《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1995年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1 設(shè)等差數(shù)列an 滿足3a8=5a13且a10，Sn為其前項之和，則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212 設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復數(shù)依次為Z1，Z2，Z20，則復數(shù)Z，Z，Z所對應(yīng)的不同的點的個數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203 如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1個 (B)2個 (C)50個
2、(D)100個4 已知方程|x2n|=k (nN*)在區(qū)間(2n1，2n+1上有兩個不相等的實根，則k的取值范圍是( ) (A)k0 (B)0k (C)k (D)以上都不是5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小關(guān)系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) lo
3、gcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos10，Sn為其前項之和，則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，d=a，令an=aa (n1)0，an+1= aa n0 (B)0k (C)0 由圖象可得，x=2n+1時，k1即k故選B 又解：y=(x2n)2與線段y=k2x(2n10且(2n1)2(4n+k2)(2n1)+4n20，(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n20，2n12n+k22n+1 k5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1
4、tan1的大小關(guān)系是(A) logsin1cos1 logcos1sin1 logsin1tan1 logcos1tan1(B) logcos1sin1 logcos1tan1 logsin1cos1 logsin1tan1(C) logsin1tan1 logcos1tan1 logcos1sin1 logsin1cos1(D) logcos1tan1 logsin1tan1 logsin1cos1 logcos1sin1解：1，故0cos1sin11tan1 logsin1tan10，logcos1tan10，logcos1sin10，設(shè)logsin1cos1=a，則得(sin1)a=co
5、s11；logcos1sin1=b，則(cos1)b=sin1cos1，0b1；即logcos1sin1 logsin1cos1設(shè)logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，則得(sin1)c =(cos1)d=tan1，(指數(shù)函數(shù)圖象進行比較)，cd即logsin1tan1logcos1tan1故選C6 設(shè)O是正三棱錐PABC底面三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA，PB的延長線分別交于Q，R，則和式+ (A)有最大值而無最小值 (B)有最小值而無最大值 (C)既有最大值又有最小值，兩者不等 (D)是一個與面QPS無關(guān)的常數(shù) 解：O到面PAB、PBC、PCA的距離
6、相等設(shè)APB=，則 VPQRS=d(PQPR+PRPS+PSPQ)sin(其中d為O與各側(cè)面的距離) VPQRS=PQPRPSsinsin(其中為PS與面PQR的夾角) d(PQPR+PRPS+PSPQ)=PQPRPSsin +=為定值故選D二、填空題(每小題9分，共54分)1 設(shè)，為一對共軛復數(shù)，若|=2，且為實數(shù)，則|= 解：設(shè)=x+yi，(x，yR)，則|=2|y|y= 設(shè)arg=，則可取+2=2，(因為只要求|，故不必寫出所有可能的角)=，于是x=1|=22 一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為 解：設(shè)球半徑為R，其內(nèi)接圓錐的底半徑為r，高為h，作軸截面，則r2=h(2Rh)
7、 V錐=r2h=h2(2Rh)=hh(4R2h)=R3 所求比為8273 用x表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)， 方程lg2xlgx2=0的實根個數(shù)是 解：令lgx=t，則得t22=t作圖象，知t=1，t=2，及1t2內(nèi)有一解當1t1，本題中取n=1995)連結(jié)對邊相應(yīng)分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點E、F同色考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E、F，若E、F異色，則EFE或DFF為三個頂點同色的小直角三角形若E、F同色，再考察以此二點為頂點而在其左邊的小矩形，這
8、樣依次考察過去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，MNH為頂點同色的直角三角形由n=1995，故MNHABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色證明2：首先證明：設(shè)a為任意正實數(shù)，存在距離為2a的同色兩點任取一點O(設(shè)為紅色點)，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅點，則存在距離為2a的兩
9、個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a故存在距離為2a的兩個藍色點下面證明：存在邊長為a，a，2a的直角三角形，其三個頂點同色如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設(shè)為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a，a，2a及1995a，1995a，19952a的兩個同色三角形，滿足要求證明3：以任一點O為圓心，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，必有5點同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A，B，C，D，E，則此五點中必存在三點同色，設(shè)為A、B、C則DABC與DABC為滿足要求的三角形
全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15
