數(shù)學第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例配套 理

第8講解三角形應(yīng)用舉例考綱要求考點分布考情風向標1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2011 年新課標第 15 題考查余弦定理和面積公式；2012 年新課標第 17 題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式；2013 年新課標第 10 題以解三角形為背景，考查倍角公式及余弦定理；2014 年新課標第 16 題以解三角形為背景，考查正弦定理；2015 年新課標第 17 題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式；2017 年新課標第 11 題、新課標第16 題、新課標第 15 題考查正弦定理1.本節(jié)復習時，應(yīng)聯(lián)系生活實例，體會建模，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法2.加強解三角形及解三角形的實際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學建模能力，這也是近幾年高考的熱點之一已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 與 c.在有解時只有一解1.解三角形的常見類型及解法在三角形的 6 個元素中要已知三個(除三個角外)才能求解，常見類型及其解法如下表所示：已知條件應(yīng)用定理一般解法兩邊和夾角(如 a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180求另一角.在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角 A，B；再由 ABC180求角 C.在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；最后利用正弦定理或余弦定理求 c.可有兩解、一解或無解(續(xù)表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題等.3.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角：與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方的角叫做仰角，目標視線在水平視線下方的角叫做俯角如圖 3-8-1(1).圖 3-8-1(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東 30，北偏西 45等.(3)方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如點 B 的方位角為如圖 3-8-1(2).(4)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).1.若點 A 在點 B 的北偏西 30，則點 B 在點 A 的()A.北偏西 30C.南偏東 30B.北偏西 60D.東偏南 30C解析：如圖 D21，點 B 在點 A 的南偏東 30.圖 D212.江岸邊有一炮臺高 30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為 45和 30，且兩條船與炮臺底部連線成 30角，則兩條船相距()解析：如圖 D22，過炮臺頂點 A 作水平面的垂線，垂足為B.設(shè)A處測得船C，D的俯角分別為45，30，連接BC，BD.在RtABC中，ACB45，則ABBC30 m.在RtABD圖 D22答案：D3.如圖 3-8-2，某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點 A，B，觀察對岸的點 C，測得CAB75，CBA)45，且 AB200 m.則 A，C 兩點的距離為(圖 3-8-2A4.一船向正北航行，看見正西方向有相距 10 海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西 60，另一燈塔在船的南偏西 75，則這艘船的速度是()A.5 海里/時解析：如圖D23，依題意有BAC60，BAD75，故CADCDA15，從而CDCA10.在RtABC中，時).圖 D23答案：C考點測量問題考向 1 測量距離問題例 1：(2016 年廣東廣州模擬)如圖 3-8-3，某測量人員為了測量長江北岸不能到達的兩點 A，B 之間的距離，在長江南岸找到一個點 C，從點 C 可以觀察到點 A，B；找到一個點 D，從點 D 可以觀察到點 A，C；找到一個點 E，從點 E 可以觀察到點B，C.測量得到數(shù)據(jù)：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 m.(1)求CDE 的面積；(2)求 A，B 之間的距離.圖 3-8-3解：(1)在CDE中，DCE3609015105因為 cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45連接 AB，在ABC 中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，【規(guī)律方法】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學模型的解.【互動探究】1.(2014年四川)如圖3-8-4，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸 B，C 的俯角分別為 75，30，此時氣球的高是 60 m，則河流的寬度 BC()圖 3-8-4答案：C2.(2017 年四川成都外國語學校統(tǒng)測)如圖3-8-5，A，B 兩點都在河的對岸(不可到達)，為了測量 A，B 兩點間的距離，選取一條基線 CD，A，B，C，D 在同一平面內(nèi).測得 CD200 m，ADBACB30，CBD60，則 AB()D.數(shù)據(jù)不夠，無法計算圖 3-8-5解析：如題圖，ADBACB30，CBD60，ACBD.設(shè) ACBDO，則AODBOC.設(shè) OAx m，答案：A考向 2 測量高度問題例 2：(1)(2015 年湖北)如圖 3-8-6，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時測得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30的方向上，行駛 600 m 后到達 B 處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為 30，則此山的高度 CD_m.圖 3-8-6(2)(2014 年新課標)如圖3-8-7，為測量山高 MN，選擇點A 和另一座山的山頂 C 為測量觀測點.從點 A 測得點 M 的仰角為MAN60，點C的仰角為CAB45，以及MAC75；從點 C 測得MCA60.已知山高 BC100 m，則山高 MN_m.圖 3-8-7答案：150【規(guī)律方法】(1)測量高度時，要準確理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(畫出)示意圖，明確在哪個三角形內(nèi)運用正弦或余弦定理.【互動探究】3.在 200 m 高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是 30，60，則塔高為_m.解析：如圖 D24，由已知可得BAC30，CAD30.圖 D24BCA60，ACD30，ADC120.在ACD 中，由余弦定理，得AC22CD22CD2cos 1203CD2.答案：4003考向 3 測量角度問題例 3：如圖 3-8-8，在一個坡度一定的山坡 AC 的山頂上有一高度為 25 m 的建筑物 CD.為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的 A 處測得DAC15，沿山坡前進50 m 到達B 處，又測得DBC45.根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得cos _.圖 3-8-8【規(guī)律方法】關(guān)于角度的問題同樣需要在三角形中進行，同時要理解實際問題中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.【互動探究】B4.兩座燈塔 A 和 B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站北偏東 40，燈塔 B 在觀察站南偏東 60，則燈塔 A 在燈塔 B 的()A.北偏東 10C.南偏東 10B.北偏西 10D.南偏西 10難點突破 三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用例題：(2014年新課標)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB1，BC3，CDDA2.(1)求角 C 和 BD；(2)求四邊形 ABCD 的面積.解：(1)由題設(shè)及余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C, BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.【互動探究】5.已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的邊長分別為 AB2，BC6，CDDA4，求四邊形 ABCD 的面積.解：如圖 D25，連接 BD，則有四邊形 ABCD 的面積圖 D25A120.2242224cos A2016cos A.在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.2016cos A5248cos C.