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1、第第6講離散型隨機變量的均值與方差講離散型隨機變量的均值與方差 知 識 梳 理 1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為P(Xxi)pi，i1,2，n(1)均值：稱E(X) 為隨機變量X的均值或數學期望x1p1x2p2xipixnpn標準差 2均值與方差的性質(1)E(aXb) .(2)V(aXb) (a，b為常數) 3兩點分布與二項分布的均值、方差aE(X)ba2V(X)均值方差變量X服從兩點分布E(X)V(X)XB(n，p) E(X)V(X)pnpp(1p)np(1p) 辨 析 感 悟 1離散型隨機變量的均值與方差( 1 ) 期 望 是 算 術 平 均 數 概 念 的 推
2、廣 ， 與 概 率 無關()(2)(教材習題改編)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.() 2均值與方差的性質(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小()(4)已知X的分布列為(5)(2013上海卷改編)設等差數列x1，x2，x3，x19的公差為1，若隨機變量X等可能地取值x1，x2，x3，x19，則方差V(X)30.() 感悟提升 1對均值(或數學期望)的理解(1)期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均，如(1)(2)
3、E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)(3)公式E(X)x1p1x2p2xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應概率值分別相乘后相加，由此可知，求E(X)的關鍵在于寫出隨機變量的分布列 考點一離散型隨機變量的均值與方差 【例1】 (2013浙江卷)設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量X為取出此2球所得分數之和，求X的分布列；審題路線(1)對取出球的
4、顏色進行分類以確定得分值，進而確定隨機變量X的取值，計算相應的概率，再列出分布列(2)用a，b，c表示出Y取值的概率，列出隨機變量Y的分布列，求出均值和方差，轉化為關于a，b，c的方程求解規(guī)律方法 求解該類問題，首先要理解問題的關鍵，其次要準確無誤地找出隨機變量的所有可能取值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算，也就是要過“三關”：閱讀理解關；概率計算關；公式應用關，如方差、期望公式要準確理解、記憶 【訓練1】 (2014南昌質檢)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這
5、6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及數學期望E(V) 考點二與二項分布有關的均值、方差(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？審題路線(1)易知X0,2,3,5，則“X3”與“X5”為對立事件，根據相互獨立事件與對立事件公式計算(2)每種方案的得分與中獎次數有關，且中獎次數服從二項
6、分布，運用均值的性質求解法二設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：規(guī)律方法 求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解(2)若隨機變量XB(n，p)，則可直接使用公式E(X)np，V(X)np(1p)求解 【訓練2】 某人投彈命中目標的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數X的均值和方差；(2)求重復10次投彈時命中次數Y的均值和方差解(1)隨機變量X的分布列為因為X服從兩點分布，故E(X)p0.8，V(X)p(1p)0.80.20.16.(2)由題意知，命中次數Y服從二項
7、分布，即YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，V(Y)np(1p)100.80.21.6.X01P0.20.8 考點三均值與方差在決策中的應用 【例3】 某投資公司在2014年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現有兩個項目供選擇：(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；(2)若市場預期不變，該投資公司按照你選擇的項目長期投資(每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資)，問大約在哪一年的年底總資產(利潤本金)可以翻一番？(參考數據：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)若按“項目一”投資，設獲利為X1萬元則X1的分布列為若按“項目二
8、”投資，設獲利X2萬元，則X2的分布列為：規(guī)律方法 (1)解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，列出分布列(2)隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要理論依據 【訓練3】 受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業(yè)生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年現從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數據如下：品牌甲乙首次出現故障時間x(年)0 x1 1202轎車數量(輛)23455
9、45每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現故障發(fā)生在保修期內的概率(2)若該廠生產的轎車均能售出，記生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌的轎車若從經濟效益的角度考慮，你認為應生產哪種品牌的轎車？說明理由 1數學期望與方差的性質(1)E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)(a，b為常數)(2)若X服從兩點分布，則E(X)p，V(X)p(1p)(3)若X服從二項分布，即XB(n，
10、p)，則E(X)np，V(X)np(1p) 2求離散型隨機變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質求解(3)如果所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，利用它們的均值、方差公式求解 易錯辨析10不能正確理解題目條件致誤 【典例】 (2014石家莊調研)根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延誤天
11、數Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率降水量XX300300X700700X900X900工期延誤天數Y02610錯解(1)由條件和概率的加法有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列為：于是，E(Y)00.320.460.2100.13；V(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數Y的均值為3，方差為9.8.Y02610P
12、0.30.40.20.1(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm條件下，工期不超過6天的概率為PP(Y2)P(Y6)0.40.20.6.錯因第(2)問中，在降水量X至少是300 mm的條件下，這一條件說明是在延誤工期的條件下，求工期延誤不超過6天的概率，錯解中沒有在這條件下求概率防范措施(1)求某事件概率，首先理解題意，分清概率模型，恰當選擇概率計算公式，本題是條件概率，應利用條件概率公式計算(2)解決期望和方差問題時，認真計算，正確利用期望和方差公式，避免失誤 【自主體驗】(2013北京卷)下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設X是此人停留期間空氣質量優(yōu)良的天數，求X的分布列與數學期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數方差最大？(結論不要求證明)
江蘇省蘇州市第五中學高考數學總復習 第6講 離散型隨機變量的均值與方差課件
