。6.5設有零均值高斯平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數為，它的一維概率分布函數為，定義一個無記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關函數為6.6平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數為，求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值及相關函數。請預覽后下載！6.7全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數為，(1)

37、求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關函數及方差。6.8半波線性檢波器的傳輸特性為在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關函數及方差。6.9圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機過程的自相關函數和功率譜密度。6.10設隨機變量和是零均值、方差為的聯合高斯隨機變量，其概率密度分布函數分別為和，且，證明：6.11設功率譜密度為的白噪聲通過一個物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出

38、隨機信號的自相關函數和功率譜密度，并將功率譜密度函數用圖表示。6.12設為均值為、相關函數為的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為請預覽后下載！的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關函數。6.13平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機信號，其中包絡服從瑞利分布求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。6.14同步檢波器如下圖所示，設為窄帶平穩(wěn)隨機信號，其相關函數為求檢波器輸出端的相關函數及平均功率。6.15設全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號，為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。第七章：馬爾可夫過程

39、7.1設由獨立隨機序列構成一個新的序列，且定義為試證明隨機序列為馬爾可夫序列。7.2設為馬爾可夫過程，又設，試證明即一個馬爾可夫過程的反向也具有馬爾可夫性。7.3試證明對于任何一個馬爾可夫過程，如果“現在”的值為已知，則該過程的請預覽后下載！“過去”和“將來”是統(tǒng)計獨立的，即如果，其中代表“現在”，、代表“過去”和“將來”，若為已知，試證明7.4設齊次馬爾可夫鏈有四個狀態(tài)、，其轉移概率矩陣為(1)如果該鏈在第n時刻處于狀態(tài)，求在n+2時刻處于狀態(tài)的概率；(2) 如果該鏈在第n時刻處于狀態(tài)，求在n+3時刻處于狀態(tài)的概率。7.5為馬爾可夫過程，又設，試證明7.6一個質點沿標有整數的直線移動，經過一

40、步從點移動到的概率為，停止在點的概率為，移動到的概率為，且。(1)求該馬爾可夫過程的一步轉移概率矩陣以及二步轉移概率矩陣；(2)若該質點在n時刻位于點，求該質點在n+2時刻位于各點的概率。 7.7若質點M在(0,1,2)三個位置隨機徘徊，每經一單位時間按下列概率規(guī)則改變一次位置：自0出發(fā)，下一步停留在0的概率為q，來到1的概率為p；自1出發(fā)到達0,2的概率分別為p和q；自2出發(fā)停留在2及到達1的概率分別為p和q。該馬爾可夫過程的一步轉移概率矩陣以及二步轉移概率矩陣。7.8若質點M在圖示的反射壁間四個位置上隨機游動，在處向右移動一步的概率為1；在處向左移動一步的概率為1；在、處向左或向右移動一步

41、的概率為1/4、停留的概率為1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質點處于各狀態(tài)的概率。請預覽后下載！7.9設為相互統(tǒng)計獨立的零均值隨機變量構成的序列，各自的概率密度分布函數分別為，定義另外一個隨機變量序列如下試證明：(1) 序列具有馬爾可夫性(2) 7.10設齊次馬爾可夫鏈的一步轉移矩陣為，請應用該過程的遍歷性證明：7.11從1，2，3，4，5，6六個數中等可能地取一個數，然后還原，不斷獨立地連續(xù)下去，如果在前n次中所取的最大數為，就說質點在第n步時的位置處于狀態(tài)。質點的運動構成馬爾可夫鏈，試寫出其轉移概率矩陣。7.12設有隨機過程X(n)，n=1,2,3,；它的狀態(tài)空間I：x,0<x<1是

42、連續(xù)的，時間參數是離散的； X(1),X(2),X(m)的聯合概率密度函數為(1)求邊際概率密度分布、及條件概率密度；(2)求轉移或條件概率密度函數 ，并問該過程是否為馬爾可夫過程。7.13設經過RC濾波器后的高斯白噪聲為，其相關函數，規(guī)定 ，、，式中。試證：請預覽后下載！7.14考察下列隨機過程，確定是否為獨立增量過程，如果是，求其均值與方差。(1)隨機地投擲一枚硬幣，第次投擲的結果用隨機變量描述：由此確定的累積記數過程為。(2) ，隨機地投擲一枚硬幣，第次投擲的結果用隨機變量描述：7.15設有一參數離散、狀態(tài)連續(xù)的隨機過程X(n)，n=1,2,3,；它的狀態(tài)空間I：x, x>0 X(

