新編高考數(shù)學第二輪復習【第22講】空間角與距離一導學案含答案

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1、 第22講 空間角與距離（1） 【復習目標】 1、理解各種空間角及空間距離的概念； 2、掌握求空間角與距離的基本方法。 【課前熱身】 1．為兩個確定的相交平面，為一對異面直線，下列條件： ① ②； ③ ④且的距離等于的距離。其中能使所成的角為定值的有 ( ) A、0個 B、1個 C、2個 D、4個 2．在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側棱PB、PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，則此三棱錐的側棱與底面所成角的正切值是

2、 （ ） A 、 B、 C 、 D 、 3．若二面角為，直線，則所在平面內的直線與m所成角的取值范圍是________________； 4．已知正四棱錐的所有棱長均相等，則側面與底面所成二面角的余弦值為_____________ 【例題探究】 例1 在正四棱柱中，， P 為B1C1的中點． （1）求直線AC與平面ABP所成的角； （2）求異面直線AC與BP所成的角； （3）求點B到平面APC的距離． A1 B1 例2 如圖，在三棱

3、柱ABC—A1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°。 （1）求證：平面CA1B⊥平面A1ABB1； C1 （2）求直線A1C與平面BCC1B所成角的正切值； （3）求點C1到平面A1CB的距離。 B A C 例3．如圖，已知長方體 直線與平面所成的角為，垂直于 ，為的中點. （1） 求異面直線與所成的角； （2）求平面與平面所成的二面角； （3）求點到平面的距離.

4、 【方法點撥】 1、求角與距離的關鍵是化歸：空間角化為平面角，空間距離化為兩點間距離，最終化為求三角形中邊角； 2、求線面角關鍵是找、作線與面垂直，通常是先尋找面面垂直，得到線面垂直； 3、二面角的平面角的基本作法有：定義法，三垂線定理法，垂面法。點到面的距離通常在面面垂直背景下向線作垂線得到線面垂直得射影。另空間距離和角的求解應遵循：一作二證三計算。 沖刺強化訓練(22) 班級 姓名 學號 成績 日期 月 日 1、空間四邊形中，若，則與平面 所成角的余弦值 ( )

5、A． B． C． D． 2、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（） A．60° B．90° C．105° D．75° 3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，則點A到平面A1BC的距離為（ 　 ） B C D A A、 B、 C、 D、 4、將正方體的紙盒展開（如圖），直線AB、CD在原正方體中的位置關系是（ ） A、平行 B 、垂直 C、且成角 D 、 異面且成角 5、銳二面角α-l-β的棱l上一點A，射線ABα，且與棱成45°角， 與β成30°角，則二面角α-l-

6、β的大小是（ ） A、30° B、45° C、60° D、90° 6、在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。 （1）證明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小。 7、如圖,正四棱錐P-ABCD中，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為。 （1） 求側面PAD 與底面ABCD所成二面角的大小 ； （2） 若E 是PB 中點，求異面直線PD與AE所成的角的正切值 ； P E D

7、C B A （3）在側面PAD上尋找一點F使EF⊥側面PBC，試確定F的位置并證明。 8．已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點。 （1） 求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大??； （2） 求證平面MND⊥平面PCD； （3） 求當AB的長度變化時異面直線PC與AD所成角的取值范圍。

8、 第22講　空間角與距離（1） 【課前熱身】1 B 2 C 3 4 【例題探究】 例1．（1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC 在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P為B1C1的中點，∴PC⊥PB ∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP為直線AC與平面ABP所成的角 ∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300 ∴直線AC與平面ABP所成的角為300

9、 （2）取A1D1中點Q，連結AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP， ∴∠CAQ為異面直線AC與BP所成的角 在△ACQ中， ∴∠CAQ=600 ∴異面直線AC與BP所成的角為600 （也可用向量法） （3）過點B作BH⊥AP于H， 由題（1） PC⊥平面ABP，∴PC⊥BH ∴BH⊥平面APC

10、 ∴BH的長即為點B到平面APC的距離 在Rt△ABP中，AB=2， 例2：（1）證：因為四邊形BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1。 ∵BC平面CA1B，∴平面CA1B⊥平面A1ABB1。 （2）解：過A1作A1D⊥B1B于D，連接DC，∵BC⊥平面A1ABB1， ∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD為直線A1C與平面BCC1B1所成的角。 在矩形BCC1B1中，DC=，因為四邊形A1ABB1是菱形，∠A1AB=60°，CB=3，AB=4，∴A1D=，∴tan∠A1CD=。 （3

11、）∵B1C1∥BC1，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距離即為B1到平面A1BC的距離。連結AB1，AB1與A1B交于點O，∵四邊形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B，∵CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即為C1到平面A1BC的距離?！連1O=，∴C1到平面A1BC的距離為。 例3．：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖示空間直角坐標系 由已知可得， 又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得 （1）因為所以= 易知異面直線所成的角為 （2）易知平面的一個法向量設是平面的一個法向量，由 即所以即平

12、面與平面所成的二面角的大小（銳角）為 （3）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值， 所以距離=所以點到平面的距離為 沖刺強化訓練（22） 1 、 B 2 、 B 3、 B 4 、 D 5、 B 6、 7、方法一：（Ⅰ）證明： （Ⅱ）解：取VD的中點E，連結AE，BE ∵VAD是正三角形 ∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 又由三垂線定理知BE⊥VD 因此，是所求二面角的平面角 于是， 即得所求二面角的大小為 方法二：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系。 （Ⅰ）證明：不妨設，則， 由，得 又，因而與平面內兩條相交直線都垂直。 ∴平面 （Ⅱ）解：設為中點，則 由，得，又 因此，是所求二面角的平面角。 ∵ ∴解得所求二面角的大小為 8．(1)二面角大小為（2）（3）M是AD中點，N是BC中點，BC與平面PMN垂直，平面PMN與平面PBC垂直，取AM中點為F，則EF垂直平面PBC 9．(1) （2）證MN與平面PCD垂直，得面面垂直。(3)