新編浙江高考數(shù)學理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形選擇、填空題型

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1、 考 點考 情三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式1.對三角變換公式注重基礎(chǔ)考查，并在綜合試題中作為一種工具考查，主要考查利用各種三角公式進行求值與化簡，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點，切化弦、角的變換是?？嫉娜亲儞Q思想如浙江T6等2.正弦定理和余弦定理及解三角形問題是高考考查的重點，單獨命題的頻率較高，主要涉及以下幾個問題：(1)邊和角的計算；(2)三角形形狀的判斷；(3)面積的計算；(4)有關(guān)范圍的問題如遼寧T6，天津T6等.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式兩角和與差的三角函數(shù)倍角公式解三角形問題三角恒等變換與向量相結(jié)合問題1(20xx浙江高考)已知R，sin 2cos ，則tan 2()A.B.C D

2、解析：選C兩邊平方，再同時除以cos2，得3tan28tan 30，tan 3或tan ，代入tan 2，得到tan 2.2(20xx遼寧高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，則B()A. B.C.D.解析：選A由正弦定理可得sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，因為sin B0，所以sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC)，故sin B，因為ab，所以B.3(20xx天津高考)在ABC中，ABC，AB，BC3，則sin BAC()A. B.C.D.解析：選C由余弦定

3、理可得AC292235，所以AC.再由正弦定理得，所以sin A.4(20xx福建高考)如圖，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，則BD的長為_解析：因為sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD .答案：1兩組三角公式(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan() .(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.2兩個定理(1)正弦定理2R(2

4、R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C; sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.熱點一三角變換與求值例1(1)(20xx重慶高考)4cos 50tan 40()A.B.C. D21(2)若tan，且0，則()A BC D.(3)若cos(2)，sin(2)，0，則的值為_自主解

5、答(1)4cos 50tan 404cos 50.(2)由tan，得tan .又0，所以sin .故2sin .(3)cos(2)且2，sin(2).sin(2)且2，cos(2).cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2). ，.答案(1)C(2)A(3)規(guī)律總結(jié)1化簡求值的方法與思路三角函數(shù)式的化簡求值可以采用“切化弦”“弦化切”來減少函數(shù)的種類，做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一，通過三角恒等變換，化繁為簡，便于化簡求值，其基本思路為：找差異，化同名(同角)，化簡求值2解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角(2)正確地

6、運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小1在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，則cos C的值是()A B. C. D解析：選B由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，則C，cos C.2已知cos，sin，且，0，則cos _.解析：因為，0，則，0，0，所以，.又cos0，所以，00，所以sin A.又A，所以A.(2)依題意得，sin B，因此0B60或120B150.若0B90，此時ABC是鈍角三

7、角形；若120B150，此時ABC仍是鈍角三角形因此，此三角形一定是鈍角三角形(3)因為4sin2 cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根據(jù)余弦定理，有cos C，則aba2b27，故3aba2b22ab7(ab)2725718，所以ab6，所以ABC的面積SABCabsin C6.答案(1)A(2)C(3)將本例(1)中“2asin Bb”改為“2bcos Bacos Cccos A，且b23ac，角C所對的邊長為c”，如何求解？解：因為2bcos Bacos Cccos A，根據(jù)正弦定理可得，2sin B

8、cos Bsin Acos Csin Ccos A，即sin 2Bsin(AC)sin B，故B.因為b23ac，所以sin2B3sin Asin C，即23cos(AC)cos(AC)，得cos(AC)0，即AC或CA，又AC，得A或. 規(guī)律總結(jié)解三角形問題的方法(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理；(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理3已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若acos Casin Cbc，則角A的值為()A30 B45C60 D120解析：選C由acos Casin Cbc及正弦定理，得sin A

9、cos Csin Asin Csin Bsin C，由三角形內(nèi)角和定理知，sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，化簡得sin Acos A1，即sin(A30).由于0A180，所以30A30150，所以A3030，故A60.4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選A若a2bcos C，由正弦定理得sin A 2sin Bcos C，即sin(BC)2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bc

10、os C，即sin Bcos Ccos BsinC0，所以sin(BC)0，即BC，所以ABC是等腰三角形若ABC是等腰三角形，當AB時，a2bcos C不一定成立，所以“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要條件熱點三解三角形與實際應(yīng)用問題例3(1)(20xx青島模擬)如圖所示，長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為，則坡度值tan 等于()A.B.C. D.(2)如圖所示，為了測量正在海面勻速行駛的某航船的速度，在海岸上選取距離為1 km的兩個觀察點C，D，在某天10：00觀察

11、到該航船在A處，此時測得ADC30，3 min后該船行駛至B處，此時測得ACB60，BCD45，ADB60，則船速為_km/min.自主解答(1)由題意，可得在ABC中，AB3.5，AC1.4，BC2.8，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos .所以sin .所以tan .(2)法一：(常規(guī)思路)在ACD中，有，得AD.在BCD中，有，得BD1.在ABD中，有AB2AD2BD22ADBDcos 6021221，所以AB，故船速為 km/min.法二：(特殊思路)由題意，得BDC306090，又因為B

12、CD45，所以BCCD.因為ACBADB60，所以A，B，C，D四點共圓，且以BC為直徑，所以ABBCsin 60，故船速為 km/min.答案(1)A(2)四步解決解三角形中的實際問題(1)分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；(3)將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(4)檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進行取舍，得出正確答案5一船向正北方向航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，

13、看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是()A15海里/時 B5海里/時C10海里/時 D20海里/時解析：選C如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是10海里/時6如圖所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC.在山腳B處看索道AC，此時張角ABC120；從B處攀登200米到達D處，回頭看索道AC，此時張角ADC150；從D處再攀登300米即到達C處，則石竹山這條索道AC的長度為_米解析：在ABD中，BD200米，ABD120，由ADB30，得DAB30.因為，即，所以AD200 米在ADC中，DC300米，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000.所以AC100 米答案：100