新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第二章 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用一、填空題1某商場(chǎng)在節(jié)假日對(duì)顧客購(gòu)物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場(chǎng)規(guī)定：如一次購(gòu)物不超過200元，不給予折扣；如一次購(gòu)物超過200元而不超過500元，按標(biāo)準(zhǔn)價(jià)給予九折優(yōu)惠；如一次購(gòu)物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過500元的剩余部分給予八五折優(yōu)惠某人兩次去購(gòu)物，分別付款176元和432元如果他只去一次購(gòu)買同樣的商品，則他應(yīng)該付款為_元解析 設(shè)購(gòu)物應(yīng)付款x元，實(shí)際付款y元，則由題意知：y，那么該人兩次實(shí)際購(gòu)物應(yīng)付款分別為x1176元，x24320.9480元，則x1x2656元，如果他只去一次，則應(yīng)該付款y0.8565625582.6元答案 58

2、2.62從盛滿20升純消毒液的容器中倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升，再用水加滿這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和殘留消毒液y之間的函數(shù)解析式為_解析所倒次數(shù)1次，則y19；所倒次數(shù)2次，則y19，所倒次數(shù)x次，則y19x120x.答案y20x3為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文為_解析依題意yax2中，當(dāng)x3時(shí)，y6，故6a32，解得a2.所以加密為y2x2，因此，當(dāng)y14時(shí)，由14

3、2x2，解得x4.答案44某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式為_解析已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為yaara(1r)，2期后本利和為ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和為ya(1r)3，x期后本利和為ya(1r)x，xN*.答案ya(1r)x，xN*5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)分別為_解析由三角形相似，得，得x(24y)，所以Sxy(y12

4、)2180，所以當(dāng)y12時(shí)，Smax180，此時(shí)x15.答案15,126將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線yaent.若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過了m分鐘后甲桶中的水只有升，則m的值為_解析 令aaent，即ent，因?yàn)閑5n，故e15n，比較知t15，m15510.答案 107小王每月除去所有日常開支，大約結(jié)余a元小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息假設(shè)一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計(jì)息那么，小王的存款到期利息為_元解析 依題意得，小王存款到期利息為12ar11ar10ar

5、3ar2ararar78ar元答案 78ar8一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(xN*)件當(dāng)x20時(shí)，年銷售總收入為(33xx2)萬元；當(dāng)x20時(shí)，年銷售總收入為260萬元記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_，該工廠的年產(chǎn)量為_件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大(年利潤(rùn)年銷售總收入一年總投資)解析 本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)x20時(shí)，y(33xx2)x100x232x100；當(dāng)x20時(shí)，y260100x160x.故y(xN*)當(dāng)020時(shí)，160x140，故x16時(shí)取得最大年利潤(rùn)答案 y(xN

6、*)；169某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為_解析設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(120%)a(125%)b(120%)25%，化簡(jiǎn)得ba，所以yb20%xa20%x，即yx(xN*)答案yx(xN*)10.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)_.據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效

7、則服藥一次后治療有效的時(shí)間是_小時(shí)解析設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由1a4得a3.則y由y0.25得或解得t5，因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5小時(shí)答案y二、解答題11即將開工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通根據(jù)測(cè)算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來回10次每天來回次數(shù)是每次拖掛車廂個(gè)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多？并求出每天最多的營(yíng)運(yùn)人數(shù)(注：營(yíng)運(yùn)人數(shù)指火車運(yùn)送的人數(shù))解設(shè)這列火車每天來回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設(shè)tknb.由解得所以t2n24

8、.設(shè)每次拖掛n節(jié)車廂每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)為y人，則ytn11022(220n22 640n)當(dāng)n6時(shí)，總?cè)藬?shù)最多為15 840人故每次應(yīng)拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多為15 840人12某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過收益的20%.(1)請(qǐng)分析函數(shù)y2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；(2)若該公司采用函數(shù)模型y作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值解：(1)對(duì)于函數(shù)模型yf(x)2，當(dāng)x10,1 0

9、00時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)maxf(1 000)22，即f(x)不恒成立，故函數(shù)模型y2不符合公司要求(2)對(duì)于函數(shù)模型yg(x)，即g(x)10，當(dāng)3a200，即a時(shí)遞增，為使g(x)9對(duì)于x10,1 000恒成立，即要g(1 000)9,3a181 000，即a，來源:為使g(x)對(duì)于x10,1 000恒成立，即要5，即x248x15a0恒成立，即(x24)215a5760(x10,1 000)恒成立，又2410,1 000，故只需15a5760即可，所以a.綜上，a，故最小的正整數(shù)a的值為39.13我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的某市用水

10、收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)定額損耗費(fèi)，且有如下三條規(guī)定：若每月用水量不超過最低限量m立方米時(shí)，只付基本費(fèi)9元和每戶每月定額損耗費(fèi)a元；若每月用水量超過m立方米時(shí)，除了付基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過部分每立方米付n元的超額費(fèi)；每戶每月的定額損耗費(fèi)a不超過5元(1)求每戶每月水費(fèi)y(元)與月用水量x(立方米)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示：月份用水量(立方米)水費(fèi)(元)一417二523三2.511試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求m，n，a的值解：(1)依題意，得y其中0a5.(2)0a5，99a14.由于該家庭今年一、二月

11、份的水費(fèi)均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米將和分別代入(*)得兩式相減，得n6.代入179n(4m)a得a6m16.又三月份用水量為2.5立方米，若m2.5，將代入(*)，得a6m13，這與a6m16矛盾m2.5，即該家庭三月份用水量2.5立方米沒有超過最低限量，將代入(*)得119a.由解得所以，該家庭今年一、二月份用水量超過最低限量，三月份用水量沒有超過最低限量，m3，n6，a2.14為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元

12、)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)210221070(當(dāng)且僅當(dāng)3x5，即x5時(shí)，“”成立)，所以當(dāng)x5時(shí)，f(x)minf(5)70.故隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元.