43、1),X(2),X(m)的聯合概率密度函數為(1)求邊際概率密度分布、；(2)求邊際概率密度 ；(3)求轉移概率密度，并問該過程是否為馬爾可夫過程。7.16三個黑球與三個白球，將這6個球任意等分兩個袋中，并將甲袋中的白球數定義為隨機過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0，1，2，3；現每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經過n次交換，過程的狀態(tài)為X(n)，n=1,2,3，；(1)該過程是否為馬爾可夫鏈；(2)計算其一步轉移概率矩陣；(3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布；(4)若X(0)=0，求經過三次交換后甲袋中有三個白球的概率。7.17設X(n)是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I

44、：0,1,2，初始狀態(tài)概率分布為請預覽后下載！一步轉移概率矩陣為(1)計算概率；(2)計算7.18設有馬爾可夫鏈，它的狀態(tài)空間為I：0，1，2，它的一步轉移概率矩陣為(1)試求，并證明；(2)求，。7.19設X(n)是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：0,1，其一步轉移概率矩陣為證明：7.20天氣預報問題。假設今日是否下雨依賴于前3天是否有雨，請將這一問題歸結為馬爾可夫鏈。如果過去一連3天有雨，今天有雨的概率為0.8，連續(xù)3天為晴，今天有雨的概率為0.2；在其他天氣情況下，今日的天氣與昨日相同的概率為0.6，求這個馬爾可夫鏈的轉移矩陣。請預覽后下載！7.21設為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉移矩陣為(

45、1)求(2)求7.22設為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉移概率矩陣為，求其閉集。7.23確定下列馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，哪些屬于常返的，哪些屬于非常返的。其一步轉移概率矩陣分別為。(1) ；(2) ；(4) ；(5) 7.24設為具有比率為的泊松記數過程，其相應的概率分布為試求該過程的特征函數，并根據特征函數求其均值、方差。請預覽后下載！7.25設為具有比率為的泊松記數過程，以如下方式產生一個新的隨機過程，在過程中，每發(fā)生一事件，就變化一隨機數量，對應第n次事件的隨機變量為，并且對應不同的事件，這些變化之間以及與間是相互獨立的，這樣假設每個隨機變量具有相同的概率密度函數，對應的均值、均方值分別為、，

46、試求該過程的特征函數，并根據特征函數求其均值、方差。7.26設與是兩個相互獨立的、比率分別為和的泊松過程(1)證明是比率為的泊松過程；(2)證明不是泊松過程7.27設在時間t內向電話總機呼喚k次的概率為，其中為常數，在任意相鄰的時間間隔內的呼喚次數是相互獨立的，求在2t時間內呼喚n次的概率。7.28設、是相互獨立、分別服從參數為、的泊松分布隨機變量，證明隨機變量服從參數為的泊松分布。7.29電子管中的電子發(fā)射問題。設單位時間內到達陽極的電子數目N服從泊松分布，即，每個電子攜帶的能量構成隨機序列、；已知各間相互獨立且與N相互獨立，、；，求均值與方差。7.30給定一個隨機過程的任意兩個時刻和，若對

47、于任意時刻，與請預覽后下載！統(tǒng)計獨立，試證明為馬爾可夫過程。7.31多級單調諧電流放大器的頻率響應特性為其輸入端接入電流，為電子的電荷，已知泊松脈沖序列 的相關函數為，如果中頻放大器輸出電流的均值和方差都可以測出，求輸入脈沖列每秒的平均個數。7.32已知為泊松過程，如果，且和為非負整數，證明：7.33一質點沿圓周運動，圓周按順時針等距排列3個點(0,1,2)將圓周分成3格，質點每次移動或順時針或逆時針移動一格，順時針前進一格的概率為，逆時針退一格的概率為。設代表質點經過n次游動后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉移概率矩陣，(2)極限概率分布。7.34一質點沿圓周運動，圓周按順時針等距排列5個點(0,1,2,3,4)將圓周分成5格，質點每次移動或順時針或逆時針移動一格，順時針前進一格的概率為，逆時針退一格的概率為。設代表質點經過n次游動后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉移概率矩陣，(2)極限概率分布。 （注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!） 請預覽后下載！