《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版14(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、1994年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試一、選擇題(每小題6分,共36分)1、設(shè)a,b,c是實數(shù),那么對任何實數(shù)x, 不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要條件是(A) a,b同時為0,且c0 (B) =c (C) c 2、給出下列兩個命題: 設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù),如果a2+b2c2,則a2+b2c20;設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù),如果a2+b2c20,則a2+b2c2那么下述說法正確的是 (A)命題正確,命題也正確 (B)命題正確,命題錯誤 (C)命題錯誤,命題也錯誤 (D)命題錯誤,命題正確3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n項之和為Sn,則滿足不等式|Snn
2、6|的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)84、已知0b1,0a,則下列三數(shù):x=(sina),y=(cosa),z=(sina) (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xy()2,則點集AB中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為 4設(shè)0,則sin(1+cos)的最大值是 5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于,則sin= 6已知95個數(shù)a1,a2,a3,a95, 每個都只能取+1或1兩個值之一,那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是復(fù)數(shù),
3、且z4z2=16+20i,設(shè)這個方程的兩個根、,滿足|=2,求|m|的最大值和最小值. 二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列,試求出這個數(shù)列的第1000項。三、(本題滿分35分) 如圖,設(shè)三角形的外接圓O的半徑為R,內(nèi)心為I,B=60,AC,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE; (2) 2RIO+IA+IC0都成立的充要條件是(A) a,b同時為0,且c0 (B) =c (C) c 解:asinx+bcosx+c=sin(x+)+c+c,+c故選C2、給出下列兩個命題:(1)設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù),如果a2+b2c2,則a2+b2c20(2)設(shè)a,b,
4、c都是復(fù)數(shù),如果a2+b2c20,則a2+b2c2那么下述說法正確的是 (A)命題(1)正確,命題(2)也正確 (B)命題(1)正確,命題(2)錯誤 (C)命題(1)錯誤,命題(2)也錯誤 (D)命題(1)錯誤,命題(2)正確 解:正確,錯誤;理由:a2+b2c2,成立時,a2+b2與c2都是實數(shù),故此時a2+b2c20成立; 當a2+b2c20成立時a2+b2c2是實數(shù),但不能保證a2+b2與c2都是實數(shù),故a2+b2c2不一定成立故選B3、已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n項之和為Sn,則滿足不等式|Snn6|的最小整數(shù)n是 (A)5 (B)6 (C)7 (D
5、)8 解:(an+11)=(an1),即 an1是以為公比的等比數(shù)列, an=8()n1+1 Sn=8+n=6+n6()n,6,n7選C4、已知0b1,0a,則下列三數(shù):x=(sina),y=(cosa),z=(sina)的大小關(guān)系是 (A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz 解:0sinacosalogbcosa0 (sina) (sina) (cosa)即xzy選A5、在正n棱錐中,相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是 (A)( ,) (B)( ,) (C)(0,) (D)( ,)解:設(shè)相鄰兩側(cè)面所成的二面角為,易得大于正n邊形的一個內(nèi)角,當棱錐的高趨于0時,趨于,故選A6、在
6、平面直角坐標系中,方程+=1 (a,b是不相等的兩個正數(shù))所代表的曲線是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的長方形 (D)非正方形的菱形解:x+y0,xy0時,(一、四象限角平分線之間):(a+b)x+(ba)y=2ab; x+y0,xy0時,(一、二象限角平分線之間):(ba)x+(a+b)y=2ab; x+y0,xy0時,(三、四象限角平分線之間):(ab)x(a+b)y=2ab;x+y0,xy2 x+m(x+)+m=0,(3+m)x=7mx=23m0,即f(t)在,上單調(diào)增 x=2y cos(x+2y)=13已知點集A=(x,y)|(x3)2+(y4)2()2,B=(x,y)|
7、(x4)2+(y5)2()2,則點集AB中的整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)的個數(shù)為 解:如圖可知,共有7個點,即(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2)共7點 4設(shè)00,則y2=4 sin2cos4=22sin2cos2cos22()3 y當tan=時等號成立5已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于,則sin= 解:12條棱只有三個方向,故只要取如圖中AA與平面ABD所成角即可設(shè)AA=1,則AC=,AC平面ABD,AC被平面ABD、BDC三等分于是sin=6已知95個數(shù)a1,a2,a3,a95, 每個都只能取+1或1兩個值之一,那么它們的兩兩之積
8、的和a1a2+a1a3+a94a95的最小正值是 解:設(shè)有m個+1,(95m)個1則a1+a2+a95=m(95m)=2m95 2(a1a2+a1a3+a94a95)=(a1+a2+a95)2(a12+a22+a952)=(2m95)2950取2m95=11得a1a2+a1a3+a94a95=13為所求最小正值.第二試一、(本題滿分25分) x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是復(fù)數(shù),且z4z2=16+20i,設(shè)這個方程的兩個根、,滿足|=2,求|m|的最大值和最小值.解:設(shè)m=a+bi(a,bR)則=z124z24m=16+20i4a4bi=4(4a)+(5b)i設(shè)的平
9、方根為u+vi(u,vR)即(u+vi)2=4(4a)+(5b)i|=2,|2=28,|(4a)+(5b)i|=7,(a4)2+(b5)2=72,即表示復(fù)數(shù)m的點在圓(a4)2+(b5)2=72上,該點與原點距離的最大值為7+,最小值為7二、(本題滿分25分) 將與105互素的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列,試求出這個數(shù)列的第1000項。解:由105=357;故不超過105而與105互質(zhì)的正整數(shù)有105(1)(1)(1)=48個。1000=4820+488, 10520=2100.而在不超過105的與105互質(zhì)的數(shù)中第40個數(shù)是86 所求數(shù)為2186。三、(本題滿分35分) 如圖,設(shè)三角形的外接圓
10、O的半徑為R,內(nèi)心為I,B=60,AC,A的外角平分線交圓O于E證明:(1) IO=AE; (2) 2RIO+IA+ICOH=2R設(shè)OHI=,則030IO+IA+IC=IO+IH=2R(sin+cos)=2Rsin(+45)又+4575,故IO+IA+ICnk+1即nk+11nk+1則C+ C( C+ C)= CC0這就是說,當nk+1與nk的差大于1時,可用nk+11及nk+1代替nk+1及nk,而其余的數(shù)不變此時,m(G)的值變小于是可知,只有當各ni的值相差不超過1時,m(G)才能取得最小值1994=8324+2故當81組中有24個點,2組中有25個點時,m(G)達到最小值m0=81C+2C=812024+22300=168544 取5個點為一小組,按圖1染成a、b二色這樣的五個小組,如圖2,每個小圓表示一個五點小組同組間染色如圖1,不同組的點間的連線按圖2染成c、d兩色這25個點為一組,共得83組染色法相同其中81組去掉1個點及與此點相連的所有線即得一種滿足要求的染色