數(shù)學(xué)第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例配套 理

第8講解三角形應(yīng)用舉例考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題2011 年新課標(biāo)第 15 題考查余弦定理和面積公式；2012 年新課標(biāo)第 17 題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式；2013 年新課標(biāo)第 10 題以解三角形為背景，考查倍角公式及余弦定理；2014 年新課標(biāo)第 16 題以解三角形為背景，考查正弦定理；2015 年新課標(biāo)第 17 題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式；2017 年新課標(biāo)第 11 題、新課標(biāo)第16 題、新課標(biāo)第 15 題考查正弦定理1.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 與 c.在有解時(shí)只有一解1.解三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法在三角形的 6 個(gè)元素中要已知三個(gè)(除三個(gè)角外)才能求解，常見(jiàn)類(lèi)型及其解法如下表所示：已知條件應(yīng)用定理一般解法兩邊和夾角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180求另一角.在有解時(shí)只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角 A，B；再由 ABC180求角 C.在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；最后利用正弦定理或余弦定理求 c.可有兩解、一解或無(wú)解(續(xù)表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題等.3.實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角：與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫做俯角如圖 3-8-1(1).圖 3-8-1(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東 30，北偏西 45等.(3)方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn) B 的方位角為如圖 3-8-1(2).(4)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).1.若點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的北偏西 30，則點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的()A.北偏西 30C.南偏東 30B.北偏西 60D.東偏南 30C解析：如圖 D21，點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的南偏東 30.圖 D212.江岸邊有一炮臺(tái)高 30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為 45和 30，且兩條船與炮臺(tái)底部連線成 30角，則兩條船相距()解析：如圖 D22，過(guò)炮臺(tái)頂點(diǎn) A 作水平面的垂線，垂足為B.設(shè)A處測(cè)得船C，D的俯角分別為45，30，連接BC，BD.在RtABC中，ACB45，則ABBC30 m.在RtABD圖 D22答案：D3.如圖 3-8-2，某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn) A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn) C，測(cè)得CAB75，CBA)45，且 AB200 m.則 A，C 兩點(diǎn)的距離為(圖 3-8-2A4.一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距 10 海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西 60，另一燈塔在船的南偏西 75，則這艘船的速度是()A.5 海里/時(shí)解析：如圖D23，依題意有BAC60，BAD75，故CADCDA15，從而CDCA10.在RtABC中，時(shí)).圖 D23答案：C考點(diǎn)測(cè)量問(wèn)題考向 1 測(cè)量距離問(wèn)題例 1：(2016 年廣東廣州模擬)如圖 3-8-3，某測(cè)量人員為了測(cè)量長(zhǎng)江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn) A，B 之間的距離，在長(zhǎng)江南岸找到一個(gè)點(diǎn) C，從點(diǎn) C 可以觀察到點(diǎn) A，B；找到一個(gè)點(diǎn) D，從點(diǎn) D 可以觀察到點(diǎn) A，C；找到一個(gè)點(diǎn) E，從點(diǎn) E 可以觀察到點(diǎn)B，C.測(cè)量得到數(shù)據(jù)：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 m.(1)求CDE 的面積；(2)求 A，B 之間的距離.圖 3-8-3解：(1)在CDE中，DCE3609015105因?yàn)?cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45連接 AB，在ABC 中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，【規(guī)律方法】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.【互動(dòng)探究】1.(2014年四川)如圖3-8-4，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸 B，C 的俯角分別為 75，30，此時(shí)氣球的高是 60 m，則河流的寬度 BC()圖 3-8-4答案：C2.(2017 年四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校統(tǒng)測(cè))如圖3-8-5，A，B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，為了測(cè)量 A，B 兩點(diǎn)間的距離，選取一條基線 CD，A，B，C，D 在同一平面內(nèi).測(cè)得 CD200 m，ADBACB30，CBD60，則 AB()D.數(shù)據(jù)不夠，無(wú)法計(jì)算圖 3-8-5解析：如題圖，ADBACB30，CBD60，ACBD.設(shè) ACBDO，則AODBOC.設(shè) OAx m，答案：A考向 2 測(cè)量高度問(wèn)題例 2：(1)(2015 年湖北)如圖 3-8-6，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30的方向上，行駛 600 m 后到達(dá) B 處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為 30，則此山的高度 CD_m.圖 3-8-6(2)(2014 年新課標(biāo))如圖3-8-7，為測(cè)量山高 MN，選擇點(diǎn)A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn) A 測(cè)得點(diǎn) M 的仰角為MAN60，點(diǎn)C的仰角為CAB45，以及MAC75；從點(diǎn) C 測(cè)得MCA60.已知山高 BC100 m，則山高 MN_m.圖 3-8-7答案：150【規(guī)律方法】(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(畫(huà)出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形內(nèi)運(yùn)用正弦或余弦定理.【互動(dòng)探究】3.在 200 m 高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是 30，60，則塔高為_(kāi)m.解析：如圖 D24，由已知可得BAC30，CAD30.圖 D24BCA60，ACD30，ADC120.在ACD 中，由余弦定理，得AC22CD22CD2cos 1203CD2.答案：4003考向 3 測(cè)量角度問(wèn)題例 3：如圖 3-8-8，在一個(gè)坡度一定的山坡 AC 的山頂上有一高度為 25 m 的建筑物 CD.為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角，在山坡的 A 處測(cè)得DAC15，沿山坡前進(jìn)50 m 到達(dá)B 處，又測(cè)得DBC45.根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算可得cos _.圖 3-8-8【規(guī)律方法】關(guān)于角度的問(wèn)題同樣需要在三角形中進(jìn)行，同時(shí)要理解實(shí)際問(wèn)題中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.【互動(dòng)探究】B4.兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站北偏東 40，燈塔 B 在觀察站南偏東 60，則燈塔 A 在燈塔 B 的()A.北偏東 10C.南偏東 10B.北偏西 10D.南偏西 10難點(diǎn)突破 三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用例題：(2014年新課標(biāo))四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ)，AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四邊形 ABCD 的面積.解：(1)由題設(shè)及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C, BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.【互動(dòng)探究】5.已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的邊長(zhǎng)分別為 AB2，BC6，CDDA4，求四邊形 ABCD 的面積.解：如圖 D25，連接 BD，則有四邊形 ABCD 的面積圖 D25A120.2242224cos A2016cos A.在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.2016cos A5248cos C.